圆锥曲线与准线顶点有关的一个统一性质
圆锥曲线
概念
01
焦点
02
准线03离Fra bibliotek率04
焦准距
06
弦和焦点弦
05
焦半径
定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点。
定义中提到的定直线称为圆锥曲线的准线。
固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与对应准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率。
焦点到对应准线的距离称为焦准距。
焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。
类似圆，圆锥曲线上任意两点之间的连线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。平行于准线的焦点弦称为通径， 物理学中又称为正焦弦。
（1）两条动直线交点为圆锥曲线上的某个定点
即从圆锥曲线上某一点引出两直线AC、AD，如果CD经过定点B，则kAC+kAD为定值。反之，如果已知kAC+kAD 为定值，也能推出CD经过某定点B。
斜率之和为定值如图，A为圆锥曲线上的定点，A'是A关于x轴的对称点。在过A‘的切线上找一点B，过B作割 线CD，连接AC、AD。这就有了两动直线AC、AD，其交点为圆锥曲线上的定点A，且经过定点B。
圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。
对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两 条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。
圆锥曲线是轴对称图形，对称轴为过焦点且与准线垂直的直线。在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦 点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称，因此椭圆和双曲线有 两条对称轴。
早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius，前262~前190）。 他与欧几里得是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之 作。
圆锥曲线有关焦点弦(焦点半径)五个统一性质统一证明
圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的五个统一性质的统一证明中图分类号：g632 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2013）03-0109-02下面分别从四个方面，给出了圆锥曲线有关焦点弦（焦点半径）的4个统一性质，都是采用对圆锥曲线进行分类讨论，用方程的思想，通过比较复杂的运算得到了证明。
本文将用圆锥曲线焦半径的倾角表达式，（本质上圆锥曲线的极坐标方程的直角坐标化）统一证明上述性质1、性质2、性质3和性质4本文给出的性质5，并用这样的思想方法证明巧妙地解答圆锥曲线中的热点问题。
1 圆锥曲线的统一性质1.1圆锥曲线的统一性质1ab是通过圆锥曲线的一个焦点f的一条弦（不与焦点所在的直线重合），a、b在焦点相应的准线l上的射影分别为a1b1，设a1f、b1f的中点分别为m、n，则直线am与bm的交点一定在准线上。
（如图1）1.2给出圆锥曲线的统一性质2过圆锥曲线的一个焦点f的任意一条弦（不与焦点所在的直线重合）ab，和此焦点对应的顶点的c的连线交f对应的准线l于两点m、n，则以mn为直径的圆必过焦点f。
（如图2）如圆锥曲线是有心的圆锥曲线，那么和另外一个焦点对应的顶点c的的连线交f对应的准线l于m、n两点，则以为mn直径的圆必过焦点f。
（如图3）1.3圆锥曲线的统一性质3若圆锥曲线的准线与对称轴的交点为a，过点a作圆锥曲线的一条割线交圆锥曲线于b、c两点，过焦点f作与割线的倾斜角互补的直线交圆锥曲线于m、n两点，则有：1.4圆锥曲线的统一性质4直线l是圆锥曲线？祝的焦点f所对应的准线，过l上一点p作曲线？祝的两条切线pa、pb。
a，b为切点，过pf中点d且平行于直线l的直线l′交直线pa，pb于点m，n。
（如图4）则有：（ⅰ）fm∥pb； fn∥pa；（ⅱ）记△afm，△pmn，△bfn的面积分别为s△afm，s△pmn，s△bgn现给出有心二次曲线的统一性质5：（2012江苏高考19题的推广）过有心二次曲线的两焦点f1，f2作两条射线（同向）交二次曲线于a，b两点，直线f1b和f2a相交于点p，则pf1+pf2为定值。
圆锥曲线统一性质(动态图示)
目录一、几个统一定义1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义一2．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义二圆锥曲线动态结构135例众所周知圆锥曲线来源于圆锥，其定义简洁而明快，然而却有非常丰富的几何、代数性质，更让世人折服的是还有这么多统一的性质，本人通过几何画板的探索与归纳初步整理了135条性质，归类为四十六个统一性质，并附上相应的动画课件，列举如下：二、与焦半径相关的问题3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质三、与焦点弦相关的问题8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值四、相交弦的蝴蝶特征19．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二五、切点弦的相关问题21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（切点弦过定点）六、等角问题26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质七、与动弦中点相关的问题31．圆、椭圆、双曲线中点弦与中心性质32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）33．椭圆、双曲线、抛物线的动弦中垂线性质34．椭圆、双曲线、抛物线的定向弦中点轨迹35．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦中点轨迹八、数量积定值问题36．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦张角向量点积为定值37．椭圆、双曲线、抛物线的定点弦张角向量点积为定值九、其他重要性质38．圆锥曲面光线反射路径的性质39．椭圆、双曲线、抛物线的切线与割线性质40．椭圆、双曲线、抛物线的直周角性质41．椭圆、双曲线的90度的中心角性质42．圆、椭圆、双曲线上动点对直径端点的斜率积为定值43．椭圆、双曲线、抛物线的顶点对垂直弦连线交点轨迹对偶44．椭圆、双曲线、抛物线准线上点对焦点弦端点及焦点斜率成等差45．椭圆、双曲线、抛物线的焦点与切线的距离性质46．椭圆、双曲线、抛物线的中心与共轭点距离等积问题探究1动点P 在圆A ：22()4x y λ++=上运动，定点(,0)B λ，则 （1）线段QB 的垂直平分线与直线QA 的交点P 的轨迹是什么？（2）若BM tMQ =u u u u r u u u u r，直线l 过点M ，与直线QA 的交于点P ，则点P 轨迹又是什么？