2014届高三数学解析几何难点专练：两条直线的位置关系与对称问题
两条直线的位置关系与对称问题
1. “a ＝3”是“直线ax ＋3y ＝0与直线2x ＋2y ＝3平行”的( C )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当两条直线平行时，由a ×2－3×2＝0，得a ＝3；当a ＝3时，两直线显然平行，故选C.
2.过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( A )
A ．x －2y ＋4＝0
B ．2x ＋y －7＝0
C ．x －2y ＋3＝0
D ．x －2y ＋5＝0
解析：根据已知直线方程知所求直线的斜率为12，所以所求直线方程为y －3＝12
(x －2)，即x －2y ＋4＝0，故选A.
3.直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( C )
A ．－3或－1
B ．3或1
C ．－3或1
D ．－1或3
解析：若k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25
满足两直线垂直；若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝k k －1，k 2＝1－k 2k ＋3
，由k 1·k 2＝－1，得k ＝－3，综上知k ＝1或k ＝－3，故选C.
4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( B )
A ．平行
B ．垂直
C ．重合
D ．相交但不垂直
解析：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B
， 即－sin A a ·b sin B
＝－1， 而－sin A a 与b sin B
分别为两条直线的斜率，故两条直线垂直，故选B. 5.若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12
x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝ 2 . 解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12
x ＋b 为同一直线，故得????? a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2.
6.点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为 (1,2)或(2，－1) .
解析：设P 点坐标为(a,5－3a )， 由题意知：|a －－3a －1|2
＝2，解之得a ＝1或a ＝2， 所以P 点坐标为(1,2)或(2，－1)．
7.已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是 2 .
解析：由已知两条直线平行得－34＝－6m
，解得m ＝8， 所以直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，
故两平行线间的距离为|－3－7|32＋4
2＝2.
8.(改编)已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (－4a
，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)．
(1)若l 1与l 2没有公共点，求实数a 的值；
(2)若l 1与l 2所成角为直角，求实数a 的值．
解析：l 1的斜率k AB ＝1－－－4a
－0＝－a 2
， l 2的斜率k MN ＝
－2－10－1
＝3. (1)由题意知，l 1∥l 2，所以k AB ＝k MN ， 即－a 2
＝3，所以a ＝－6. (2)由题意知，l 1⊥l 2，
所以k AB ·k MN ＝－1，即－a 2×3＝－1，所以a ＝23
. 9.已知点P (2，－1)．
(1)求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；
(2)求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
解析：(1)①当l 的斜率k 不存在时显然成立，此时l 的方程为x ＝2.
②当l 的斜率k 存在时，
设l ：y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0， 由点到直线的距离公式得|－2k －1|1＋k
2＝2，解得k ＝34， 所以l ：3x －4y －10＝0.
故所求l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.
(2)数形结合可得，过点P 且与原点O 距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线．
由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP
＝2. 由直线方程的点斜式得直线l 的方程为y ＋1＝2(x －2)，
即2x －y －5＝0，
即直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5
＝ 5.
