第三章 K元线性回归模型

第三章 K 元线性回归模型

一、填空题

1. 对于模型i ik k i i i u X X X Y +++++=ββββ 22110，i=1,2,…,n ，一般经验认为，满足模型估计的基本要求的样本容量为_ _

2. 对于总体线性回归模型i i i i i u X X X Y ++++=3322110ββββ，运用最小二乘法欲得到参数估计量，所要求的最小样本容量n 应满足 或至少_________。

3. 多元线性计量经济学模型的矩阵形式 ，对应的样本线性回归模型的矩阵形式 ，模型的最小二乘参数估计量 及其方差估计量 。

4. 总平方和可以分解为 和 ，可决系数为 。

5. 多元回归方程中每个解释变量的系数β（偏回归系数），指解释变量变化一个单位引起的被解释变量平均变化 个单位。

6. 线性模型的含义，就变量而言，指的是回归模型变量的 ；就参数而言，指的是回归模型中参数的 。通常线性回归模型指的是 。

二、问答题

1． 什么是多元回归模型？它与一元、二元回归模型有何区别？ 2． 极大似然法（maximum likehood ）的原理是什么？ 3． 什么是拟合优度（R 2）检验？有什么作用？ 4． 可决系数R 2低的可能的原因是什么？

5． 多元回归的判断系数R 2

具有什么性质？运用R 2

时应注意什么问题？

6． 多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有

效性的过程中，哪些基本假设起了作用？ 7． 说明区间估计的含义。

三、实践题

1．下表给出三变量模型的回归结果：

方差来源 平方和（SS ）

自由度（d.f.）

均方差(MSS)

回归平方和(ESS) 65965 残差平方和(RSS) 总平方和(TSS)

66042

14

要求：（1）样本容量是多少？（2）求RSS ？（3）ESS 和RSS 的自由度各是多少？（4）

求2R 和2

R ？（5）检验假设：1X 和2X 对Y 无影响。你用什么假设检验？为什么？（6）根据以上信息，你能否确定1X 和2X 各自对Y 的贡献吗？

2．下面给出依据15个观察值计算得到的数据，其中小写字母代表了各值与其样本均值的离差。

693.367=Y ， 760.4021=X ，0.82

=X

，269.660422

=∑i y

096.848552

1=∑i

x

，

0.2802

2=∑

i x ，

346.747781=∑

i i x y

9.42502=∑

i i x y ，

.479621=∑i i

x x

要求：（1）估计三个多元回归系数；（2）估计它们的标准差；并求出2R 与2

R ？（3）估计1β、2β95%的臵信区间；（4）在%

5=α下，检验估计的每个回归系数的统计显著性（双

尾检验）；（5）给出方差分析表。

3．考虑以下方程（括号内为估计标准差）：19=n ，873.02=R

(0.658) (0.072) (0.080) 560.2004.0364.0562.8ˆ1t

t t i U P P W -++=-

其中：W —t 年的每位雇员的工资和薪水；P —t 年的物价水平；U —t 年的失业率。 要求：（1）对个人收入估计的斜率系数进行假设检验；

（2）讨论1-t P 在理论上的正确性，对本模型的正确性进行讨论；1-t P 是否应从方程中删除？为什么？

4．克莱因和戈德伯格曾用1921-1941年与1945-1950年（1942-1944年战争期间略去）美国国内消费C 和工资收入W 、非工资—非农业收入P 、农业收入A 的共27年时间序列资料，利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：

(1.0

(0.452) (0.17) (8.92) 121.0452.0059.1133.8t t t t A P W C +++=，107.37

F ,95.02==R

式中括号中的数字为相应参数估计量的标准误。试对该模型进行评价，指出其中存在的问

题。（显著性水平%5=α，已知069

.2)23( t ,03.3)23,3(0.02505.0==F ）

5．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为

fedu medu sibs edu 210.0131.0094.036.10++-=，R 2

=0.214

式中，edu 为劳动力受教育年数，sibs 为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与fedu 分别为母亲与父亲受到教育的年数。问

（1）sibs 是否具有预期的影响？为什么？若medu 与fedu 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs 增加多少？

（2）请对medu 的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？

6．以企业研发支出（R&D ）占销售额的比重为被解释变量（Y ），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32个企业的样本估计结果如下：

099

.0,

)046.0()22.0()37.1(05.0)log(32.0472.02

2

1=++=R X X Y

其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y 会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？

（2）针对R&D 强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

（3）利润占销售额的比重X2对R&D 强度Y 是否在统计上有显著的影响？

（3）对X2，参数估计值的t 统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y 在统计上没有显著的影响。

7．下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。数据为美国40个城市的数据。模型如下：

μ

ββββββββ++++++++=statetax localtax unemp popchang

income value density g hou 76543210sin

式中housing ——实际颁发的建筑许可证数量，density ——每平方英里的人口密度，value ——自由房屋的均值（单位：百美元），income ——平均家庭的收入（单位：千美元），popchang ——1980~1992年的人口增长百分比，unemp ——失业率，localtax ——人均交纳的

地方税，statetax ——人均缴纳的州税 变量 模型A 模型B 模型C 模型D C 813 (0.74) -392 (0.81) -1279 (0.34) -973 (0.44) Density 0.075 (0.43) 0.062 (0.32) 0.042 (0.47)

V alue -0.855 (0.13) -0.873 (0.11) -0.994 (0.06) -0.778 (0.07) Income 110.41 (0.14) 133.03 (0.04) 125.71 (0.05) 116.60 (0.06) Popchang 26.77 (0.11) 29.19 (0.06) 29.41 (0.001) 24.86 (0.08) Unemp -76.55 (0.48) Localtax -0.061 (0.95)

Statetax -1.006 (0.40) -1.004 (0.37)

RSS 4.763e+7 4.843e+7 4.962e+7 5.038e+7 R 2

0.349 0.338 0.322 0.312 e

S

1.488e+6 1.424e+6 1.418e+6 1.399e+6 AIC

1.776e+6

1.634e+6

1.593e+6

1.538e+6