专题19 平面向量中最值、范围问题-备战2016高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)

【高考地位】

平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

【方法点评】

方法一 利用基本不等式求平面向量的最值

使用情景：一般平面向量求最值问题

解题模板：第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；

第二步 运用基本不等式求其最值问题； 第三步 得出结论.

例1 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈,则x y +的最大值是（ ）

A ．2

B ．2

C ．3

D ．3 【答案】B

考点：1．向量的数量积运算；2．均值不等式求最值

【点评】寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y +与此变量的函数关系式解决最值问题的常用途径之一. 【变式演练1】在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设,,AM xAB AN y AC ==

（x 、y≠0），则4x ＋y 的最小值是______________． 【答案】

9

4

. 考点：向量共线关系，不等式最值.

【变式演练2】已知点A （1, -1），B （4,0），C （2,2）．平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（1≤λ≤a ，1≤μ≤b ）的点P （x,y ）组成的区域．若区域D 的面积为8，则a+b 的最小值为 ． 【答案】4

考点：1、平面向量的线性运算；2、基本不等式．

【变式演练3】在△ABC 中，过中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB 、AC 于M 、N 两点，设,,AM xAB AN y AC == （x 、y≠0），则4x ＋y 的最小值是______________． 【答案】

9

4

考点：向量共线关系，不等式最值.

方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围

使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题

解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；

第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论.

例2 已知OAB ∆的顶点坐标为(0,0)O ，(2,9)A ，(6,3)B -， 点P 的横坐标为14，且OP PB λ=，点Q 是边AB 上一点，且0OQ AP ⋅=. （1）求实数λ的值与点P 的坐标； （2）求点Q 的坐标；

（3）若R 为线段OQ （含端点）上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+的取值范围. 【答案】（1）(14,7)P -（2）(4,3)Q （3）25

[,0]2

-

.

考点：向量的数量积，向量共线.

【点评】其解题思路为：（1）由OP PB λ=，根据向量共线，设出P 点坐标即可得；（2）设出Q 点坐标(),a b ,根据0OQ AP ⋅=可得一个方程，然后利用Q 在AB 上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得Q 点坐标；（3）由R 在线段OQ 上可利用向量共线设R 坐标()4,3t t ，注意引入的变量t 范围，然后分别表示出向量

RO ,RA,RB,，利用数量积得出一个关于t 的二次函数，求这个关于t 的二次函数的最值即可得.

【变式演练4】已知向量,a b 不共线，t 为实数．

（Ⅰ）若OA a =，OB tb =，1

()3

OC a b =+，当t 为何值时，,,A B C 三点共线； （Ⅱ）若||||1a b ==，且a 与b 的夹角为120，实数1

[1,]2

x ∈-，求 ||a xb -的取值范围．

【答案】（1）1

2t =

（2）37[,]22

. （Ⅱ）由1||||cos1202

a b a b ⋅=⋅⋅=-

，则22222

||21a xb a x b xa b x x -=+⋅-⋅=++， 因为1[1,]2x ∈-，当1

2

x =-

时，||a xb -32

当1

2

x =

时，||a xb -的最大值为72

所以||a xb -的取值范围是37[

,]22

考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平行向量与共线向量.

【变式演练5】设12,e e 为单位向量，非零向量b=x 1e +y 2e ，x,y ∈R ．若1e ．2e 的夹角为6

π

，则b

x

的最大

值等于_________． 【答案】2

考点：1．向量的模；2．二次函数求最值．

方法三 建立直角坐标系法

使用情景：一般向量求最值或取值范围类型

解题模板：第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；

第二步 将平面向量数量积的运算坐标化；

第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即

可.

例3 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是__________.

【答案】2-.