高三数学解析几何专题
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
高三数学强化训练(2)
福建省永泰二中高三数学强化训练（2） 1．设复数，则复数在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知、、三点共线，且，则= A ． B ． C ． D ． 3．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以 输出的函数是 A ． B ． C ． D ． 4. “”是“直线与圆相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．设，，，则、、的大小关系是 A ． B ． C ． D ． 6．已知等比数列的前项和，则实数 的值为 A ．4 B ．5 C ． D ． 7．已知某个几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸 （单位：），可得这个几何体的体积是 A. B. C. D. 8．过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是 A ． B ． C ． D ． 9．下列命题错误．． 的是 A ．， B ．， C ．， D ．，， 112z i =-21z i =+1 2 z z z = A B C 20AC CB +=OC 2OA OB -2OB OA -22OB OA -2OA OB -2 ()f x x =1()f x x = ()x f x e =()sin f x x =2m =y x m =+221x y +=0.12a =5ln 2b =39 log 10 c =a b c a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>{}n a n 2 1 5 5 n n S t -=?-t 451 5 cm 312cm 313cm 316cm 31 12 cm (4,2)P 2 2 4x y +=A B O OAB ?22(2)(1)5x y -+-=22(4)(2)20x y -+-=22(2)(1)5x y +++=22(4)(2)20x y +++=,R αβ?∈cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+,x k R ?∈sin(2)sin x k x π+?=[0,)2 x π?∈sin()sin 3 x x π + =x R +?∈k R ?∈sin x kx ≤
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
高中数学专题强化训练含解析 (7)
一、选择题 1．函数f (x )＝1 2x 2－ln x 的最小值为( ) A 。1 2 B ．1 C ．0 D ．不存在 解析：选A 。因为f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1 x ,且x >0。 令f ′(x )>0,得x >1；令f ′(x )<0,得0 平面解析几何中的对称问题 新林 市第一中学 515031 对称性是数学美的重要表现形式之一，在数学学科中对称问题无处不在。在代数、三角中有对称式问题；在立体几何中有中对称问题对称体；在解析几何中有图象的对称问题。深入地研究数学中的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学素质。 在平面解析几何中，对称问题的存在尤其普遍。平面解析几何中的对称问题在高考试题中更是屡见不鲜。本文将对平面解析几何中的几种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。 平面解析几何中的对称问题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关于点的对称问题简称线点对称；曲线关于直线的对称问题简称线线对称。 一、点点对称 定理1平面上一点),(y x M 关于点),(00y x P 的对称点为)2,2(00' y y x x M --， 特别地，点 ),(y x M 关于点)0,0(P 的对称点为),('y x M --。 证明：显然 ),(00y x P 为线段'MM 的中点，设),('''y x M ，由中点坐标公式有： ??? ????+=+=22' 0'0y y y x x x ，即???-=-=y y y x x x 0' 0'22 ，故)2,2(00' y y x x M --。 例１ 若点 A 关于点)1,2(- B 的对称点为)2,4( C ，求点A 的坐标。 解：设 ),(y x A ，由定理１有)212,4)2(2(-?--?A ，即)0,8(-A 。 二、点线对称 定理1平面上一点),(00y x M 关于直线)0(,0:2 2 ≠+=++B A C By Ax l 的对称点为： -+++- 022000',)(2(y B A C By Ax A x M )) (22 200B A C By Ax A +++。 证明：先证明一般情况，即0,0≠≠ B A 的情况。 ),(' y x ，线段'MM 交直线l 于点 与点),('y x M 关于直线l 对称，故),(Q Q y x Q 为线段' MM 的中点且l MM ⊥'， X 于是有： ),(y x M 高三数学复习专题之一 ----解析几何高考题目的分析 解析几何是历届高考的热点和重点，它的基本特点是数形结合，是代数、三角、几何知识的综合应用.一般以四个小题、一个大题的结构出现，且大题往往是压轴题.纵观近几年高考试题有如下特征： (1)考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，判定直线的位 置关系等题目，多以选择题、填空题形式出现； (2)中心对称与轴对称、充要条件多为基本题目； (3)考查圆锥曲线的基本知识和基本方法也多以选择题、填空题形式出 现； (4)有关直线与圆锥曲线等综合性试题，通常作为解答题形式出现，有一定难度.一般情况是：给出几何条件，求曲线(动点的轨迹)方程；或利用曲线方程来研究诸如几何量的计算、直线与曲线的位置关系、最近(或最远)问题.但近几年的高考解析几何试题类型比较分散，每年都有不同.解题过程中的运算量有逐年降低的趋势，而解题过程中的思维量在增加.但万变不离其宗，常用的解题规律与技巧不变. 例①求圆锥曲线的有关轨迹方程时，要注意运用平面几何的基本知识 特别是圆的知识，便于简化运算和求解； ②在直线与圆锥曲线的有关问题中，要注意韦达定理和判别式的运用； ③要注意圆锥曲线定义的活用. 另外，解析几何的解答题也常在知识网络的交汇处出题，它具有一定的综合性，重点考察数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力.解析几何常与函数、不等式等建立联系. . , ),0,1()3 ,)2 )1 , ,)0,(1:.122 222 22中点的轨迹方程求、为轴的端点为左准线的椭圆，其短为左焦点，以经过点设双曲线的方程；求双曲线截得的弦长为被直线若双曲线的值； 的离心率求双曲线为等边，且右焦点两点、与两条渐近线交于右准线的离心率为设双曲线例BF F B l F C C a e b b ax y C e C PQF F Q P l e b a b y a x C +=? ?