2012-2018全国卷圆锥曲线(理科)

2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科)
1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．
（Ⅰ）若90BFD ∠=︒，ABD ∆的面积为，求p 的值及圆F 的方程．
（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．
2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆
22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ．
3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22
221(0)
x y a b a b
+=>>
的离心率为
2
，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．
(Ⅰ)求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．
4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2
:4
x C y =与直线
(0)y kx a a =+>交于,M N 两点．
(Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的
圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．
(I)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与
l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的
取值范围．
6. (2017年全国高考Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)已知椭圆C ：（a >b >0），四
点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
7．(2018年全国高考Ⅰ卷理科第19题) (本小题满分12分)设椭圆的右焦点为
，过
的直线与
交于
，
两点，点
的坐标为
．
⑴当与轴垂直时，求直线的方程；
⑵设为坐标原点，证明：
．
22
22=1x y a b
+
22
2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(参考答案)
1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈．已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点．
（Ⅰ）若90BFD ∠=︒，ABD ∆
的面积为，求p 的值及圆F 的方程．
（Ⅱ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值．
【解析】(Ⅰ)由对称性知BFD ∆是等腰直角三角形，斜边||2BD p =， 点A 到准线l
的距离||||d FA FB ===，
由1
||2ABD S BD d ∆=⨯⨯=2p =．
∴圆F 的方程为22(1)8x y +-=．
（Ⅱ）由对称性设2
000(,)(0)2x A x x p
>，则(0,)2p F ．
由点,A B 关于点F 对称得200(,)2x B x p p --，从而2022
x p
p p -=-，所以2203x p =．
因此3,)2p A
，直线3:2p p p m y x -
=
+
，即0x +=． 又22122x py y x p =⇔=
，求导得'x y p ==
，即x =
)6
p
P ．
又直线:6p n y x -
=
，即0x -=． 故坐标原点到直线,m n
距离的比值为23p =．
【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力．
2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆22:(1)1M x y ++=，圆
22:(1)9N x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．
(Ⅰ)求C 的方程；
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于,A B 两点，当圆P 的半径最长时，求||AB ．
【解析】由已知得圆M 的圆心为(1,0)M -，半径11r =，圆N 的圆心为(1,0)N ，半径23r =． 设动圆P 的圆心为(,)P x y ，半径为R ．
(Ⅰ)因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，
所以1212||||()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=，且4||MN >． 由椭圆的定义可知，
曲线C 是以,M N 为左，右焦点，长半轴长为2
的椭圆(左顶点除外)，
其方程为22
1(2)43
x y x +
=≠-． (Ⅱ)对于曲线C 上任意一点(,)P x y ，由于||||222PM PN R -=-≤，所以2R ≤． 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，2R =．
∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=． 当l 的倾斜角为90︒时，l 与y
轴重合，可得||AB =
当l 的倾斜角不为90︒时，由1r R ≠知l 不平行x 轴．设l 与x 轴的交点为Q ， 则
1
||||QP R
QM r =，可求得(4,0)Q -， ∴设:(4)l y k x =+，由l 与圆M
1=
，解得k =±
当4k =
时，将4y x =
代入22
1(2)43
x y x +=≠- 整理得27880x x +-=． (*)
设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是(*)方程的两根．所以1287x x +=-，128
7x x =-．
1218
|||7
AB x x ∴=-==．
当4k =-
时，由对称性知18
||7
AB =．
综上，||AB =18||7
AB =
． 【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．
3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点(0,2)A -，椭圆E ：22
221(0)
x y a b a b
+=>>
的离心率为
F 是椭圆的焦点，直线AF
，O 为坐标原点．
(Ⅰ)求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【解析】(Ⅰ)设(),0F c
，由条件知
2c =
c =
又c a =，所以2a =，222
1b a c =-=，故E 的方程2214
x y +=．
（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，方程为2y kx =-，
联立直线与椭圆方程：22
1
42x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，化简得：22(14k )16120x kx +-+=．
∵216(43)0k ∆=->，∴234
k >
． 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121222
1612
,1414k x x x x k k
+=
⋅=++，
∴122
1+4PQ x k -，
且坐标原点O 到直线l
的距离为d =
因此221+41+4OPQ
S k k ∆==，
令0)t t =>，则2
44
,044OPQ t S t t t t
∆=
=>++． ∵4
4t t
+
≥，当且仅当4t t =，即2t =时，等号成立，∴1OPQ S ∆≤．
故当2t =，
2=
，k =OPQ ∆的面积最大． 此时，直线l
的方程为2y x =±
-． 【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识和方程思想．
4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系xOy 中，曲线2
:4
x C y =与直线
(0)y kx a a =+>交于,M N 两点．
(Ⅰ) 当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(Ⅱ) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由． 【解析】
（Ⅰ）由题设可得),()M a N a -
或(),)M a N a -．
又=2
x y '，故24x y =
在x =
在点)a
处的切线方程为y a x -=-
0y a --=．
2
4
x y x ==-在
处的导数值为
在点()a -
处的切线方程为y a x -=+
0y a ++=．
故所求切线方程为0y a --=
0y a ++=． (Ⅱ)存在符合题意的点P ．证明如下：
设(0,)P b 为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y ，直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ． 将y kx a =+代入C 的方程，消去y 整理得2440x kx a --=， 则12,x x 是该方程的两根． 故12124,4.x x k x x a +==- 从而1212121212122()()()
y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a
--+-+++=
+==． 当b a =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠． 所以点(0,)P a -符合题意．
【考点分析】本小题主要考查直线、抛物线和导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．
5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题) (本小题满分12分)设圆222150x y x ++-=的
圆心为A ，直线l 过点(0,1)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． (I)证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
(II)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与
l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的
取值范围．
【解析】(I)因为AD AC =，EB AC ∥， 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠．所以EB ED =， 故EA EB EA ED AD +=+=
又圆A 标准方程为()2
2116x y ++=，从而4AD =，所以4EA EB +=． 由题设得()()1,0,1,0,2A B AB -=，
由椭圆的定义可得点E 的轨迹方程为22
143
x y +
=，(0y ≠)； (II)（法一）当l 与x 轴不垂直时，设()():10l y k x k =-≠，()()1122,,,M x y N x y
由
()
22114
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()
2222
4384120k x k x k +-+-=． 则2122843k x x k +=+，2122
412
43
k x x k -=+g
所以()2122
12143
k MN x k +=-=
+．
过点()1,0B 且与l 垂直的直线()1
:1m y x k =-
-，A 到m
，
所以PQ ==． 故四边形MPNQ
的面积为12S MN PQ =
= 当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ
的面积的取值范围为( 当l 与x 轴垂直时，其方程为1x =，3MN =，8PQ =
四边形MPNQ 的面积12．
综上，四边形MPNQ
的面积的取值范围为⎡⎣．
（法二）22
1:143
x y C +
=；设:1l x my =+， 因为PQ l ⊥，设():1PQ y m x =--，联立1l C 与椭圆
221
143x my x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩得()2234690m y my ++-=；
则
()22121|||34
M N m MN y y m +=-==
+；
圆心A 到PQ
距离
|11|
m d ---=
=
所以||PQ ===
(
)2
212111||||2234MPNQ m S MN PQ m +∴=⋅=⋅+
⎡=
=⎣．
【考点分析】主要考查直线与圆的位置关系、椭圆的定义、韦达定理、弦长公式等解析几何常用知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．
已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有
三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。