实验成果动态课件定圆上一动点与圆内一定点的垂直平分线与其半径的交点的轨迹是椭圆 备用课件定圆上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是双曲线 备用课件定直线（无穷大定圆）上一动点与圆外一定点的垂直平分线与其半径所在直线的交点的轨迹是抛物线 备用课件问题探究2已知定点(1,0)A -，定直线1l ：3x =-，动点N 在直线1l 上，过点N 且与1l 垂直的直线2l 上有一动点P ，满足PAPNλ=，请讨论点P 的轨迹类型. 实验成果动态课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为小于1的常数，则动点的轨迹是椭圆备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为大于1的常数，则动点的轨迹是双曲线备用课件动点到一定点与到一定直线的距离之比为等于1的常数，则动点的轨迹是抛物线备用课件3．椭圆、双曲线、抛物线的切线与焦半径的性质（准线作法）问题探究3已知两定点(1,0),(1,0)A B -，动点P 满足条件8PA PB +=，另一动点Q满足0,()0PA PB QB PB QP PA PB•=•+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.实验成果动态课件椭圆上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为椭圆相应之准线备用课件双曲线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为双曲线相应之准线备用课件抛物线上一点处的切线与该点的焦半径的过相应焦点的垂线的交点的轨迹为抛物线之准线备用课件4．椭圆、双曲线、抛物线的焦点在切线上射影的性质问题探究4已知两定点(2,0),(2,0)A B -，动点P 满足条件2PA PB -=，动点Q 满足()0PA PBQB PA PB•+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()0PA PB QP PA PBλ++=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，求动点Q 的轨迹方程.实验成果动态课件焦点在椭圆切线上的射影轨迹是以长轴为直径的圆备用课件焦点在双曲线切线上的射影轨迹是以实轴为直径的圆备用课件焦点在抛物线切线上的射影轨迹是切抛物线于顶点处的直线（无穷大圆） 备用课件5．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径圆性质问题探究51．已知动点P在椭圆22143x y+=上，F为椭圆之焦点，0PM FM+=u u u u r u u u u r，探究2OM PF+u u u u r u u u r是否为定值2．已知点P在双曲线22143x y-=上，F为双曲线之焦点，0PM FM+=u u u u r u u u u r，探究2OM PF-u u u u r u u u r是否为定值实验成果动态课件椭圆中以焦半径为直径的圆必与长轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内切）备用课件双曲线中以焦半径为直径的圆必与实轴为直径的圆相切（此圆与双曲线外切）备用课件抛物线中以焦半径为直径的圆必与切于抛物线顶点处的直线相切（此圆无穷大与曲线外切）备用课件6．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直径圆性质问题探究6过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.实验成果动态课件椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线相离备用课件双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准线相交备用课件抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准线相切备用课件7．椭圆、双曲线、抛物线焦点三角形内切圆性质问题探究71．已知动点P在椭圆22143x y+=上，12,F F为椭圆之左右焦点，点G为△12F PF的内心，试求点G的轨迹方程.2．已知动点P在双曲线22143x y-=上，12,F F为双曲线之左右焦点，圆G是△12F PF的内切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.实验成果动态课件椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆备用课件双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)备用课件抛物线中焦点三角形(另一焦点在无穷远处)的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的抛物线备用课件8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）问题探究8已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）实验成果动态课件椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数11112||||AF BF ep+= 备用课件双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数AB 在同支11112||||AF BF ep += AB 在异支11112||||||AF BF ep-= 备用课件抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数112||||AF BF ep+=备用课件9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）问题探究9已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r恒成立.并由此求四边形ABCD 面积的最小值和最大值.实验成果动态课件椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+ 备用课件双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 2|2|||1||12-=+备用课件抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epe CD AB 22||1||12-=+备用课件10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3）问题探究10已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=u u u r u u u u r恒成立？实验成果动态课件设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）备用课件问题探究11已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=u u u r u u u u r恒成立.