第七章 压杆稳定.

第七章 压杆稳定

一、压杆稳定的基本概念

受压直杆在受到干扰后，由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式，而且干扰撤除后，压杆仍保持为弯曲平衡形式，则称压杆丧失稳定，简称失稳或屈曲。

压杆失稳的条件是受的压力cr P P ≥。cr P 称为临界力。 二、学会各种约束情形下的临界力计算

压杆的临界力A P cr cr σ=，临界应力cr σ的计算公式与压杆的柔度i

l μλ=所处的范围有关。以三号钢的压杆为例：

p λλ≥，称为大柔度杆，22λ

πσE cr

= p s λλλ≤≤，称为中柔度杆，λσb a cr -=。 s λλ≤，称为小柔度杆，s cr σσ=。

三、压杆的稳定计算有两种方法

1）安全系数法

st cr n P

P

n ≥=，st n 为稳定安全系数。

2）稳定系数法

][][σϕσσ=≤=st A P

，ϕ为稳定系数。

四、学会利用柔度公式，提出提高压杆承载能力的措施

根据i l

μλ=

，A

I

i =，λ愈大，则临界力（或临界应力）愈低。提高压杆承载能力的措施为：

1）减小杆长。 2）增强杆端约束。

3）提高截面形心主轴惯性矩I 。且在各个方向的约束相同时，应使截面的两个形心主轴惯性矩相等。

4）合理选用材料。

§15-1 压杆稳定的概念

构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a ），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b ）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c ）。上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。

由稳定平衡转变为不稳定平衡时所

受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用cr P 表示。

为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其极限承载能力。

§15-2 细长压杆的临界力

根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度EI ，杆件长度l 和两端的约束情况，都会影响压杆的临界力。确定临界力的方法有静力法、能量法等。本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。

1．两端铰支压杆的临界力

两端铰支中心受压的直杆如图15-4a 所示。设压杆处于临

界状态，并具有微弯的平衡形式，如图15-4b 所示。建立x v -坐标系，任意截面（x ）处的内力（图15-4c ）为

),(压力P N = Pv M =

在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程

EI

M

dx v d -=22，得到

v EI P

dx

v d -=2

2

令EI

P

k =

2，得微分方程 022

2=+v k dx

v

d （a ） 此方程的通解为

kx B kx A v cos sin +=

利用杆端的约束条件，0,0==v x ，得0=B ，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：

kx A v sin = （b ）

利用约束条件，0,==v l x ，得

0sin =kl A

这有两种可能：一是0=A ，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡形式）不符；二是n kl =π，=n １、２、３……。由此得出相应于临界状态的临界力表达式

2

22l

EI n P cr π= 实际工程中有意义的是最小的临界力值，即1=n 时的 cr P 值：

2

2l EI

P cr π=

（15-1）

此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。因此，相应的 cr P 也称为欧拉临界力。此式表明，cr P 与抗弯刚度（EI ）成正比，与杆长的平方（ 2l ）成反比。压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），式（15-1）中的I 应为截面最小的形心主轴惯性矩。 将l

k π

=

代入式（b ）得压杆的挠度方程为

l

x

A v πsin

= （c ）

在2

l x =处，有最大挠度A v =max 。

在上述分析中，max v 的值不能确定，其与 P 的关系曲线如图15-5中的水平线'AA 所示，这是由于采用挠曲线近似微分方程求解造成的；如采用挠曲线的精确微分方程，则得max v P -曲线如图15-5中ＡＣ所示。这种max v P -曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压杆的稳定性及失稳后的特性。可以看出，当P

如ＡＢ路径中的Ｄ点一经干扰将达到ＡＣ路径上同一 P 值的 E 点，处于弯曲平衡形

式，而且该位置的平衡是稳定的。平衡路径出现分支处的 P 值即为临界力 cr P ，故这种失稳称为分支点失稳。分支点失稳发生在理想受压直杆的情况。

对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图15-5中的ＯＦＧＨ曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平衡形式，但也有稳定与不稳定之分。当压力P

2．其他约束情况压杆的临界力

用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力，结果如下：

1）一端固定、一端自由的压杆（图15-6a ）

2

2)2(l EI

P cr π=

2）两端固定的压杆（图15-6b ）

2

2)

5.(l o EI

P cr π=

3）一端固定、一端铰支的压杆（图15-6c ）