>=- 高三数学模拟题强化训练（一） 1．〖2019·云川贵百校联考〗某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量/度 120 140 160 180 200 户数 2 3 5 8 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( ) A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 2．〖2019·武昌调研〗某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均数为91，如图所示，该选手的7个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x 表示，则剩余5个得分的方差为( ) A ． 1169 B ．367 C ．6 D ．30 3．〖2019·浙江温州八校联考〗如图所示的是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为( ) A ．12.5 B ．13 C ．13.5 D ．14 4．〖2019·河北邢台摸底〗样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m .若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A ．105 B ．305 C ． 2 D ．2 5．〖2019·河北承德实验中学期中〗已知甲、乙两组数据如图中茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则m n ＝( ) A ．38 B ．13 C ．29 D ．1 6．〖2019·河北石家庄模拟〗已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是( ) A ．甲命中个数的极差是29 B ．乙命中个数的众数是21 C ．甲的命中率比乙高 D ．甲命中个数的中位数是25 7．〖2019·南昌调研〗从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图． 平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ． 高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： α tan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12 x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0 x ，常设其方程为 x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点 00(,) x y ，常设其方程为 00 ()y k x x y =-+或 x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合． 二轮复习——解析几何 一．专题内容分析 解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划 二．解答策略与核心方法、核心思想 圆锥曲线综合问题的解答策略： 核心量的选择： 常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征 代数运算：设参、消参 重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式． 三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06 AP y k =，114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-， 由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y + =，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±， 将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =， 显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ， 得2222(121)484840k x k x k +-+-=. 2021年上海高考数学·立体几何习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r=d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2 3 44,3 S R V R ππ== 球球（其中R 为球的半径） 俯视图 1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤： 一找（作）： 利用平移法找出异面直线所成的角； （1）可固定一条直线平移另一条与其相交； （2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤： 一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）； 三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤： 一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。 二、典型例题 1． _________________. 第1题 侧(左)视图 正(主)视图 数学2019届高考复习基本初等函数专题强化练 习（附答案） 初等函数包括代数函数和超越函数，以下是基本初等函数专题强化练习，希望对考生复习数学有帮助。 1.(文)(2019江西文，4)已知函数f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，则a=() A. -1 B.-2 C.1 D.2 [答案] A [解析] f(-1)=2-(-1)=2， f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=. (理)(2019新课标理，5)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=() A.3 B.6 C.9 D.12 [答案] C [解析] 考查分段函数. 由已知得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以 f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故选C. 2.