2014届高三数学解析几何难点专练：两条直线的位置关系与对称问题

两条直线的位置关系与对称问题

1. “a ＝3”是“直线ax ＋3y ＝0与直线2x ＋2y ＝3平行”的( C )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：当两条直线平行时，由a ×2－3×2＝0，得a ＝3；当a ＝3时，两直线显然平行，故选C.

2.过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( A )

A ．x －2y ＋4＝0

B ．2x ＋y －7＝0

C ．x －2y ＋3＝0

D ．x －2y ＋5＝0

解析：根据已知直线方程知所求直线的斜率为12，所以所求直线方程为y －3＝12

(x －2)，即x －2y ＋4＝0，故选A.

3.直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( C )

A ．－3或－1

B ．3或1

C ．－3或1

D ．－1或3

解析：若k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25

满足两直线垂直；若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝k k －1，k 2＝1－k 2k ＋3

，由k 1·k 2＝－1，得k ＝－3，综上知k ＝1或k ＝－3，故选C.

4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( B )

A ．平行

B ．垂直

C ．重合

D ．相交但不垂直

解析：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B

， 即－sin A a ·b sin B

＝－1， 而－sin A a 与b sin B

分别为两条直线的斜率，故两条直线垂直，故选B. 5.若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12

x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝ 2 . 解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12

x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2.

6.点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为 (1,2)或(2，－1) .

解析：设P 点坐标为(a,5－3a )， 由题意知：|a －－3a －1|2

＝2，解之得a ＝1或a ＝2， 所以P 点坐标为(1,2)或(2，－1)．

7.已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是 2 .

解析：由已知两条直线平行得－34＝－6m

，解得m ＝8， 所以直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，

故两平行线间的距离为|－3－7|32＋4

2＝2.

8.(改编)已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (－4a

，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)．

(1)若l 1与l 2没有公共点，求实数a 的值；

(2)若l 1与l 2所成角为直角，求实数a 的值．

解析：l 1的斜率k AB ＝1－－－4a

－0＝－a 2

， l 2的斜率k MN ＝

－2－10－1

＝3. (1)由题意知，l 1∥l 2，所以k AB ＝k MN ， 即－a 2

＝3，所以a ＝－6. (2)由题意知，l 1⊥l 2，

所以k AB ·k MN ＝－1，即－a 2×3＝－1，所以a ＝23

. 9.已知点P (2，－1)．

(1)求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；

(2)求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？

解析：(1)①当l 的斜率k 不存在时显然成立，此时l 的方程为x ＝2.

②当l 的斜率k 存在时，

设l ：y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0， 由点到直线的距离公式得|－2k －1|1＋k

2＝2，解得k ＝34， 所以l ：3x －4y －10＝0.

故所求l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.

(2)数形结合可得，过点P 且与原点O 距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线．

由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP

＝2. 由直线方程的点斜式得直线l 的方程为y ＋1＝2(x －2)，

即2x －y －5＝0，

即直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5

＝ 5.