实验成果动态课件椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件问题探究12已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点， ,C D 分别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究点P 的轨迹.实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线备用课件 双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则N 、C 、B 三点共线，M 、C 、A 三点共线（抛物线的D 点在无穷远处）.备用课件13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）问题探究13已知双曲线22131x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， ,C D 分别为双曲线的左、右顶点，动点P 满足11,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r 动点Q 满足22,,QA AC QB BD λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试探究1PF Q ∠是否为定值.实验成果动态课件椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥备用课件抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则NF MF ⊥（抛物线的D 点在无穷远处）备用课件14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系问题探究14已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线2l ：4x =-，直线AD 交直线2l 于点P ，试判断点P 、C 、B 是否三点共线，并证明之.实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处）， 因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨迹是准线备用课件15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平分线）问题探究15已知椭圆22143x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，直线3l ：4x =-，直线AD 交直线3l 于点P ，试证明11PF A PF D ∠=∠.实验成果动态课件椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点与焦点的连线平分2AF C ∠备用课件双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分1AF C ∠备用课件抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点必在准线上且交点和焦点的连线平分AF D ∠备用课件16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广问题探究16已知椭圆22184x y +=，过点(2,0)N 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线AD 与直线CB 交于点P ，试证明点P 的轨迹为直线4x =.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过双曲线实轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线ta x 2=备用课件过抛物线对称轴上任意一定点N （0,t ）的两条弦端点的直线的交点的轨迹是一定直线t x -=备用课件17．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值问题探究17已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，设直线AB 与y 轴于点M ，11,,MA AF MB BF λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r试求λμ+的值.实验成果动态课件椭圆的焦点弦所在直线被曲线及短轴直线所分比之和为定值.备用课件双曲线的焦点弦所在直线被曲线及虚轴直线所分比之和为定值.备用课件过抛物线的焦点弦所在直线被曲线及顶点处的切线所分比之和为定值. 备用课件18．椭圆、双曲线、抛物线的焦半径向量模的比之和为定值问题探究18已知方向向量为(1,3)e =r 的直线l 过点(0,23)A -和椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B 满足：0,OB e AB AO •==u u u r r u u u r u u u r.⑴求椭圆C 的方程；⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点12,F F 的弦分别为,ES ET ,设111,EF FS λ=u u u r u u u r 222EF F T λ=u u u u r u u u r，求12λλ+的值.实验成果动态课件过椭圆上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e →→→→==++==-定值备用课件过双曲线上任点A 作两焦点的焦点弦AC ，AB ，其共线向量比之和为定值．即1112222122121AF m F B AF m F B e m m e→→→→==++==-定值备用课件（注：图中测算不是向量，故中间一式用的是差）由于抛物线的开放性，焦点只有一个，故准线相应地替换了焦点，即PA=m 1AF PB=m 2BF备用课件m 1+m 2=019．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理一问题探究19已知椭圆22184x y +=，过点T(1,0)的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，设直线3l 过点T 且3l x ⊥轴，交12,l l 于点N ，M ，试证明∣TN ∣=∣TM ∣.实验成果动态课件过椭圆长轴所在直线上任意一点 T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件过抛物线对称轴上任意一点T （0,t ）的两条弦端点的直线截过T 点的垂线段相等NT ＝TM备用课件20．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦蝴蝶定理二问题探究20已知椭圆22184x y +=，过点(0,1)T 的直线12,l l 分别交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点和3344(,),(,)C x y D x y 两点，设直线3l 过点T 且3l x ⊥轴，交12,l l 于点N ，M ，试证明1324y y y y -=-.