几何图形初步单元测试与练习(word解析版)
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一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°,∠D=120°;
(1)若∠E=60°,则∠F=________;
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.
(3)如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;
【答案】(1)90°
(2)解:如图,分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB
∴EM∥AB∥FN
∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN
又∵AB∥CD,AB∥FN
∴CD∥FN
∴∠D+∠DFN=180°
又∵∠D =120°
∴∠DFN=60°∴∠BEF=∠MEF+30°,∠EFD=∠EFN+60°
∴∠EFD=∠MEF +60°
∴∠EFD=∠BEF+30°
(3)解:如图,过点F作FH∥EP
由(2)知,∠EFD=∠BEF+30°
设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+30)°
∵EP平分∠BEF,GF平分∠EFD
∴∠PEF= ∠BEF=x°,∠EFG= ∠EFD=(x+15)°
∵FH∥EP
∴∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°∴∠P=15°
【解析】【解答】解:(1)分别过点E、F作EM∥AB,FN∥AB,则有AB∥EM∥FN∥CD.∴∠B=∠BEM=30°,∠MEF=∠EFN,∠DFN=180°-∠CDF=60°,
∴∠BEF=∠MEF+30°,∠EFD=∠EFN+60°,
∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.
【分析】(1)分别过点E、F作AB的平行线,根据平行线的性质即可求解;
(2)根据平行线的性质可得∠DFN=60°,∠BEM=30°,∠MEF=∠NFE,即可得到结论;(3)过点F作FH∥EP,设∠BEF=2x°,根据(2)中结论即可表示出∠BFD,根据角平分线的定义可得∠PEF=x°,∠EFG=(x+15)°,再根据平行线的性质即可得到结论.
2.数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, -5, -8
(1)计算以下各点之间的距离:①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,
(2)若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n,求M、N两点之间的距离.
【答案】(1)AB=3-1=2;BC=3-(-5)=8;CD=-5-(-8)=-5+8=3.
(2)MN=
【解析】【分析】(1)数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数,据此计算即可;
(2)因为m、n的大小未知,则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.
3.已知如图,∠COD=90°,直线AB与OC交于点B,与OD交于点A,射线OE与射线AF交于点G.
(1)若OE平分∠BOA,AF平分∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;
(2)若∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,∠OBA=42°,则∠OGA=________;
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA= ”,其它条件不变,求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1︰2两部分,AF平分∠BAD,∠ABO= (30°< α <90°),求∠OGA的度数.(用含的代数式表示)
【答案】(1)21°
(2)14°
(3)解:∵∠BOA=90°,∠OBA=α,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α,
∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD
∴∠GAD=30°+ α,∠EOA=30°,
∴∠OGA=∠GAD−∠EOA= α.
(4)解:当∠EOD:∠COE=1:2时,
∴∠EOD=30°,
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,
∵AF平分∠BAD,
∴∠FAD= ∠BAD,
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA,
∴2×30°+2∠OGA=α+90°,
∴∠OGA= α+15°;
当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,
同理得到∠OGA= α−15°,
即∠OGA的度数为α+15°或α−15°.
【解析】解:(1)∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,
∵AF平分∠BAD,OE平分∠BOA,∠BOA=90°,
∴∠GAD= ∠BAD=66°,∠EOA= ∠BOA=45°,
∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=66°−45°=21°;
故答案为21°;
⑵∵∠BOA=90°,∠OBA=42°,
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°,
∵∠BOA=90°,∠GOA= ∠BOA,∠GAD= ∠BAD,
∴∠GAD=44°,∠EOA=30°,
∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=44°−30°=14°;
故答案为14°;
【分析】(1)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(2)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(3)根据三角形外角的性质求出∠BAD,求出∠GOA和∠GAD,根据三角形外角性质求出即可;
(4)讨论:当∠EOD:∠COE=1:2时,利用∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°,∠FAD=∠EOD+∠OGA得到2×30°+2∠OGA=α+90°,
则∠OGA= α+15°;当∠EOD:∠COE=2:1时,则∠EOD=60°,同理得∠OGA= α-15°.
4.如图(1),将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起,
(1)若∠DCE=25°,∠ACB=?;若∠ACB=150°,则∠DCE=?;
(2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系,并说明理由;
(3)如图(2),若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起,则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系,请说明理由.
【答案】(1)【解答】∵∠ECB=90°,∠DCE=25°
∴∠DCB=90°﹣25°=65°
∵∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=155°.
∵∠ACB=150°,∠ACD=90°
∴∠DCB=150°﹣90°=60°
∵∠ECB=90°
∴∠DCE=90°﹣60°=30°.
故答案为:155°,30°
(2)【解答】猜想得:∠ACB+∠DCE=180°(或∠ACB与∠DCE互补)
理由:∵∠ECB=90°,∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB
∴∠ACB+∠DCE=180°
(3)【解答】∠DAB+∠CAE=120°
理由如下:
∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB
故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°.
