离散数学 总复习资料 考试 试卷

10．(1)举出正整数集上一种关系,它是等价关系但不是偏序关系;(2) 举出正整数集上一种关系,它是偏序关系但不是等价关系解：（1）正整数集上模3的同余关系。

（2）正整数集上的整除关系。

14．（1）画一个图，使它既有欧拉回路，又有哈密顿回路；（

15．（1）画一个图，使它有欧拉回路，无哈密顿回路；（2）画一个回路图，使它无欧拉回路，有哈密顿回路。 解：（1）

16．证明小于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度数小于5。

证：（反证法）假设小于30条边的简单平面图G 中每一个顶点的度数大于等于5，从而此时顶点数v 与边数e 满足v

e 52≥；另一方面，

由于此时图G 的每一个区域至少由3条边围成，从而由Euler 公式推论知，此时顶点数v 与边数e 满足63-≤v e ；故有65

6-≤

e e ，

进而有30

≥e

，这与已知条件产生矛盾。故小于30条边的简单平面图至少有一个顶点的度数小于5。#

17．证明具有6个顶点和12条边的连通简单平面图，它的每个区域都是由三条边围成。 证： 由题意及欧拉公式知，其区域数为8

6122

=-+。若有一个区域不是由三条边围成，则至少由4条边围成，从而8个区域至少需要

25条边才能围成，即图中的边数不少于25/2=12.5, 这与已知条件12条边产生矛盾，故它的每个区域都是由三条边围成。#

20．求分别用前序、中序、后序遍历（周游）下图。

解：前序6-2-1-4-3-5-10-7-9-8-11 中序1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11 后序1-3-5-4-2-8-9-7-11-10-6 22．设7个字母在通讯中出现的频率如下，:35%,:20%,:15%,:10%,:10%,a b c d e :5%,:5%

f g ，

100

40 60

20 20 25 35 10 10 10 15

5 5

从而对应的二元前缀码为：11,01,101,100,001,0000,0001a b c d e f g -------。五．代数系统与布尔代

数

24．讨论下表给出集合}3,2,1,0{=A 上的运算是否具有交换律、结合律，并求出零元、幂等元。

解：根据上表运算结果的对称性知,上述运算满足交换律,又由上表的第二行与第二列知0是其零元, 再由上表的第三行与第三列知1是其幺元，并由对角线上的具体结果知，仅有0与1是其幂等元。从而对

A

z y x ∈,,，当

z

y x ,,中有一个为0或1时，均有

)

*(**)*(z y x z y x =；又

)2*2(*202*)2*2(==，

03*)2*2(=)3*2(*2=，

)

2*3(*202*)3*2(==，)

3*3(*223*)3*2(==，)

2*2(*302*)2*3(==，

23*)2*3(=, 2)3*2(*3=，)2*3(*322*)3*3(==，)3*3(*333*)3*3(==。故上述

运算满足结合律。#

25．设是,*)(A 一个半群，A a

∈,对A 中每个A x ,中存在元素v u ,满足x a v u a ==**，则A 中存在幺元。

证:依题意，存在a a v u ,满足a

a v u a a a ==**。另一方面，任取A 中A x ,中存在元素v u ,满足x

a v u a ==**，

从而有

x

a v u a v u a v u x a a a ====*)*(**)*(*

x u a u a v u a v x v a a a ====**)*()*(**

故有a a a a a a

u u v v u v ==*,*，进而有a a v u =，即a a v u =为A

中幺元。#

26．设是,*)(A 一个半群，证明如果A

是一个有限集，则在

A 中存在元素a ，使得a

a a =*。

解：由于

A

是一个有限集，取

A

中元素

b

，故由鸽笼原理知，存在正整数

j

i <满足

j

i b

b =。令

p

i j =-，则

p

i

p

i j

i b

b b

b b *===+，进而对任意的i q ≥，也有p

q

q b

b b *=。另一方面由于

1≥p ，故存在正整数k

满足

i kp ≥，从而p

kp

kp

b

b

b

*=，进而有p

kp

kp

b

b

b

*==== p

p kp

b

b b

**kp

kp

b

b

*。令kp

b

a =，

有

a

a a =*。#

27．求),(66⊕Z 的所有子群及陪集，其中-

----+=⊕y

x y x 6。

解：其子群为

6

4321},4,2,0{},3,0{},0{Z H H H H ====。关于子群

}

0{1=H 的陪集分别为

}

5{},4{},3{},2{},1{},0{；关于子群

}

3,0{2=H 的陪集分别为

}

5,2{},4,1{},3,0{；关于子群

}4,2,0{3=H 的陪集分别为}5,3,1{},4,2,0{；关于子群6

4Z H =的陪集就是其自身。#

28．求证有限群中周期大于2的元素个数必为偶数。

证：因为根据群元素周期的定义知，每个元素与其逆元素的周期是一致的，而当该元素的周期大于2时，其逆元素与本身不同，故有限群中周期大于2的元素必是成对出现，从而其周期大于2的元素个数必为偶数。# 29．若c b a ,,是格),(≤A 中的元素，求证：)()()(c a b a c b a

∨∧∨≤∧∨。

证：b a c b a b c b ∨≤∧∨∴≤∧)(, ；又c a c b a c c b ∨≤∧∨∴≤∧)(, ；

进而有)()()(c a b a c b a

∨∧∨≤∧∨。#

30．若c b a ,,是格),(≤A 中的元素，求证：)()()(c b a c a b a

∨∧≤∧∨∧。

证：)(,c b a b a c b b ∨∧≤∧∴∨≤ ；又)(,c b a c a c b c ∨∧≤∧∴∨≤； 进而有)()()(c b a c a b a

∨∧≤∧∨∧。#