二项分布与正态分布
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k k n－k 【答案】Cn pq
我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 k k n－k ξ～B(n，p)，其中 n，p 为参数，并记 Cn p q ＝b(k，n， p)． 注：对二项分布 ξ～B(n，p)有
n！ k n－k p· q ＝np，Dξ＝np(1－p)． Eξ＝ k· k ！ n － k ！ k＝0
【解析】 方法一：随机变量 ξ 的可能值为 0,1,2,3. 3 C2 27 4 P(ξ＝0)＝ 2 3＝125， C5 1 2 2 C1 54 3C4C4 P(ξ＝1)＝ ＝125， 2 3 C5 1 2 2 C2 C 36 3 4 C4 P(ξ＝2)＝ ＝125， 3 C2 5 3 C1 8 4 P(ξ＝3)＝ 2 3＝125. C5 所以随机变量 ξ 的分布列为 1 2 3 ξ 0 27 54 36 8 P 125 125 125 125
(4)正态曲线的性质： ①曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交． ②曲线关于直线 x＝μ 对称． ③当 x＝μ 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时， 曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线． ④当 x＜μ 时，曲线上升；当 x＞μ 时，曲线下降．当曲线 向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的 靠近． ⑤当 μ 一定时， 曲线的形状由 σ 确定， σ 越大， 曲线越“矮 胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越“瘦高”，表 示总体的分布越集中．
(5)“3σ”原则：若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 ξ 落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为 99.7%，亦即落在(μ－3σ，μ ＋3σ)之外的概率为 0.3%，此为小概率事件．
题型一
和二项分布有关的概率问题
某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果精确 到 0.01)： (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率．
方法二：每名志愿者在 10 月 1 日参加社区服务的概率均 C1 2 4 为 P＝C2＝5. 5 则三名志愿者在 10 月 1 日参加社区服务的人数 ξ ～ 2 i 2 i 3 3－i B3，5，P(ξ＝i)＝C35 5 ， 所以随机变量 ξ 的分布列为 1 2 3 ξ 0 27 54 36 8 P 125 125 125 125 【点拨】 准确理解题目意思，判断随机变量是否服从特 殊分布；超几何分布或二项分布会给我们计算概率带来方便.
【思路分析】 该问题符合“n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率”的模型．
【答案】A 【解析】 (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率为 2 5 －2 2 3 P5(2)＝C2 × 0.8 × (1 － 0.8) ＝ 10 × 0.8 × 0.2 ≈0.05. 5 (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率为 0 5 －0 1 1 1－P5(0)－P5(1)＝1－C0 × 0.8 × (1 － 0.8) － C × 0.8 ×(1 5 5 － －0.8)5 1＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.
1．独立重复试验 在相同的条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立试验． 注：“在相同条件下”就是各次试验的结果不会受其他试 验的影响，即若 Ai(i ＝ 1,2 ，…， n) 是第 i 次试验的结果，则 P(A1A2…An)＝________________.
【答案】P(A1)P(A2)…P(An)
n
3．正态分布 (1)密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ξ，如图位 于 x 轴上方的曲线叫 ξ 的密度曲线，以其作为图象的函数 f(x) 叫做 ξ 的密度函数 ________． 则 ξ 落在任一区间[a，b)内的概率等于它与 x 轴和直线 x ＝a 与直线 x＝b 所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)．由 于“ξ∈(－∞，＋∞)”是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部 1 分面积等于________ ．
(2)正态分布与正态曲线： 如果随机变量 ξ 的概率密度为 f(x) x 2 1 2 e 2 (x∈R，μ，σ 为常数，σ＞0)，称 ξ 服从参数为 μ， ＝ 2πσ σ 的正态分布，用 ξ ～ N(μ ， σ2) 表示． f(x) 的表达式可简记为 N(μ，σ2)，它的密度曲线简称为正态曲线． ________ (3)正态分布的期望与方差：若 ξ～N(μ，σ2)，则 ξ 的期望 与方差分别为 Eξ＝μ，Dξ＝σ2.
2．二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独 立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P(ξ ＝ k) ＝ ________(其中 k＝0,1，…，n，q＝1－p)． 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下表 1 ξ 0 k … … n n 1 n－1 k k n－k P qn C1 p p q … C p q … n n
例 1 中求 5 次预报中恰有 2 次准确且其中第 3 次预报准确 的概率(精确到 0.01).