【解析】【分析】(1)本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数,根据角的和差就可以求出∠ACB,∠DCE的度数;(2)根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系,结合前问的解决思路得出证明.(3)根据(1)(2)解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明.
5.综合题
(1)如图1,若CO⊥AB,垂足为O,OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC.求∠EOF的度数;
(2)如图2,若∠AOC=∠BOD=80°,OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.求∠EOF的度数;
(3)若∠AOC=∠BOD=α,将∠BOD绕点O旋转,使得射线OC与射线OD的夹角为β,OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.若α+β≤180°,α>β,则∠EOC=________.(用含α与β的代数式表示)
【答案】(1)解:∵CO⊥AB,
∴∠AOC=∠BOC=90°,
∵OE平分∠AOC,
∴∠EOC= ∠AOC= ×90°=45°,
∵OF平分∠BOC,
∴∠COF= ∠BOC= ×90°=45°,
∠EOF=∠EOC+∠COF=45°+45°=90°;
(2)解:∵OE平分∠AOD,
∴∠EOD= ∠AOD= ×(80+β)=40+ β,
∵OF平分∠BOC,
∴∠COF= ∠BOC= ×(80+β)=40+ β,
∠COE=∠EOD﹣∠COD=40+ β﹣β=40﹣β;
∠EOF=∠COE+∠COF=40﹣β+40+ β=80°;
(3)
【解析】【解答】(3)如图2,∵∠AOC=∠BOD=α,∠COD=β,
∴∠AOD=α+β,
∵OE平分∠AOD,
∴∠DOE= (α+β),
∴∠COE=∠DOE﹣∠COD= ,
如图3,∵∠AOC=∠BOD=α,∠COD=β,
∴∠AOD=α+β,
∵OE平分∠AOD,
∴∠DOE= (α﹣β),
∴∠COE=∠DOE+∠COD= .
综上所述:,
故答案为:.
【分析】(1)根据垂直的定义得到∠AOC=∠BOC=90°,根据角平分线的定义即可得到结论;
(2)根据角平分线的定义得到∠EOD=40+ β,∠COF=40+ β,根据角的和差即可得到结论;
(3)如图2由已知条件得到∠AOD=α+β,根据角平分线的定义得到∠DOE=(α+β),即可得到结论.
6.
(1)思考探究:如图①,的内角的平分线与外角的平分线相交于点,请探究与的关系是________.
(2)类比探究:如图②,四边形中,设,,,四边形的内角与外角的平分线相交于点 .求的度数.(用,的代数式表示)
(3)拓展迁移:如图③,将(2)中改为,其它条件不变,请在图③中画出,并直接写出 ________.(用,的代数式表示)
【答案】(1)
(2)解:延长、,交于点 .
,
由(1)知:
∴ .
(3)
【解析】【解答】解:(1)
∵平分,平分,
∴,
∵是的外角
∴
∵是的外角
∴
( 3 )延长,交于点 . 作与外角的平分线相交于点 . 如图:
,
【分析】(1)利用角平分线求出∠PCD= ∠ACD,∠PBD= ∠ABC,再利用三角形的一个外角定理即可求出.(2)延长BA、CD交于点F,然后根据(1)的结题可得到∠P的表达式.(3)延长AB、DC交于F,然后根据(1)的结题可得到∠P的表达式.
7.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.
(1)若∠AOC=76°,求∠BOF的度数;
(2)若∠BOF=36°,求∠AOC的度数;
(3)若|∠AOC﹣∠BOF|=α°,请直接写出∠AOC和∠BOF的度数.(用含的代数式表示)【答案】(1)解:∵∠BOD=∠AOC=76°,
又∵OE平分∠BOD,
∴∠DOE= ∠BOD= ×76°=38°.
∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°,
∵OF平分∠COE,
∴∠EOF= ∠COE= ×142°=71°,
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°
(2)解:∵OE平分∠BOD,OF平分∠COE,
∴∠BOE=∠EOD,∠COF=∠FOE,
∴设∠BOE=x,则∠DOE=x,
故∠COA=2x,∠EOF=∠COF=x+36°,
则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°,
解得:x=36°,
故∠AOC=72°
(3)解:设∠BOE=x,
∵OE平分∠BOD,∠BOD=∠AOC,
∴∠DOE=x,∠COA=2x,
∴∠BOC=180°-2x,
∴∠COE=180°-x,
∵OF平分∠COE,
∴∠EOF=90°- x,
∴∠BOF=90°﹣ x,
∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°,
∴|2x﹣(90°﹣ x)|=α°,
解得:x=()°+ α°或x=()°﹣α°,
当x=()°+ α°时,
∠AOC=2x=()°+ α°,
∠BOF=90°﹣ x=()°﹣α°;
当x=()°﹣α°时,
∠AOC=2x=()°﹣α°,
∠BOF=90°﹣ x=()°+ α°
【解析】【分析】(1)由∠AOC=76°易得∠BOD=76°,结合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°,由此可得∠COE=180°-38°=142°,结合OF平分∠COE可得∠EOF=71°,最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度数;(2)设∠BOE=x,由OE平分∠BOD,∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x,∠AOC=2x,结合∠BOF=36°,OF平均∠EOF 可得∠COF=∠EOF=x+36°,最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出关于x的方程,解方程求得x的值即可求得∠AOC的度数;(3)设∠BOE=x,则由已知条件易得∠AOC=2x,
∠BOF=90°- x,这样结合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出关于x的方程,解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.
