第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
09:47
(s)
t
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
波长与相位常数 波长λ ：空间相位差为2π 的两个波阵面的间距，即
k 2π
2π 1 k f
(m)
相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化
k
2π
(rad/m)
o
Ex
k 的大小等于空间距离2π内所
z
包含的波长数目，因此也称为波数。
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
考虑一种简单情况：
均匀平面波电场矢量沿x方向，波沿z方向传播，则由均匀平面波 性质，知 E 只随z坐标变化。则方程可以简化为：
2 Ex 2 k Ex 0 2 z
解一元二次微分方程，可得上方程通解为：
Ex E e jkz E e jkz
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
4 8
由已知条件，可得：
4 4
4 由条件，可知： E0 10 ， 2 10 ，k 3 4 4 8 即：E ex10 cos(2 10 t z 0 ) 3 4 1 10 10 cos( 0 ) 0 3 8 6 4 4 8 E ex10 cos(2 10 t z ) 3 6 H k E 1 4 4 8 ez ex 10 cos(2 10 t z ) 60 3 6
09:47
H、k 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系 E 、
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
媒质本征阻抗（波阻抗） 从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值。 定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征阻抗，用 表示，即：
H
E
——媒质本征波阻抗
y
z
理想介质中均匀平面波的 E 和 H
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
例 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿 +Z 方向传播，介质的特性参数为 r 4, r 1 0 。设电场沿x方向， 即 E e E 。已知：当t=0, z=1/8 m时，电场等于其振幅 104V / m 。 x x 试求:（1）波的传播速度、波长、波数；（ 2）电场和磁场的瞬时表达式； （3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。 解：由已知条件可知：频率: f 100MHz 振幅: Ex 0 104V / m
4 10 cos(2 10 t z ) 60 3 6 ey
4 8
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
(3) S (t ) E (t ) Hale Waihona Puke BaiduH (t )
ez 4 8 2 8 10 cos (2 10 t z ) 60 3 6 108 1 T S av S (t )dt ez W / m2 T 0 120
波阵面
x
E
波传播方向
在实际应用中，理想的均匀平面波并 不存在。但某些实际存在的波型，在远离 波源的一小部分波阵面，仍可近似看作均 匀平面波。
09:47
o y
H
均匀平面波
z
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
5.1.1 一维波动方程的平面波解
电场强度矢量的解 在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区域中，电 场场量满足亥姆霍兹方程，即：
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
5.1.3
沿任意方向传播的均匀平面波
当电磁波向正z方向传播时，由前面的讨论知：
E Eme
jkz
Eme
jkez zez
Eme jk
r
k ex kx ey k y ez kz , r ex x ey y ez z 则当电磁波向任意 k 方向传播时， jk r j E E e (复数形式） 0 E E0 cos( t k r ) (实数形式）
(2)设 E ex E0 cos(t kz 0 )
09:47
3 8 v 10 m/ s (1) p r r 0 0 2 4 8 2 8 k 2 10 10 3 3 2 1.5m k
1
1
1
电磁场与电磁波
H2 1 1
同理，可以推得：
(ez ) E2
磁场与电场相互 垂直，且同相位
H H1 H 2
直，且同相位。
09:47
(ez E1 ez E2 )
结论：在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相互垂
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
波动方程解的物理意义
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
第五章 均匀平面波在无界媒质中的传播
在无源空间中，时变电磁场相互激励，电磁场以波动的形式存在， 并且在空间中传播，形成电磁波。
电磁波传播的媒介环境： 无界：无障碍的自由空间（理想情况） 半无界：介质表面反、折射问题 有界：波导、传输线等
媒介性质： 无耗（非导电） 有耗（导电）
由电磁波的场量表达式可总结出波的传播特性 均匀平面波的传播参数
角频率、频率和周期 角频率ω ：表示单位时间内的相位变化，单位为 rad /s
周期T ：时间相位变化 2π的时间间隔，即
Ex
o
T
Ex (0, t ) Emcost 的曲线