实验成果动态课件过椭圆短轴上任意一点M 的两条弦端点作两条直线,一定截过M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件过双曲线虚轴上任意一点N （0,t ）的两条弦端点作两条直线,一定截过N 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件过抛物线对称轴上任意一点M （0,t ）的两条弦端点作两条直线,一定截过M 点与对称轴垂直的直线为相等的线段PM =MQ备用课件21．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1（等比中项）问题探究21已知椭圆22184x y +=，过原点(0,0)O ，点(2,1)T 的直线l 交椭圆于点N ，过点T 的中点弦为AB ，过A ，B 分别作切线12,l l 且交于点P ，求证：2||||||OT OP ON =.实验成果动态课件椭圆中心O 与点00(,)P x y 的连线交椭圆于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||OQ OP ON =.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线001Ax x By y +=沿直线PO 作反向运动.备用课件双曲线中心O 与点00(,)P x y 的连线交双曲线于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||OQ OP ON =.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线001Ax x By y +=沿直线PO 作反向运动(直线保持平行).备用课件设过点P 与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N ，交切点弦于点Q ，则2||||||O Q O P O N ∞∞∞=.且Q 点平分切点弦AB （无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）.且点P 与直线00()y y p x x =+作反向运动(直线保持平行).备用课件22．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质2（倒数和2倍）问题探究22过抛物线2y x =外一点(2,0)P 作抛物线的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，另一直线l 过点P 与抛物线交于两点C 、D ，与直线AB 交于点Q ，试探求||PQ PQPC PD +的值是否为定值.实验成果动态课件椭圆221Ax By +=外一点P 的任一直线与椭圆的两个交点为C 、D ，与椭圆切点弦001Ax x By y +=的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件双曲线221Ax By +=外一点P 的任一直线与双曲线的两个交点为C 、D ，与双曲线切点弦001Ax x By y +=的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件 过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦的交点为Q ，则112||||PC PD PQ +=成立.反之亦然.备用课件23．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质3（外项积定值）问题探究23已知椭圆22184x y +=，过点T (1,0)的直线1l ，2l 分别交椭圆于两点C 、D ，点Q 在直线l 上，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，试探求点Q 的轨迹.实验成果动态课件过椭圆221Ax By +=外一点P 的任一直线与椭圆的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦001Ax x By y +=，反之亦然. 备用课件过双曲线221Ax By +=外一点P 的任一直线与双曲线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦001Ax x By y +=，反之亦然. 备用课件过抛物线外一点P 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，点Q 是此直线上另一点，且满足CP QD PD CQ =u u u r u u u r u u u r u u u r，则点Q 的轨迹即为切点弦，反之亦然. 备用课件24．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质4（平行线族）问题探究24过抛物线2y x =外一点(2,0)P 作抛物线的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，另一直线l ：2x =与抛物线交于点N ，与直线AB 交于点Q ，求证：（1）N 点处的切线与直线AB 平行.（2）AQ QB =u u u r u u u r.实验成果动态课件椭圆221Ax By +=中心与椭圆外一点的直线与椭圆的交点处的切线平行于椭圆的切点弦001Ax x By y +=.备用课件双曲线221Ax By +=中心与双曲线外一点的直线与双曲线的交点处的切线平行于双曲线的切点弦001Ax x By y +=. 备用课件过抛物线中心（这中心在无穷远处）与抛物线外一点的直线与抛物线的交点处的切线平行于抛物线的切点弦. 备用课件25．椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质5（弦过定点）问题探究25过抛物线2y x =外一点(1,2)Q 作抛物线的中点弦AB （Q 为AB 中点），两条切线PA ，PB 交于点P ，过点P 作直线l ，且l ∥AB ，点G 是直线l 上的动点，过G 作抛物线的两条切线GC 、GD ，求证：直线CD 过定点.实验成果动态课件点T 是与椭圆221Ax By +=外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .备用课件点T 是与双曲线221Ax By +=外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .备用课件点T 是与抛物线22y px =外一点P 的切点弦对应的直线上的动点，则与点T 对应的切点弦必过定点Q .（PQ 平行对称轴）备用课件26．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理一问题探究26已知椭圆22184x y +=，点1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 分别交椭圆于A ，B 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PA PB k k +=.实验成果动态课件椭圆准线与长轴的交点与焦半径端点连线所成角被长轴平分 备用课件双曲线准线与实轴的交点与焦半径端点连线所成角被实轴平分 备用课件抛物线准线与对称轴的交点与焦半径端点连线所成角被对称轴平分 备用课件27．