8.课题学习:平行线的“等角转化功能.
(1)问题情景:如图1,已知点是外一点,连接、,求
的度数.
天天同学看过图形后立即想出:,请你补全他的推理过程.解:(1)如图1,过点作,∴ ________, ________.
又∵,∴ .
解题反思:从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”功能,将,,“凑”在一起,得出角之间的关系,使问题得以解决.
(2)问题迁移:如图2,,求的度数.
(3)方法运用:如图3,,点在的右侧,,点在的左侧,,平分,平分,、所在的直线交于点,点在与两条平行线之间,求的度数.
【答案】(1)∠EAB;∠DAC
(2)解:过C作CF∥AB,
∵AB∥DE,∴CF∥DE∥AB,
∴∠D=∠FCD,∠B=∠BCF,
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°,
∴∠B+∠BCD+∠D=360°,
(3)解:如图3,过点E作EF∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠ABC=60°,∠ADC=70°,
∴∠ABE= ∠ABC=30°,∠CDE= ∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°.
【解析】【解答】解:(1)根据平行线性质可得:因为,所以∠EAB,∠DAC;
【分析】(1)根据平行线性质“两直线平行,内错角相等”可得
∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF;(2)过C作CF∥AB,根据平行线性质可得;(3)如图3,过点E作EF∥AB,根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE= ∠ABC=30°,∠CDE= ∠ADC=35°,故∠BED=∠BEF+∠DEF.
9.如图,在△ ABC中,∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O.
(1)若∠ABC=40°,∠ ACB=50°,则∠BOC=________
(2)若∠ABC+∠ ACB=lO0°,则∠BOC="________"
(3)若∠A=70°,则∠BOC=________
(4)若∠BOC=140°,则∠A=________
(5)你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗?写出并说明理由.
【答案】(1)135°
(2)130°
(3)125°
(4)100°
(5)解:BO平分∠ABC, CO平分∠ABC ∴∠OBC=0.5∠ABC ∠OCB=0.5∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=0.5∠ABC+0.5∠ACB= 0.5(180-∠A)=90-0.5∠A ∴∠O=180-(∠OBC+∠OCB)=180-(90-0.5∠A)=90°+0.5∠A
【解析】【解答】解:(1)∵∠ABC=40°,∠ACB=50°,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.
∴∠OBC= ∠ABC=20°,∠OCB= ∠ACB=25°,
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-20°-25°=135°,
故答案是:135°;
( 2 )在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=50°,
∴∠BOC=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°-50°=130°,
故答案是130°.
( 3 )在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=55°,
∴∠BOC=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°-55°=125°,
故答案是125°;
( 4 )∵∠BOC=140°,
∴∠OBC+OCB=40°,
∵∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+OCB)=80°,
∴∠A=100°,
故答案是:100°;
【分析】根据角平分线的性质以及三角形内角和定理得出∠OBC和∠OCB与∠A之间的关系,然后根据△BOC的内角和定理得出∠BOC与∠A的关系.
10.直线MN与直线PQ相交于O,∠POM=60°,点A在射线OP上运动,点B在射线OM上运动.
(1)如图1,∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,试求出∠AEB 的度数.
(2)如图2,已知AB不平行CD,AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线,又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线,点A、B在运动的过程中,∠CED的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明理由;若不发生变化,试求出其值.
(3)在(2)的条件下,在△CDE中,如果有一个角是另一个角的2倍,请直接写出∠DCE的度数.
【答案】(1)解:∵∠POM=60°,∠BAO=70°,
∴∠ABO=50°.