T 2π
T
2π
1 (Hz) 频率f ： f T 2π
Ex ( z,0) Emcoskz 的曲线
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
相位速度（波速）
相速v：电磁波的等相位面在空间中的 移动速度
波形中任意一点处的相位为
t kz 0 令 t kz 0＝const
dz dz 1 两边对时间t去导数，得： k 0 vp dt dt k 关于波的相速的说明
x r o y
沿＋z方向传播的均匀平面波
09:47 等相位 面
P(x,y,z)
波传播方向
x
等相位 面
r
o
P(x,y,z) en
波传播方向
z y
z
沿任意方向传播的均匀平面波
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
关于平面波场量一般表达式的进一步讨论
均匀平面波电场场量的一般表达式
jk r j (复数形式） E E0e E E0 cos( t k r ) (实数形式）
电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关。
真空中电磁波的相位速度：v p 0
1
=
09:47
1 f
vp f
0 0
3 108 (m / s) c(光速)
vp f
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
场量 E ， H 的关系
当 当
E ex E e
jkz
本章内容
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
09:47
理想介质中的均匀平面波 电磁波的极化 导电媒质中的均匀平面波 色散与群速 均匀平面波在各向异性媒质中的传播
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
5.1 理想介质中的均匀平面波
均匀平面波的几个概念
波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面 平面波：等相位面为无限大平面的电磁波 均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不 变的平面波 均匀平面波的特点：在与波传播方向 垂直的无限大平面内，电、磁场的振幅、 方向和相位保持不变。
首先考察
均匀平面波函数
。其实数形式为：E cos(t kz) E e jkz
t 0
Ex
t
4
t
2π
2
kz
0
π
不同时刻 E x 的波形
3π
从图可知，随时间t增加，波形向+z方向平移。
e jkz为表示向+z方向传播的均匀平面波函数； e jkz 表示向-z方向传播的均匀平面波波函数；
一般情况下，在直角坐标系下，
k ex kx ey k y ez kz , r ex x ey y ez z
则：k r (ex kx ey k y ez kz ) (ex x ey y ez z) kx x k y y kz z
j ( k x x k y y k z z ) j (复数形式） E E0e E E0 cos[t (k x x k y y k z z ) ] (实数形式）
结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。 电磁波的能量密度：w we wm E 2 H 2 电磁波的能流密度：
S EH E k E
1
1
E 2k ( E0为电场振幅)
1 1 2 Sav Re[ E H ] E0 k 2 2
09:47
一维波动方程解的物理意义：沿+z,-z方向传播的均匀平面波的 合成波。
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
5.1.2 无界理想媒质中均匀平面波的传播特性
在无界媒质中，若均匀平面波向 +z 向传播，且电场方向指向 e 方 x 向，则其电场场量表达式为：
E ex E0e jkz e j (场量的复数形式） 或E ex E0 cos(t kz ) (场量的实数形式）
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
无界理想媒质中均匀平面波的传播特性总结
电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM波)。
无衰减，电场与磁场的振幅不变。
波阻抗为实数，电场与磁场同相位。 电磁波的相速与频率无关，无色散。
x E O H
电场能量密度等于磁场能量密度， 能量的传输速度等于相速。
特殊地：真空（空气）的本振阻抗为：
0 0 0
4 107 120 377() 1 109 36
在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为377。
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
实数表达形式
能量密度和能流密度
1 2 电场能量密度： we E 2 磁场能量密度： w 1 H 2 1 ( E )2 1 E 2 m 2 2 2 we wm
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
相伴的磁场 令
E E1 E2 ex E e jkz ex E e jkz ，由 E j H 得 j j ( E e jkz ) H1 E1 ey z 1 k jkz jkz ez E1 ey E e ez ex E e
2 E k 2 E 0 (k 2 2 )
2 E 2 E 2 E 2 2 2 k 2E 0 x y z 2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 k Ex 0 2 2 2 x y z 2 2 2 E E Ey y y 2 2 k Ey 0 2 2 x y z 2 2 2 Ez Ez Ez 2 k Ez 0 2 2 x 2 y z
式中: E 、 E 为待定常数（由边界条件确定），表征场的幅度.