椭圆、双曲线、抛物线的等角定理二问题探究27已知双曲线22131x y -=，过(,0)N t 点的直线1l 交双曲线于A ，B 两点，问是否在x 轴上存在一点P ，使得斜率0PA PB k k +=.实验成果动态课件过椭圆长轴上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被焦点所在直线平分. 备用课件过双曲线实轴所在直线上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被焦点所在直线平分.备用课件过抛物线对称轴上任意一点N （0,t ）的一条弦端点与对应点)0,(2ta 的连线所成角被对称轴平分 备用课件28．椭圆、双曲线、抛物线的对称点共线问题探究28抛物线24y x =，直线l 过点(,0)F t 并交抛物线于M 、N ，若)0(>=λλFN MF ，直线x t =-与x 轴交于点E ，试探究：EN EM EF λ-与的夹角是否为定值.实验成果动态课件过点Q (T ,0)的任一直线交椭圆于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ，2(,0)a P t三点共线.备用课件过点Q (T ,0)的任一直线交双曲线于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ， 2(,0)a P t三点共线.备用课件过点P (T ,0)的任一直线交椭圆于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点A ’,则点A ’，B ，P ’(-t ,0)三点共线.备用课件29．椭圆、双曲线、抛物线的焦点对切线张角性质问题探究29过点(2,0)P 作抛物线24x y 的切线P A （斜率不为0），F 为焦点，研究斜率PF PA k k 与的关系.实验成果动态课件过椭圆外一点作椭圆的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过双曲线外一点作双曲线的两切线与焦点连线所成的角相等.备用课件过抛物线外一点作抛物线的两切线与焦点（另一焦点在无穷远处）连线所成的角相等. 备用课件30．椭圆、双曲线、抛物线的共轭弦性质问题探究30过点(1,2)P 作抛物线24y x =的直线P A 、PB ，且斜率0PB PA k k =+. （1）探究直线AB 的斜率是否为定值.（2）试研究三角形P AB 的面积是否有最大值.实验成果动态课件过椭圆上一定点作倾角互补的两直线与椭圆的另两交点的连线的倾角为定值备用课件过双曲线上一定点作倾角互补的两直线与双曲线的另两交点的连线的倾角为定值 备用课件过抛物线上一定点作倾角互补的两直线与抛物线的另两交点的连线的倾角为定值 备用课件31．圆、椭圆、双曲线弦中点与中心性质问题探究31已知椭圆22184x y+=的动弦AB的中点为M，试研究斜率AB OMk k是否为定值（O为原点）.实验成果动态课件圆的弦的斜率与其中点和圆中心连线的斜率积为定值1PA PBK K⋅=-备用课件椭圆的弦的斜率与其中点和椭圆中心连线的斜率积为定值22PA PBbK Ka⋅=-备用课件双曲线的弦的斜率与其中点和双曲线中心连线的斜率积为定值22PA PBbK Ka⋅=备用课件32．圆、椭圆、双曲线切线与半径的斜率积为定值（中点弦的极限状态）问题探究32已知点P为椭圆22184x y+=上的动点，设点P的切线斜率为k，试研究斜率OPk k是否为定值（O为原点）.实验成果动态课件圆切线与半径的斜率积为定值1PO LK K⋅=-备用课件椭圆切线与切点和中心连线的斜率积为定值22PO LbK Ka⋅=-备用课件双曲线切线与切点和中心连线的斜率积为定值22PO LbK Ka⋅=备用课件。
探究圆锥曲线一个有趣的统一性质_王伯龙
我们称定直线 ｌ是点 Ｆ关于圆
锥曲线的极线，点 Ｆ为直线 ｌ关于
圆锥曲线的极点．
如图 ２，由引理，若将点 Ｍ 视
为定点，则定直线 ＦＮ是点 Ｍ关于
图２
椭圆的极线．同理，直线 ＦＭ是点 Ｎ关于椭圆的极线．
槡（ａ２·ｂ２ －ｎ２ａ２ －ｍ２ｂ２）３ ． ａｂ槡ｎ２ａ２ ＋ｍ２ｂ２
证明：当点 Ｆ在 ｙ轴上时，易证结论成立．下证当点 Ｆ不
在 ｙ轴上时的情形
（Ⅰ）设 Ｍ（ｘ１，ｙ１），则椭圆 Ｔ在点 Ｍ处的切线 ｌ′方程为
ｘａ１２ｘ＋ｙｂ１２ｙ＝１．
①
由定理知，直线 ＰＦ：ｍｂ２ｘ＋ｎａ２ｙ＝ｎ２ａ２ ＋ｍ２ｂ２，点 Ｍ在
进行研究和探索．
１ 性质的初步探究
性质 ２ 已知定点 Ｆ（ｍ，０），
Ａ、Ｂ分别 是 椭 圆 的 左、右 顶 点，直 线 ｌ：ｘ＝ ａ２ 交 ｘ轴于点 Ｑ，过 Ｑ的
ｍ
直线与椭圆交于点 Ｃ、Ｄ，直线 ＡＣ、
ＢＤ交于点 Ｐ，则 ＰＦ⊥ ｘ轴，且 ＰＦ
图１
平分 ∠ＣＦＤ．
为了找到性质的简单证法，我们先看下面的一个引理： 引理［２］ 过定点 Ｆ（ｘ０，ｙ０）的两条动直线 ＡＣ、ＢＤ分别 与圆锥曲线相交于 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ．设 ＡＢ、ＣＤ相交于 Ｍ，ＡＤ、ＢＣ交
系数 的 关 系 得 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ２ｍ，ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ ２ｎ，ｘ１· ｘ２ ＝ （ｎ２ａｂ２２（＋ｎ２ｍａ２２ｂ＋２）ｍ－２ｂｎ）２２ａ４ｂ２．则线段 ＭＮ的中点坐标为（ｍ，ｎ），
即点 Ｆ（ｍ，ｎ）．
槡 又 ｜ＭＮ ｜＝
圆锥曲线知识点整理
圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
下面我们来详细整理一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
（2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（3）顶点：椭圆有四个顶点，焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼），＼（0 ＜ e ＜ 1\），＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），其中\（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
探究圆锥曲线的一组统一性质
又线的程二丫故 尸直 直 ，方为一， 在线 ， 点
1‘ 上.
类似地可以证明定理 3 的逆命题也是成立 的， 从而有如下结论:
定理4 在圆锥曲线 M 中， 已知定点 D 和直线1‘ 对偶元素”直线 1 与曲线M 交于 是“ ， A ， 两点， ， 为切点分别作曲线M 的 B 以A B 切 线， 这两条切线交于尸点. 若点P 在直线2‘ 上， 则直线 1 一定过D 点. 如果将定理 3 中的直线 1 改为n 条直线 11， …， ， 12， 1二这样相应地可得到n 个点p l ， pZ， …， ， 氏 则当 11， …， 共点D 时， 22， 2， 一定有 尸 尸 …， 共线1’反之也成立. 如果将定 1，2， 氏 ; 理3 中的一条直线 1 改为两条直线1，12， ， 将切 线改为割线， 可得如下结论: 定理 5 在圆锥 曲线 M 中， 已知定点 D 和直线1‘ 对偶元素”直线 2， 是“ ， 与曲线M 交 于A ， 两点， 几与曲线 M 交于E ， 两 B 直线 F 点， 直线AE 与BF 交于P 点. 若 1; 与1: 都过
故点 P 在 二 t， .一 又直线 1’ 的方程为x = 一t ，
直线1 上.