若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
【考点】：圆锥曲线。

【思路】：（1）根据椭圆的对称性可以排除P 1（1,1）。

（2）联立方程即可，此时有两种方法联立，第一种，假设直线AB 的方程，第二种假设直线P 2A 和P 2B 。

【解析】：
22
22=1x y
a b
+22
（1）根据椭圆对称性可得，P 1（1,1）P 4（1
不可能同时在椭圆上，P 3（–1
，P 4（1
）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P 2（0,1
），P 3（–1，
），P 4（1，），代入椭圆方程可得：，故而可得椭圆的标准方程为：。

（2）由题意可得直线P 2A 与直线P 2B 的斜率一定存在，不妨设直线P 2A 为： ,P 2B 为：
.联立，假设，此时可得： ，此时可求得直线的斜率为： ，化简可得，此时满足。

○
1当时，AB 两点重合，不合题意。

○2当时，直线方程为：，即，当时，，因此直线恒过定点。

19.
答案： （1）；
（2）略. 解答：
（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，
∴，∴直线的方程为：. 22
2131,124
b a a =+=⇒=2
214x y +=1y kx =+()11y k x =-+()22
22
1
418014
y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩()11,A x y ()22,B x y ()()()()2
222
2281141814,,,4141411411k k k k A B k k k k ⎛⎫+-+⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
()
()()
()2
22
2
21
21
22
141144141181841
411AB k k k k y y k k x x k
k k -+--+++-=
=+---+++()
2
1
12AB
k k =-
+12
k ≠-
1
2
k =-12k ≠
-()22221814
414112k k y x k k k -⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭+()()2244112k k x y k +-+=-+2x =1y =-()2,1-2)2
y x =±-1x =2
112y +=2y =±(1,)2A ±2AM k =±AM 2)2
y x =±
-
（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，
，联立椭圆方程有即，∴，
，
，∴，∴.
l l (1)y k x =-1122(,),(,)A x y B x y 22
(1)
,12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222
(21)4220k x k x k +-+-=2
122
421
k x x k +=+2122
2221
k x x k -=+1212121212[(23()4]
22(2)(2)
AM BM y y k x x x x k k x x x x -+++=
+=----22
22124412(4)
21210(2)(2)
k k k k k x x --+++==--AM
BM k k =-OMA OMB ∠=∠。