上式为一维波动方程通解的复数表达形式，其实数表达形式为：
Ex Re[( E e jkz E e jkz )e jt ] Em cos(t kz 1 ) Em cos(t kz 2 )
时，其相伴的磁场为
H
1
E ex E e
jkz
时，其相伴的磁场为 H 1 ( e ) E z
ez E
对于均匀平面电磁波，有： H
k E
式中： k 为表示波传播方向的单位矢量
同理可以推得： E 重要结论：
H k
E H k 1 H k E
(s)
t
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
波长与相位常数 波长λ ：空间相位差为2π 的两个波阵面的间距，即
k 2π
2π 1 k f
(m)
相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化
k
2π
(rad/m)
o
Ex
k 的大小等于空间距离2π内所
z
包含的波长数目，因此也称为波数。
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
考虑一种简单情况：
均匀平面波电场矢量沿x方向，波沿z方向传播，则由均匀平面波 性质，知 E 只随z坐标变化。则方程可以简化为：
2 Ex 2 k Ex 0 2 z
解一元二次微分方程，可得上方程通解为：
Ex E e jkz E e jkz
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
4 8
由已知条件，可得：
4 4
4 由条件，可知： E0 10 ， 2 10 ，k 3 4 4 8 即：E ex10 cos(2 10 t z 0 ) 3 4 1 10 10 cos( 0 ) 0 3 8 6 4 4 8 E ex10 cos(2 10 t z ) 3 6 H k E 1 4 4 8 ez ex 10 cos(2 10 t z ) 60 3 6
09:47
H、k 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系 E 、
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
媒质本征阻抗（波阻抗） 从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值。 定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征阻抗，用 表示，即：
H
E
——媒质本征波阻抗
y
z
理想介质中均匀平面波的 E 和 H
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
例 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿 +Z 方向传播，介质的特性参数为 r 4, r 1 0 。设电场沿x方向， 即 E e E 。已知：当t=0, z=1/8 m时，电场等于其振幅 104V / m 。 x x 试求:（1）波的传播速度、波长、波数；（ 2）电场和磁场的瞬时表达式； （3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。 解：由已知条件可知：频率: f 100MHz 振幅: Ex 0 104V / m
4 10 cos(2 10 t z ) 60 3 6 ey
4 8
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
(3) S (t ) E (t ) Hale Waihona Puke BaiduH (t )
ez 4 8 2 8 10 cos (2 10 t z ) 60 3 6 108 1 T S av S (t )dt ez W / m2 T 0 120
波阵面
x
E
波传播方向
在实际应用中，理想的均匀平面波并 不存在。但某些实际存在的波型，在远离 波源的一小部分波阵面，仍可近似看作均 匀平面波。
09:47
o y
H
均匀平面波
z
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
5.1.1 一维波动方程的平面波解
电场强度矢量的解 在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区域中，电 场场量满足亥姆霍兹方程，即：
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
5.1.3
沿任意方向传播的均匀平面波
当电磁波向正z方向传播时，由前面的讨论知：
E Eme
jkz
Eme
jkez zez
Eme jk
r
k ex kx ey k y ez kz , r ex x ey y ez z 则当电磁波向任意 k 方向传播时， jk r j E E e (复数形式） 0 E E0 cos( t k r ) (实数形式）
(2)设 E ex E0 cos(t kz 0 )
09:47
3 8 v 10 m/ s (1) p r r 0 0 2 4 8 2 8 k 2 10 10 3 3 2 1.5m k
1
1
1
电磁场与电磁波
H2 1 1
同理，可以推得：
(ez ) E2
磁场与电场相互 垂直，且同相位
H H1 H 2
直，且同相位。
09:47
(ez E1 ez E2 )
结论：在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相互垂
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
波动方程解的物理意义
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
第五章 均匀平面波在无界媒质中的传播
在无源空间中，时变电磁场相互激励，电磁场以波动的形式存在， 并且在空间中传播，形成电磁波。
电磁波传播的媒介环境： 无界：无障碍的自由空间（理想情况） 半无界：介质表面反、折射问题 有界：波导、传输线等
媒介性质： 无耗（非导电） 有耗（导电）
由电磁波的场量表达式可总结出波的传播特性 均匀平面波的传播参数
角频率、频率和周期 角频率ω ：表示单位时间内的相位变化，单位为 rad /s
周期T ：时间相位变化 2π的时间间隔，即
Ex
o
T
Ex (0, t ) Emcost 的曲线
T 2π
T
2π