(2)若曲 线M 为椭圆或双曲线， 设其方程
丈 1(、 。。。 一 < 2 护) ，
九
则切线 尸 A
一 J . 1
尽 一 2 = 1， 此可 扩 +2全 由 得
B P 的程别爷+半 分”
X = —
aZ : 一1 (夕 ， )
线， 则这两切线交点尸的轨迹是直线x
关于双曲线， 同理可得如下结论: 引理5 动直线2 过定点D (t ， (t < 一 ) 0 a
_2 __ 2
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
圆锥曲线的统一定义解读
圆锥曲线的统一定义解读江苏王冬琴圆锥曲线的统一定义揭示了椭圆、双曲线、抛物线三种曲线的内在关系，使我们充分感受数学的内在的、和谐的美，有了发现美、欣赏美的意识；统一定义的推导需要娴熟的代数恒等变形的技能，整个推导过程渗透了特殊到一般，具体到抽象的数学思想.一、圆锥曲线的统一定义1．定义平面内到一定点F 与到一条定直线l ( 点F 不在直线l 上)的距离之比为常数e 的点的轨迹叫圆锥曲线.①当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆；②当e= 1 时, 点的轨迹是抛物线；③当e>1 时, 点的轨迹是双曲线，其中常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l就是该圆锥曲线的准线.2．焦半径：圆锥曲线上的点与焦点的连线段叫做焦半径.运用圆锥曲线的统一定义，可以推导出曲线上一点到焦点的距离就是焦半径，一般用点的坐标和离心率表示.3．注意事项（1）统一定义是充分必要条件，即满足条件的点一定在圆锥曲线上，反之，圆锥曲线上的任意一点也满足条件.（2）焦点与准线要对应，对于椭圆或双曲线，其上的一点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于它的离心率。
这里的“相应”指的是：“左焦点对应左准线”、“右焦点对应右准线”；特别地，对于焦点在x 轴上的双曲线来说，右支上任意一点到左焦点的距离与这点到左准线的距离之比也等于离心率.（3）准线与圆锥曲线一定没公共点.（4）当点F在直线l上时，设平面内动点M到直线l的距离是d，且MFed=，若1e>，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等锐角的两条相交直线；若1e=，则动点M的轨迹是过F点与直线l成等直角的一条直线；若1e<，则动点M的轨迹不存在.二、圆锥曲线的几何性质说明：通径是过圆锥曲线的一个焦点与对称轴垂直的弦叫做通径，焦准距是焦点到对应准线的距离.三、直线与圆锥曲线的位置关系利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程有几个根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便.1．直线:l y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =交于点111(,)P x y ，222(,)P x y , 由20(0)(,)0y kx bAx Bx C A f x y =+⎧⇒++=≠⎨=⎩。
圆锥曲线的统一定义
左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离.
x2 y2 上一点P到 1 64 36
(2)椭圆
x2 y 2 1 25 9
的左右焦点分别为F1、F2
90° , 求ΔF1PF2的面积. 60 P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90°
轨迹方程的思考:
例2.已知点P到定点F(1,0)的距离与它到定直线
l1
y
l2 M2 P
M1
P
O
d2
M2 x F1
d2
F1
.
.
F2
.
M1
O
.
