状态反馈控制的主要特性及发展

武汉理工大学研究生课程论文

课程名称：现代控制工程

学生姓名：宋雄

课程教师：谭耀刚

学号：104972101293

日期：2010年1月

状态反馈控制的主要特性及发展

姓名：宋雄班级：机电1004班学号：104972101293 摘要：状态反馈是指系统的状态变量通过比例环节传送到输入端去的反馈方式。状态反馈是体现现代控制理论特色的一种控制方式。状态变量能够全面地反映系统的内部特性，因此状态反馈比传统的输出反馈能更有效地改善系统的性能。但是状态变量往往不能从系统外部直接测量得到，这就使得状态反馈的技术实现往往比输出反馈复杂。本文首先介绍了状态反馈控制系统的主要特性——可控性和可观性，并且对这两种性能进行了举例说明；还介绍了引入状态反馈对系统的可控性和可观性的影响；另外也说明了如何利用状态反馈来任意配置极点。其次，本文主要介绍的是状态反馈控制的发展，有容错控制，带全维状态观测器的状态反馈系统，这两种都是对可控性和可观性的深入的发掘和拓展。

关键词：状态反馈可控性和可观性极点配置全维状态观测器容错控制

引言

随着科技的不断发展，在硬件方面的发展逐步走向饱和，或者很难得到进步和延伸。但是软件方面的发展却逐步地得到社会的重视。一套好的设备，唯有配备合适的软件才能将它的功效尽可能大的释放出来。对于机械方面而言，软件就是指其控制系统。系统的状态变量通过比例环节传送到输入端去的反馈方式。状态反馈是体现现代控制理论特色的一种控制方式。状态变量能够全面地反映系统的内部特性，因此状态反馈比传统的输出反馈能更有效地改善系统的性能。但是状态变量往往不能从系统外部直接测量得到，这就使得状态反馈的技术实现往往比输出反馈复杂。状态反馈也不影响系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。只要原系统是能控的，则一定可以通过适当选取反馈增益矩阵K用状态反馈来任意移置闭环系统的极点(见极点配置)。对于传统的输出反馈,如果不引入附加的补偿装置，这一点不是总能作到的。

随着状态观测器理论和状态估计方法的发展（特别是由于卡尔曼-布什滤波方法的出现）,在很多情况下已不难获得状态变量的良好实时估计值，状态反馈方法已进入了实用阶段。

一、状态反馈

1、状态反馈的概念

状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入

相加，其和作为受控系统的输入。设SISO系统的状态空间表达式为：

x=Ax+bu,y=cx

状态反馈矩阵为K ，则状态反馈系统动态方程为：

∙

x =Ax+b(v-Kx)=(A-bK)x+bv

y=cx

式中：

K 为1×n 矩阵，即K=[k 0 k 1 … k n-1],称为状态反馈增益矩阵。(A-bK ）称为闭环系统矩阵。闭环特征多项式为|λI-(A-bK ）|可见，阴郁状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，b 、c 阵均无变化。

2、状态反馈系统的可控性和可观性

2.1 状态反馈系统的可控性

定理：多变量线性系统（定常的或时变的）

∑0}C B,A,{，在任何形如u(t)=r(t)+K(t)x(t)的状态反馈下，状态反馈闭环系统∑+K }C B,BK,A {完全可控的充要条件是被控对象

∑0

}C B,A,{完全可控。 证明：充分性证明，即若∑0可控，则∑K 就可控。

令x0和x1是状态空间中的任意两个状态，据∑0可控的假定，必存在能将x0在有限时间内转移到x1的输入u 。现在对于∑K ，若选r=u+Kx ，则输入r 也能将x0转移到x1，因此断定∑K 也可控。充分性得证。

必要性证明，即若∑0不可控，则∑K 也不可控。

由结构图一可见，输入r 不直接控制x ，而必须通过产生控制信号u 来控制x ，因此，如u 不可控制x ，则r 也不能控制x ，换言之，若∑0不可控，则∑K 也不可控。必要性得证。

注意到上述证明过程没有哟感到单变量和定常的条件，所以，上述定理对于多变量时变系统也是合适的。

2.2状态反馈系统的可观性

虽然状态反馈保持了动态方程的可控性，但总可以选择某一状态反馈阵K ，破坏动态方程的可观性。用一个特例就可以证明。

例2.1 设对象的动态方程为

因为

所以，该系统是完全可控的，但不是完全客观的。若取状态反馈的控制规律为

则状态反馈系统的动态方程为

容易验证，闭环系统仍然是可控的，而且是可观的。

上面的例子说明，状态反馈不改变系统的可可能更行，但可能改变系统的可观性。一般地说，当用状态反库配置的系统极点与原系统相同时，即出现零、极点对消时，状态反馈就改变了系统的可观性。

定理：输出反馈闭环系统可控的充要条件是被控系统可控；输出反馈闭环系统可观的充要条件是被控系统可观。

3、极点配置问题

极点配置定理 线性（连续或离散）多变量系统{A,B,C}能任意配置极点的充分必要条件是，该系统状态完全可控。

证明 下面仅给出连续系统情况下的证明，离散系统的证明类似。

必要性证明：采用反证法，即设系统部完全可控，于是可以通过状态方程的线性变换进行可控性规范分解，即

对于任一状态反馈增益阵K ~=[K ~1 K ~

2]，状态反馈系统的特征方程为

因此，只有当系统完全可控时，才有可能任意配置状态反馈系统的闭环极点。必要性得证。

充分性证明：下面只证明单输入单输出的情况。由前面的论述，若{A,b}是可控的，则存在非奇异线性变换x=Tx,将{A，b}化为第一可控标准型：

容易求得状态反馈闭环系统的特征多项式为

设闭环系统的期望极点为λ1，λ2，…，λn，则系统的期望特征多项式为

要使闭环系统的极点取期望值，只须令

比较上式两边系数得：

因此