1 (Hz) 频率f ： f T 2π
Ex ( z,0) Emcoskz 的曲线
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
相位速度（波速）
相速v：电磁波的等相位面在空间中的 移动速度
波形中任意一点处的相位为
t kz 0 令 t kz 0＝const
dz dz 1 两边对时间t去导数，得： k 0 vp dt dt k 关于波的相速的说明
x r o y
沿＋z方向传播的均匀平面波
09:47 等相位 面
P(x,y,z)
波传播方向
x
等相位 面
r
o
P(x,y,z) en
波传播方向
z y
z
沿任意方向传播的均匀平面波
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
关于平面波场量一般表达式的进一步讨论
均匀平面波电场场量的一般表达式
jk r j (复数形式） E E0e E E0 cos( t k r ) (实数形式）
电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关。
真空中电磁波的相位速度：v p 0
1
=
09:47
1 f
vp f
0 0
3 108 (m / s) c(光速)
vp f
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
场量 E ， H 的关系
当 当
E ex E e
jkz
本章内容
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
09:47
理想介质中的均匀平面波 电磁波的极化 导电媒质中的均匀平面波 色散与群速 均匀平面波在各向异性媒质中的传播
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
5.1 理想介质中的均匀平面波
均匀平面波的几个概念
波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面 平面波：等相位面为无限大平面的电磁波 均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不 变的平面波 均匀平面波的特点：在与波传播方向 垂直的无限大平面内，电、磁场的振幅、 方向和相位保持不变。
首先考察
均匀平面波函数
。其实数形式为：E cos(t kz) E e jkz
t 0
Ex
t
4
t
2π
2
kz
0
π
不同时刻 E x 的波形
3π
从图可知，随时间t增加，波形向+z方向平移。
e jkz为表示向+z方向传播的均匀平面波函数； e jkz 表示向-z方向传播的均匀平面波波函数；
一般情况下，在直角坐标系下，
k ex kx ey k y ez kz , r ex x ey y ez z
则：k r (ex kx ey k y ez kz ) (ex x ey y ez z) kx x k y y kz z
j ( k x x k y y k z z ) j (复数形式） E E0e E E0 cos[t (k x x k y y k z z ) ] (实数形式）
结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。 电磁波的能量密度：w we wm E 2 H 2 电磁波的能流密度：
S EH E k E
1
1
E 2k ( E0为电场振幅)
1 1 2 Sav Re[ E H ] E0 k 2 2
09:47
一维波动方程解的物理意义：沿+z,-z方向传播的均匀平面波的 合成波。
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
5.1.2 无界理想媒质中均匀平面波的传播特性
在无界媒质中，若均匀平面波向 +z 向传播，且电场方向指向 e 方 x 向，则其电场场量表达式为：
E ex E0e jkz e j (场量的复数形式） 或E ex E0 cos(t kz ) (场量的实数形式）
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
无界理想媒质中均匀平面波的传播特性总结
电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM波)。
无衰减，电场与磁场的振幅不变。
波阻抗为实数，电场与磁场同相位。 电磁波的相速与频率无关，无色散。
x E O H
电场能量密度等于磁场能量密度， 能量的传输速度等于相速。
特殊地：真空（空气）的本振阻抗为：
0 0 0
4 107 120 377() 1 109 36
在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为377。
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
实数表达形式
能量密度和能流密度
1 2 电场能量密度： we E 2 磁场能量密度： w 1 H 2 1 ( E )2 1 E 2 m 2 2 2 we wm
09:47
电磁场与电磁波
第5章
均匀平面波在无界媒质中的传播
相伴的磁场 令
E E1 E2 ex E e jkz ex E e jkz ，由 E j H 得 j j ( E e jkz ) H1 E1 ey z 1 k jkz jkz ez E1 ey E e ez ex E e
2 E k 2 E 0 (k 2 2 )
2 E 2 E 2 E 2 2 2 k 2E 0 x y z 2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 k Ex 0 2 2 2 x y z 2 2 2 E E Ey y y 2 2 k Ey 0 2 2 x y z 2 2 2 Ez Ez Ez 2 k Ez 0 2 2 x 2 y z
式中: E 、 E 为待定常数（由边界条件确定），表征场的幅度.
上式为一维波动方程通解的复数表达形式，其实数表达形式为：
Ex Re[( E e jkz E e jkz )e jt ] Em cos(t kz 1 ) Em cos(t kz 2 )
时，其相伴的磁场为
H
1
E ex E e
jkz
时，其相伴的磁场为 H 1 ( e ) E z
ez E
对于均匀平面电磁波，有： H
k E
式中： k 为表示波传播方向的单位矢量
同理可以推得： E 重要结论：
H k
E H k 1 H k E