(2019哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，则满足f(x)=27的x的值是() A. B. C. D. [答案] B [解析] 设f(x)=x，则-=(-2)，=-3， f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=. 3.(文)已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是() A.q1，q3 B.q2，q3 C.q1，q4 D.q2，q4 [答案] C [解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数， y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(p1)p2为假命题，q4：p1(p2)是真命题.故真命题是q1、q4，故选C. [点拨] 1.由指数函数的性质首先判断命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假. 2.考查指、对函数的单调性是这一部分高考命题的主要考查方式之一.常常是判断单调性;已知单调性讨论参数值或取 值范围;依据单调性比较数的大小等. (理)已知实数a、b，则2a2b是log2alog2b的() 高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 高三数学强化训练（理尖3） 命题人：邓新如 刘文平 审题人：付兴文 做题人:刘文平 命题时间：2010.3.18 班级 姓名 得分 一选择题 1.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ） A ． 9 5 B ． 9 4 C ． 21 11 D ． 21 10 2.从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ） A ． 12513 B ．12516 C ．12518 D ．125 19 3.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子，每盒放一球，并且恰好有两个球的编号数与盒子的编号数相同，则这样的投放方法总数为（ ） A. 20 B. 30 C. 60 D. 120 4、（2009江西师大附中等五所重点名校4月联考）将1、2、3、…、9这九个数字填在图中的9个空格中，要求每一 行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置 时，填写空格的办法有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种 A 5. 若 与 的展开式中含 的系数相等， 则实数m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.若 ，且 ，则 ，等于 （ ） A. 81 B. 27 C. 243 D. 729 二 填空题 7、n n n 2n 1n C 1 n 1)1(C 31C 211+-+-+- =__________。 8、如果一个三位正整数形如“321a a a ”满足2321a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为___ 596 。 9. 20、若2 3 4 5 6 161520156(21)x x x x x x x N x -+-+-+∈≤且的值能被5整除，则x 的可取值的个数有__ 5 _个。 专题强化训练(十九) 解析几何 1．[2019·长沙一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1 3 ，左、右焦点分别 为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝4 3 (O 为坐标原点)． (1)求椭圆C 的方程； (2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)分别与l 1，l 2交于点M ，N ，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N . 解：(1)如图，连接AF 2，由题意得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |， 所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又BO ⊥F 1F 2， 所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝8 3， 又e ＝c a ＝13 ，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝9，b 2 ＝8， 故所求椭圆C 的方程为x 29＋y 2 8 ＝1. (2)由(1)可得，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，l 1的方程为x ＝－3，l 2的方程为x ＝3. 由? ?? ?? x ＝－3，y ＝kx ＋m 得? ?? ?? x ＝－3，y ＝－3k ＋m ，由? ?? ?? x ＝3， y ＝kx ＋m ， 得? ?? ?? x ＝3，y ＝3k ＋m ，所以M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N → ＝(4,3k ＋m )， 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2 . 联立????? x 29＋y 2 8 ＝1，y ＝kx ＋m 得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2 －72＝0. 因为直线l 与椭圆C 相切， 所以Δ＝(18km )2 －4(9k 2 ＋8)(9m 2 －72)＝0， 化简得m 2 ＝9k 2 ＋8. 福建省永泰二中高三数学强化训练（3） 1．复数的虚部为 A ． B ． C ． D ． 2．已知全集，集合，，则= A ． B ． C ． D ． 3．对于直线，和平面，若，则∥是∥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设，为不共线的向量，若向量，，，且，，三点共线，则实数的值等于 A ． B ．2 C ． D ．10 5．执行右边的程序框图，若，则输出的= A ． B ． C ． D ． 6．对于平面和直线、，给出下列命题： ①若∥，则、与所成的角相等； ②若∥，∥，则∥； ③若，，则∥； ④若与是异面直线，且∥，则与相交． 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知公差不为0的等差数列的前5项和为，若，，成等比差数列，则= A ． B ． C ． D ． 8．过圆上一点作切线与轴，轴的正半轴交于、两点，则的最小值为 A ．2 B ．3 C ． D ． 9．下列四个函数中，图象为如图所示的只可能是 A ． B ． C ． D ． 10．