F2 P′
x
d1
a 准线: x c
2
PF1 PF2 e 定义式: d1 d2
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
图形
焦点坐标
准线方程
a2 x c a2 y c a2 x c
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
2、左焦点与左准线对应，右焦点与右准线对应，不能混淆， 否则得到的方程不是标准方程。
3、离心率的几何意义：曲线上一点到焦点的距离与到相应 准线的距离的比。
x y 2 1(a b 0) 2 a b
l1 d1 y l2
2
2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
l : x 5的距离的比是常数
圆锥曲线与“类准线”有关的一个统一性质
（ ）， ｎ 而ｎ 一 ａ＝ ａＩ＋ －
，
‘ ．
寺 ・ ． 一 ＋
圆锥 曲线 与 “ 类准线 ＂有关的一个统一性质
确 的为
Ａ． Ｚ ＂ １＞
＞
Ｃ．
＞ｒ ２＞
Ｄ・
＞ ＞
２１ ００年全国各省市的高考卷 ，归纳了“ 多思少算” 的 几种类 型 ， 旨在 抛 砖 引玉 ． １ ．观 察发 现 ，多思少 算 达 尔 文在 总结 自己的成 就 时 曾说 ，“ 我既 没有 突 出 的理 解 力 ，也没 有 过 人 的机 智 ，只 是 在观 察 那些 稍 纵 即逝 的事物 ，并对 其进 行 精确 的观察 的能 力 上 ，
性质 ３如 图 ３ ，已 知抛 物 线 Ｙ ＝２ ｘｐ＞０ ， ｐ（ ） Ｆ（ ０（ ｍ， ） ＞０ 是 抛 物线 的“ ） 类焦 点” ，点 是抛 物 线
Ｆ
Ｐ Ｎ 、
的顶 点 ， Ｊ 抛物 线 的“ Ｐ是 类准 线” ： ，Ｘ＝一 ｍ上任一 点 ， 抛物 线 的两条 切 线 Ｐ Ａ， Ｐ Ｂ与抛 物 线在 顶 点 处 的 切线 分别 相 交于 ，Ⅳ 两 点 ，则 ，Ｊ Ｖ两点 的纵 坐 标之 积为 定值 ．
彭 世金 湖 南省常 德市 第六 中学 （ １０３ ４ ５０ ）
由 根 与 系 数 的 关 系 得 ＋ ＝
。 ： ＝ ．
笔者通过对 圆锥 哇线的研究 ，得到圆锥 曲线与 ｂ
‘ ‘ 线” 类准 有关 的一个 统一 性质 ，现介 绍如 下 ． 性 质 １如 图 １ ，已知 椭 圆 Ｌ Ｚ Ｘ ＋ｙ
圆锥曲线类准线的一个统一性质的推广
， Ｐ
Ｑ
别地 ， 当 ｎ：旦 二时
，
＋
：
＋
．
ｍ
，Ａ
，Ｂ
Ｐ
了Ｑ
ｍ（ ｍ ＞０ ）交 于 、 Ｂ两 点 ， 若 Ａ（ ，
ｙ ） ， Ｐ（
ｌ
＝ ——
证明 ： 若 ｒ 为
２ ２
．
ｙ ） ， （
ｌ
— —
） ， ） ， Ｑ（ Ｑ ， ｙ Ｑ ） ，则
ｂ （ ｍ 一０ ）
ｙ ｙＱ ‘
两式 相 除得 ＋一 １ ： １
Ｙｐ Ｙ ｏ 口 一 ｍ
①
对另一条对称轴是否也有相同或类似结论成
立 ？经过类 比 ， 我们 得到 如下 两个 结论 ． 定理 ２ 线段 Ｐ Ｑ是椭 圆 ，： ｘ ＋ ＝
因为点 Ｐ在直 线 Ｐ Ｑ上， 所 以 ，＝ ｋ 般 的与 圆锥 曲线 对 称 轴 垂 直 的直线 ， 定点 与 圆锥 曲线 的顶 点 ｓ 推 广 为对 称轴 上 的两个 任意 定点 ， 则 ＋
Ｙ Ａ ｙＢ
是 双 曲线 一
＝１ （ 。 ＞０ ， ｂ＞０ ，
Ｙ ｐ ，Ｑ Ａ ｘＢ Ｐ ＾Ｑ 。
ｌ ｍ Ｉ ＞０ ） 的类 准线 ； ＝一ｍ（ ｍ ＞０ ） 是 抛 物线 Ｙ ＝２ ｐ ｘ（ ｐ ＞Ｏ ）的类 准线 ， 并且 给 出 了圆锥 曲线 的类 准线 的如 下两 个结 论 ： 定理 １ 线段 Ｐ Ｑ是 过 定点 （ ｍ， ０ ） 的
与 ＋ （ 或 ＋ 与 ＋ ） 的比值为
一
定值 ， 这 样就 将原 结论 给予 了推 广 ． 定理 １ 线段 Ｐ Ｑ是椭 圆ｆ： ＋ ＝
ａ ０
椭圆的一动弦（ Ｊ ｍ Ｉ ＜ａ ） ， ｓ是椭 圆长轴的
高中三年级数学 圆锥曲线的统一定义及其应用
问题2 刘洋同学身高1.7 m, 若在这次跳投中，球在 头顶上方0.25 m处出手， 问：球出手时，他跳离 地面的高度是多少？
3.5m 2.5m
4m
3.05 m
三 归纳小结
1、圆锥曲线的统一定义 2、利用统一定义解决求轨迹，求最值等问题 3、圆锥曲线在生活中的作用
一 创设情境 问题1:圆锥曲线形成的方法： 问题2：抛物线的定义是什么？ 问题3：当距离不相等，动点的轨迹又是什么呢？
一 创设情境
问题3：根据这个常数的变化，你能总结出椭圆、 双曲线、抛物线与这个常数有什么关系？
问题4：你能根据椭圆、双曲线、抛物线的联系给它们 下一个统一的定义吗？ 圆锥曲线的统一定义：
A y 8x2( x 0) B y2 8x( x 0) C x2 8 y( x 0) D x 8 y2( x 0)
练习一
1.动点P到点F（2，0）的距离比到x=-3的距离小1， 则点P的轨迹为（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.双曲线的一支
2.动点P(x,y)满足 ( x 1)2 ( y ， 2则)2点P1的
如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从 喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最 高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径 的下列可选值中,最合适的是( )
A 2.5m B 4m
C 5m
D 6m
P O
练习三
如图，有一次,我班刘洋同学在距篮下4m处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水 平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确 落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
