三角函数解析式的求法

函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
‖知识梳理‖ 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念 T ＝
2πω
ωx ＋φ
用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
3.
| 微 点 提 醒 |
1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φ
ω个单位长度而非φ个单位长
度．
2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k
∈Z 确定其横坐标．
‖易错辨析‖
判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)
(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不变，所得图象对应的函数解
析式为y ＝sin 1
2
x .(×)
(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π
3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．(×) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .(×)
(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T
2
.(√) (5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π
2
(k ∈Z )．(×)
‖自主测评‖
1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π
4
B ．2，12π，π
4
C ．2，1π，π
8
D ．2，12π，－π
8
解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1
π，初相为π
4
.
2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦
⎤－π
2，π上的简图是( )
解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D ；当x ＝π
6时，y ＝0，排除C ，故选A.
3．(教材改编题)为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，只需将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
5的图象上的所有点( )
A ．向左平移π
5个单位长度
B ．向右平移π
5个单位长度
C ．向左平移2π
5个单位长度
D ．向右平移2π
5
个单位长度
解析：选D 因为y ＝3sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
5＝3sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π5－2π5，故选D. 4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.
答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭
⎫13π
6，0 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π
3，
即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，
故ω＝3
2.
答案：32
………考点一 函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及变换………|重点保分型|…………
|研透典例|
【典例】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫
5π12，0，求θ的最小值； (3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．
[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
，数据补全如下表：
且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6，
则g (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2θ－π
6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π
12－θ，k ∈Z .
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫
5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，
解得θ＝k π2－π
3
，k ∈Z .
由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6.
(3)由数据作出的图象如图所示：
『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3
2π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 2．三角函数图象的左右平移时应注意的三点
(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
(2)注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
(3)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪
φω而不是|φ|. [提醒]y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T ＝2π|ω|进行记忆；纵向伸缩
规律，可联系函数的最值进行记忆．
|变式训练|
1．(2018届河南豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π
6个单位，则所得函数图象的解析式为
( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12
D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －7π
12 解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π
4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦
⎤1
2⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭
⎫x 2－π3. 2．(2019届南昌模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π
6个单位长度得到
B ．向右平移π
3个单位长度得到
C ．向左平移π
6个单位长度得到
D ．向左平移π
3
个单位长度得到
解析：选A 将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π
4个单位长度，可得函数y ＝sin2x 的图象，再
将y ＝sin2x 的图象向左平移
π
12
个单位长度，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，综上可得，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象向右平移π
6个单位长度得到，故选A. 3．(2019届石家庄质量检测)若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π
3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．
解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－7
2
－6k (k
∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值5
2.
答案：52
………考点二 由图象确定y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式…………|重点保分型|………
|研透典例|
【典例】 (1)(2018届兰州诊断考试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭
⎫－π6，π
3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )
A.1
2 B.
2
2
C.
3
2
D ．1
(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.
[解析] (1)由题图知，T 2＝π
2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π
3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ， 所以φ＝2k π＋π
3，k ∈Z ，
又|φ|<π2，所以φ＝π3，
所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3， 因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， 且f (x 1)＝f (x 2)， 所以x 1＋x 22＝π
12，
所以x 1＋x 2＝π
6
，
所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32
. (2)由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1. 函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－(－π
12)＝π， 由2π
ω
＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2×⎝⎛⎭⎫－π
12＋φ＋1＝－1，
得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π
6＝－1， 故φ－π6＝2k π－π
2(k ∈Z )，
解得φ＝ 2k π－π
3(k ∈Z )，
又因为|φ|<π， 所以φ＝－π
3
.
所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3＋1. [答案] (1)C (2)2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3＋1 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 确定y ＝Asin (ωx ＋φ)＋b (A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m
2.
(2)求ω：确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2π
T .
(3)求φ：常用的方法有
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z ；“最小值点”(即图象的“谷
点”)时ωx ＋φ＝3π
2
＋2k π，k ∈Z .
|变式训练|
1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭
⎫11π
24的值为( )
A ．－62
B ．－
32
C ．－
22
D ．－1
解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2π
T ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π
4＝－1，选项D 正确．
2．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－2
3，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )
A ．－2
3
B ．－1
2
C.23
D.1
2
解析：选A 由题图知T 2＝11π12－7π12＝π
3，
所以T ＝2π
3，即ω＝3，
当x ＝7π
12
时，y ＝0，
即3×7π12＋φ＝2k π－π
2，k ∈Z ，
所以φ＝2k π－9π
4，k ∈Z ，
即k ＝1时，φ＝－π
4，
所以f (x )＝A cos ⎝
⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223， 所以f (x )＝223cos ⎝⎛
⎭⎫3x －π4， 故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－2
3
. …………考点三 三角函数图象与性质的应用……………|多维探究型|……………
|多角探明|
角度一 三角函数模型的实际应用
【例1】 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. [解析] 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，
所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，
当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫
π6×4＝20.5. [答案] 20.5
角度二 与三角函数有关的零点(方程根)问题
【例2】 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫
π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．
[解析] 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π
2，π. 设2x ＋π
6
＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， 所以题目条件可转化为m
2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． 所以y ＝m
2
和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，m
2的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1)．
[答案] (－2，－1)
角度三 三角函数的图象与性质的综合问题
【例3】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；
(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π
3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦
⎤－π6，7π
12上的单调递增区间． [解] (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×
π
2
＝
2π
2ω
，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝ 3 s in ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π
3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π
3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π
3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π
6(k ∈Z )，因为m >0，
所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π
6.
此时，g (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦
⎤π3，11π
6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤
π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增， 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2
，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增． 综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12， 7π
12. 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|
(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题：二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
|变式训练|
1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－3
2，则m 的取值范围是________． 解析：画出函数的图象．
由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3
， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π
18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π18
2．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；
(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛
⎭
⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2ωx ＋π
6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π
6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， 所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.
又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，
所以2ω＝2π
T ＝2，所以ω＝1.
(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π
2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π
3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3
，
所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤
π6，2π3. 核心素养系列 数学建模——三角函数中的实际问题
【典例】 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：
t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
数据，
(1)求函数f (t )的解析式；
(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．
[解] (1)由表格得⎩⎪⎨⎪⎧
A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧
A ＝1
2，b ＝1，
又因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π
6，
故y ＝f (t )＝12cos π
6
t ＋1.
(2)由题意，令12cos π
6t ＋1>1.25，
即cos π6t >12
，
又因为t ∈[0,24]，所以π
6t ∈[0,4π]，
故0≤π6t <π3或5π3<π
6
t ≤2π，
或2π<π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π
6
t ≤2π＋2π，
即0≤t<2或10<t≤12或12<t<14或22<t≤24，
所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．
[点评]数学建模是通过计算得到结果来解释实际问题，并接受实际的检验，具体来讲，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段．。