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示： 按如此规律下去，则 122i i ++353 5i 454 5 i U R ={|1}M x x =≥-1{|0}2x N x x +=≥-()U M N {|2}x x <{|2}x x ≤{|12}x x -<≤{|112}x x x <--<≤或a b αb α?a b a αa b AB a kb =-2CB a b =+3CD a b =-A B D k 2-10-9p =S 9107188925 αm n m n m n αm αn αm n m α⊥m n ⊥n αm n m αn α{}n a 20-1a 3a 4a 2a 4-6-8-10-221x y +=P x y A B ||AB 2321y x nx =+21y x nx =-21y x nx =-+21y x nx =--{}* ()n a n N ∈1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 1x 1y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 5x 5y 6x 6y 2009a = 高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 §0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件，且21C C ≠） 高三数学双基强化训练（一） 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}2,M m =，{}1,2,3N =，则“3m =”是“M N ?”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，3i i 1i a b ++=-，则a b +等于（ ）. A. 1- B. 1 C. 3 D. 4 3. 已知命题001 :,cos 2 p x x ?∈R … ，则p ?是（ ）. A. 001,cos 2 x x ?∈R … B. 001,cos 2 x x ?∈> R C. 1 ,cos 2 x x ?∈R … D. 1,cos 2 x x ?∈> R 4. 方程2log 2=+x x 的解所在的区间为（ ）. A ．()0.5,1 B ．()1,1.5 C ．()1.5,2 D ．()2,2.5 5. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a =-，592a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）. A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6. 已知函数()1f x kx =-，其中实数k 随机选自区间[]2,2-，[]0,1x ?∈，()0f x …的概率是（ ）. A. 1 4 B. 13 C. 12 D. 3 4 7. 已知O 是坐标原点，点()21A -，，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +?? ??? ………上的一个动点， 则OA OM ?uu r uuu r 的取值范围是（ ）. A. []0,1 B. []0,2 C. []1,0- D. []1,2- 专题强化练五 一、选择题 1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x ＞0时，有xf′（x ）－f （x ） x2 ＜0恒成立，则不等式x 2f (x )＞0的解集是() A ．(－2，0)∪(2，＋∞) B ．(－2，0)∪(0，2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(0，2) 解析：当x ＞0时，???? ??f （x ）x ′＝xf′（x ）－f （x ） x2＜0， 所以φ(x )＝f （x ） x 在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0， 所以当且仅当0＜x ＜2时，φ(x )＞0，此时x 2f (x )＞0. 又f (x )为奇函数，所以h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)． 答案：D 2．(2018·贵阳联考)已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表： f (x )的导函数y ＝f ′(x )y ＝f (x )－a 的零 点的个数为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如 图所示． 由于f (0)＝f (3)＝2，1＜a ＜2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4. 答案：D 3．(2018·广东二模)已知函数f(x)＝e x－ln x，则下面对函数f(x)的描述正确的是() A．?x∈(0，＋∞)，f(x)≤2 B．?x∈(0，＋∞)，f(x)＞2 C．?x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝0 D．f(x)min∈(0，1) 解析：因为f(x)＝e x－ln x的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝e x－1 x＝ xex－1 x， 令g(x)＝x e x－1，x＞0， 则g′(x)＝(x＋1)e x＞0在(0，＋∞)上恒成立， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(0)·g(1)＝－(e－1)＜0， 所以?x0∈(0，1)，使g(x0)＝0，则f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞) 上单调递增， 则f(x)min＝f(x0)＝e x0－ln x0， 又e x0＝1 x0，x0＝－ln x0，所以f(x)min＝ 1 x0＋x0＞2. 答案：B 4．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)＞0，则() A．3f(1)＜f(3) B．3f(1)＞f(3) C．3f(1)＝f(3) D．f(1)＝f(3)平面解析几何中的对称问题
高三数学复习专题之一解析几何
高三数学模拟题强化训练
高中数学平面解析几何的知识点梳理
高中平面解析几何知识点总结
高三数学解析几何专题复习讲义(含答案解析)
2021年上海高考数学 立体几何强化训练(综合版)
数学高考复习基本初等函数专题强化练习(附答案)
(完整)高中数学解析几何解题方法
高三数学强化训练
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(十九)解析几何理+Word版含答案
高三数学强化训练(3)
高中数学解析几何知识点总结
高三数学双基强化训练
2019届高三数学二轮专题复习训练：专题强化练五 Word版含解析