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线,
∴∠EAB= ∠OAB=35°,∠EBA= ∠OBA=25°,
∴∠AEB=180°-35°-25°=120°
(2)解:不发生变化,理由如下:
如图,延长BC、AD交于点F,
∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点,
∴∠FAB= ∠PAB= (180°-∠OAB),∠FBA= ∠MBA= (180°-∠OBA),
∴∠FAB+∠FBA= (180°-∠OAB)+ (180°-∠OBA)= (180°+∠AOB)=90°+ ∠AOB,∵∠AOB=60°,
∴∠F=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°- ∠AOB=60°,
同理可求∠CED =90°- ∠F=60°;
(3)∠DCE的度数40°或80°
【解析】【解答】解:(3)①当∠DCE=2∠E时,显然不符合题意;
②当∠DCE=2∠CDE时,∠DCE= =80°;
③当∠DCE= ∠CDE时,∠DCE= =40°,
综上可知,∠DCE的度数40°或80°.
【分析】(1)由∠POM=60°,∠BAO=70°,可求出∠ABO的值,根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线,可得∠EAB和∠EBA的值,在△EAB中,根据三角形内角和即可得出∠AEB的大小;(2)不发生变化,延长BC、AD交于点F,根据角平分线的定义
以及三角形内角和可得∠F =90°- ∠AOB,∠CED =90°- ∠F,即可得出∠CED的度数;(3)分三种情况求解即可.
11.已知直线AB和CD交于点O,∠AOC的度数为x,∠BOE=90°,OF平分∠AOD.
(1)当x=19°48′,求∠EOC与∠FOD的度数.
(2)当x=60°,射线OE、OF分别以10°/s,4°/s的速度同时绕点O顺时针转动,求当射线OE与射线OF重合时至少需要多少时间?
(3)当x=60°,射线OE以10°/s的速度绕点O顺时针转动,同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动,当射线OE转动一周时射线OF也停止转动.射线OE在转动一周的过程中当∠EOF=90°时,求射线OE转动的时间.
【答案】(1)解:∵∠BOE=90°,
∴∠AOE=90°,
∵∠AOC=x=19°48′,
∴∠EOC=90°-19°48′=89°60°-19°48′=70°12′,
∠AOD=180°-19°48′=160°12′,
∵OF平分∠AOD,
∴∠FOD= ∠AOD= ×160°12′=80°6′;
(2)解:当x=60°,∠EOF=90°+60°=150°
设当射线OE与射线OF重合时至少需要t秒,
10t-4t=360-150,
t=35,
答:当射线OE与射线OF重合时至少需要35秒
(3)解:设射线OE转动的时间为t秒,
分三种情况:①OE不经过OF时,得10t+90+4t=360-150,
解得,t= ;
②OE经过OF,但OF在OB的下方时,得10t-(360-150)+4t=90
解得,t= ;
③OF在OB的上方时,得:360-10t=4t-120
解得,t= .
所以,射线OE转动的时间为t= 或或 .
【解析】【分析】(1)利用互余和互补的定义可得:∠EOC与∠FOD的度数;
(2)先根据x=60°,求∠EOF=150°,则射线OE、OF第一次重合时,则OE运动的度数-OF 运动的度数=360-150,列方程解出即可;
(3)分三种情况:①OE不经过OF时,②OE经过OF,但OF在OB的下方时;③OF在OB的上方时;根据其夹角列方程可得时间.
12.直线AB与直线CD相交于点O,OE平分 .
(1)如图①,若,求的度数;
(2)如图②,射线OF在内部.
①若,判断OF是否为的平分线,并说明理由;
②若OF平分,,求的度数.
【答案】(1)解:∵∠BOC=130°
∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-130°=50°
∵OE平分∠BOD
∴
∴∠AOD=∠BOC=130°
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=130°+25°=155°
(2)解:①∵OE平分∠BOD
∴∠BOE=∠DOE
∵OF⊥OE
∴∠EOF=90°
∴∠DOF=90°-∠DOE
∵∠AOF=180°-∠EOF-∠BOE
=180°-90°-∠BOE
=90°-∠BOE
∴∠AOF=∠DOF
∴DF平分∠AOD
②∵
∴设∠DOF=3x,则∠AOF=5x
∵OF平分∠AOE
∴∠EOF=∠AOF=5x,∠AOE=10x
∴∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x
∵OE平分∠BOD
∴∠BOE=∠DOE=2x,∠BOD=4x
∵∠BOE+∠AOE=180°
∴2x+10x=180°
∴x=15°
∴∠BOD=4×15°=60°
【解析】【分析】(1)由∠BOC=130°可得∠BOD=50°根据OE平分∠BOD得
,根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=130°即可求出∠AOE的度
数;(2)①由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE由OF⊥OE可得∠EOF=90°,故∠DOF=90°-∠DOE由图形可计算出:∠AOF=90°-∠BOE,故∠AOF=∠DOF可证DF平分∠AOD②依题意设∠DOF=3x,则∠AOF=5x由OF平分∠AOE,可得∠EOF=∠AOF=5x,∠AOE=10x,可得:∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE=2x,∠BOD=4x由图形可知∠BOE+∠AOE=180°,列出方程求出x即可。