数值分析矩阵分析基础

1in
i
A(谱 范 数 ） 2
注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。
定义5： 设|| ·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ A k }，若
lim
k
Ak
A
0
则称矩阵序列{ A}k收敛于矩阵A，记为
lim
k
Ak
v y v1
v y v1
v
为矩阵A的算子范数.
由 算 子 范 数 的 定 义 ， 可 由 向 量 范 数 诱 导 出 矩 阵 范 数 ：
1）显然A0.若A0,则AmaxAx 0. x1 反之，若A0Ax 0Ax
A0.
正定性
2 ）对任意两个n阶方阵A和B，
AB max (AB)x max AxBx
定理1：定义在Rn上的向量范数 X 是变量X分量的 一致连续函数。 X f (X )
定理2：在Rn上定义的任一向量范数 X 都与范数 X 等价， 1 即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式
mXXMX
1
1
成立。
推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
对常用范数，容易验证下列不等式：
2)cA |c|A , c R ;(齐次 ) 性 3)ABAB,(三角不 ) 等式 4)AB AB, (相容 ) 性
则称‖A‖为矩阵A的范数。
定义4 （矩阵的算子范数）
设xRn, ARnn, x 是向量范数(v=1,2,或), v
称矩阵的非负函数
A
Ax sup v sup Ay来自=max Ayv
x x
( 1 )c o n d ( A ) A 1A A 1 A I 1
(2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 为非零常数;
(3)若 A， 1则
con(Ad) A1
注: cond (A) 与 所取的范数有关
常用条件数有：
cond (A)1 =‖A‖1 ‖ A‖11
cond (A)
（Ⅲ）与
x
相容的矩阵范数是
n
A
max i j1
aij
上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。
Frobenius范数: || A||F
nn
|aij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i1 j1
可以证明, 对方阵 ARnn 和 x Rn ，有 ||Ax||2||A||F||x||2
注：（1） || A||F tr(ATA)
（2） 矩阵的Frobenius范数不是算子范数。
3．矩阵的范数与特征值之间的关系
定义4：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，
记为：
(A)
max 1in
i
定理5：矩阵A 的谱半径不超过A的任一相容矩阵范数，即
(A) A
并且如果A为对称矩阵，则
m ax
依坐标收敛于向量 X ，* 记为
lk im Xk X*
定理3：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是
lk i mXk X* 0
向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。
2、矩阵范数
定义3
设对任意矩阵 A∈Rn×m，按一定的规则有一实数 与之对应，记为‖A‖，若‖A‖满足
1 )A 0 ;当且 A 0 时 仅才 A 当 0 ； (正 有)定性
=‖A‖ ‖ A‖1
cond (A)2 max ( A T A ) / min ( A T A )
特别地，若 A 对称，则
cond
(A)2
max|i | min|i |
§ 5.2 初等矩阵
初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍 一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具。 5.2.1 初等矩阵
§5.1 向量和矩阵的范数
1．向量范数
定义1：设X R n，Ｘ 表示定义在Rn上的一个实值函数，
称之为X的范数，它具有下列性质：
(1) 非负性：即对一切X R n，X 0, Ｘ >0 (2) 齐次性：即对任何实数a R，X R n，
aXa X
（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有
相容性
设 是 Rn中 的 向 量 范 数 ， 则A为 Rnn上 的 矩 阵 范 数
v
v
且 满 足Ax A x
v
vv
矩阵范数与向量范
数的相容性
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
A11
11,B11
1 1
x 1
x 1
max( Ax Bx)max Ax max Bx
x 1
x 1
x 1
A B.
三角不等式
3）对任意n维非零向量x,
有 Ax A 即 Ax A x . x
故有 AB max ( AB)x max A(Bx)
x 1
x 1
定 理
max A Bx max A B x
x 1
x 1
A B
XYXY
三个常用的向量范数： 设X = (x1, x2,…, xn)T，则有
（1） X1x1x2xn
（2） （3）
X2X TXx1 2x2 2 xn 2 X m 1ian xi
范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
, 则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
1X X X
n1
1
X XnX
1
X X nX
2
定义2：设给定Rn中的向量序列{ X k }，即
其中
X0, X1, LXk, L
X kx 1 (k),x 2 (k), ,x n (k)T
若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有
lk im xi(k) xi*
则向量 X*(x1*,,xn *)T 称为向量序列{ X k }的极限，或者说向量序列{ X k }
A
定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的
矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵
（
lim）B的k 充0要条件
k
为
。(B) 1
4. 矩阵的条件数
定义5 设矩阵 A 为非奇异矩阵，则称
cond(A)A1 A
为矩阵A 的条件数，其中 是矩阵的算子范数。
对矩阵 A 的任意一个算子范数 g 有
AB
2 2
2
2
||A || 1 ,||B || 1 ,||A B || 2
从而 ||AB||||A||g||B||
定理4：设n 阶方阵A = (aij)nn，则
（Ⅰ）与 x 相1 容的矩阵范数是
n
A 1
max j i1
aij
（Ⅱ）与 x 相2 容的矩阵范数是
A 2
1
其中1为矩阵ATA的最大特征值。