【解析】 “5 次预报中恰有 2 次准确且其中第 3 次预报准 确”的概率为 4－1 2 3 0．8×C1 × 0.8 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (1 － 0.8) ＝ 4 × 0.8 × 0.2 ≈0.02. 4
题型二
和二项分布有关的分布列问题
3 名志愿者在 10 月 1 号至 10 月 5 号期间参加社区服 务工作，若每名志愿者在这 5 天中任选两天参加社区服务工作 且各志愿者的选择互不影响， 记 ξ 表示这 3 名志愿者在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数，求随机变量 ξ 的分布列．
【思路分析】 本题考察分布列的求法，(1)找出的所有可 能取值；(2)计算每种取值的概率；(3)列表．“各志愿者的选择 互不影响”， 我们易知“3 名志愿者在 10 月 1 号是否参加社区 服务工作是相互独立的”，因此人数服从二项分布，这样将非 常简单．
我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 k k n－k ξ～B(n，p)，其中 n，p 为参数，并记 Cn p q ＝b(k，n， p)． 注：对二项分布 ξ～B(n，p)有
n！ k n－k p· q ＝np，Dξ＝np(1－p)． Eξ＝ k· k ！ n － k ！ k＝0
【解析】 方法一：随机变量 ξ 的可能值为 0,1,2,3. 3 C2 27 4 P(ξ＝0)＝ 2 3＝125， C5 1 2 2 C1 54 3C4C4 P(ξ＝1)＝ ＝125， 2 3 C5 1 2 2 C2 C 36 3 4 C4 P(ξ＝2)＝ ＝125， 3 C2 5 3 C1 8 4 P(ξ＝3)＝ 2 3＝125. C5 所以随机变量 ξ 的分布列为 1 2 3 ξ 0 27 54 36 8 P 125 125 125 125
(4)正态曲线的性质： ①曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交． ②曲线关于直线 x＝μ 对称． ③当 x＝μ 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时， 曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线． ④当 x＜μ 时，曲线上升；当 x＞μ 时，曲线下降．当曲线 向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的 靠近． ⑤当 μ 一定时， 曲线的形状由 σ 确定， σ 越大， 曲线越“矮 胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越“瘦高”，表 示总体的分布越集中．
(5)“3σ”原则：若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 ξ 落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为 99.7%，亦即落在(μ－3σ，μ ＋3σ)之外的概率为 0.3%，此为小概率事件．
题型一
和二项分布有关的概率问题
某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果精确 到 0.01)： (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率．
方法二：每名志愿者在 10 月 1 日参加社区服务的概率均 C1 2 4 为 P＝C2＝5. 5 则三名志愿者在 10 月 1 日参加社区服务的人数 ξ ～ 2 i 2 i 3 3－i B3，5，P(ξ＝i)＝C35 5 ， 所以随机变量 ξ 的分布列为 1 2 3 ξ 0 27 54 36 8 P 125 125 125 125 【点拨】 准确理解题目意思，判断随机变量是否服从特 殊分布；超几何分布或二项分布会给我们计算概率带来方便.
【思路分析】 该问题符合“n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率”的模型．
【答案】A 【解析】 (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率为 2 5 －2 2 3 P5(2)＝C2 × 0.8 × (1 － 0.8) ＝ 10 × 0.8 × 0.2 ≈0.05. 5 (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率为 0 5 －0 1 1 1－P5(0)－P5(1)＝1－C0 × 0.8 × (1 － 0.8) － C × 0.8 ×(1 5 5 － －0.8)5 1＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.
1．独立重复试验 在相同的条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立试验． 注：“在相同条件下”就是各次试验的结果不会受其他试 验的影响，即若 Ai(i ＝ 1,2 ，…， n) 是第 i 次试验的结果，则 P(A1A2…An)＝________________.
【答案】P(A1)P(A2)…P(An)
n
3．正态分布 (1)密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ξ，如图位 于 x 轴上方的曲线叫 ξ 的密度曲线，以其作为图象的函数 f(x) 叫做 ξ 的密度函数 ________． 则 ξ 落在任一区间[a，b)内的概率等于它与 x 轴和直线 x ＝a 与直线 x＝b 所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)．由 于“ξ∈(－∞，＋∞)”是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部 1 分面积等于________ ．
(2)正态分布与正态曲线： 如果随机变量 ξ 的概率密度为 f(x) x 2 1 2 e 2 (x∈R，μ，σ 为常数，σ＞0)，称 ξ 服从参数为 μ， ＝ 2πσ σ 的正态分布，用 ξ ～ N(μ ， σ2) 表示． f(x) 的表达式可简记为 N(μ，σ2)，它的密度曲线简称为正态曲线． ________ (3)正态分布的期望与方差：若 ξ～N(μ，σ2)，则 ξ 的期望 与方差分别为 Eξ＝μ，Dξ＝σ2.
2．二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独 立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P(ξ ＝ k) ＝ ________(其中 k＝0,1，…，n，q＝1－p)． 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下表 1 ξ 0 k … … n n 1 n－1 k k n－k P qn C1 p p q … C p q … n n
例 1 中求 5 次预报中恰有 2 次准确且其中第 3 次预报准确 的概率(精确到 0.01).
【解析】 “5 次预报中恰有 2 次准确且其中第 3 次预报准 确”的概率为 4－1 2 3 0．8×C1 × 0.8 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (1 － 0.8) ＝ 4 × 0.8 × 0.2 ≈0.02. 4
题型二
和二项分布有关的分布列问题
3 名志愿者在 10 月 1 号至 10 月 5 号期间参加社区服 务工作，若每名志愿者在这 5 天中任选两天参加社区服务工作 且各志愿者的选择互不影响， 记 ξ 表示这 3 名志愿者在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数，求随机变量 ξ 的分布列．
【思路分析】 本题考察分布列的求法，(1)找出的所有可 能取值；(2)计算每种取值的概率；(3)列表．“各志愿者的选择 互不影响”， 我们易知“3 名志愿者在 10 月 1 号是否参加社区 服务工作是相互独立的”，因此人数服从二项分布，这样将非 常简单．