平面上到一个定点F的距离和它到定直线L的距 离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。
2020-2021年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.5 圆锥曲线的统一定义(苏教版)
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若平面内动点 P 到定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离 的比是一个常数 e(e>0)，则动点 P 的轨迹是圆锥曲线．( × ) (2)抛物线 y2－2x＝0 的准线方程为 x＝－12.( √ ) (3)点 M(x，y)到定点 F(4，0)的距离和它到直线 l：x＝245的距 离的比是常数45，则点 M 的轨迹为2x52＋y92＝1.( × )
解决此类问题常用两种方法： (1)直译法，即依据已知条件直接写出动点坐标满足的等式，整 理得方程； (2)依据定义先判断轨迹形状，再由几何性质得方程．
2.已知圆锥曲线的一个焦点是 F(1，0)，对应准 线 l：x＝－1，且曲线过点 M(3，2 3)，求圆锥曲线的方程． 解：法一：因为 MF＝ （3－1）2＋（2 3－0）2＝4， 点 M 到准线 l 的距离为 d＝|3－(－1)|＝4， 所以 MF＝d，且点 F 不在 l 上， 即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点， 焦点为 F(1，0)． 由p2＝1 得 p＝2. 故此圆锥曲线的方程是 y2＝4x.
的距离的比是一个常数 e(e>0)，则动点 P 的轨迹是圆锥曲线． (1)如果 0<e<1，则动点 P 的轨迹是 椭圆 ； (2)如果 e>1，则动点 P 的轨迹是 双曲线 ； (3)如果 e＝1，则动点 P 的轨迹是 抛物线 ．
2．圆锥曲线的焦点、准线与曲线的相对位置，曲线中与坐标系无 关的不变量 (1)准线与曲线没有公共点． (2)椭圆中长轴长 2a，短轴长 2b，离心率 e＝ac，中心到焦点的距离 c，中心到准线的距离ac2等都是与坐标系无关的不变量． (3)双曲线中实轴长 2a，虚轴长 2b，离心率 e＝ac，中心到焦点的距 离 c，中心到准线的距离ac2等都是与坐标系无关的不变量． (4)抛物线中焦点到顶点的距离p2，焦点到准线的距离 p 都是与坐标 系无关的不变量．
圆锥曲线简介
圆锥曲线简介圆锥曲线圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。
圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。
圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率e）的点的集合是圆锥曲线。
对于0 < e < 1得到椭圆，对于e = 1得到抛物线，对于e > 1得到双曲线。
圆锥曲线的类型圆锥曲线方程离心率（e）半焦距（c）半正焦弦（ℓ）焦点准线距离（p）圆椭圆抛物线双曲线圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
抛物线：截面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。
在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。
交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。
几何性质椭圆（Ellipse)椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。
抛物线（Parabola)抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
双曲线（Hyperbola)双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。
离心率有固定焦点F和准线的椭圆 (e=1/2)、抛物线 (e=1)和双曲线 (e=2)。
对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。
从中心到准线的距离是，这里的是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。
从中心到焦点的距离是。
在圆的情况下，e = 0且准线被假想为离中心无限远。
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Ⅱ Ｙ （ ）＋（ ） 口 Ａ ａ一 口 ａ— ＾ Ｙ ｂ （ ） ａ— ） ａ一 （ Ｂ
ｌ＋ ， 詈等
消去 ， 化简整 理得 并
（ ２ ＋ｔ Ｙ 一 ｂｃｔ ｂ Ｏ ａｂ ２ ） ２ ｃ ｙ— ＝ ．
＝ ： 二 （ ！
Ⅱ
．
ａ
２ ＋ ｂ
Ⅳ
的一个焦 点 ， Ｅ是 椭 圆在 轴 点
上相应 于 焦点 Ｆ的一 个 顶 点 ， Ｐ
图 １
爷 ＋
Ｃ
２２ ｔ
・
是相 应 于 焦 点 的 准 线 ｚ 任 上
一
６
＿ ）＝ ｃ
点 ， 点 Ｐ作 椭 圆 的 ２条 切 线 ， ， 点 为 Ａ， 过 船 切
（ 二
第ｌ ２期
彭世金 ： 圆锥 曲线与准线顶点有 关的一个统一性质
‘２ １・
圆 锥 曲 线 与 线 顶 点 有 关 的 一 个 统 一 性 质
●彭世 金 （ 常德市第六中学 湖南常德 ４５０ ） １ ３ ０
笔者 通过对 圆锥 曲线 的研究 ， 到圆锥 曲线 与 得
准线顶点 有关 的一个 统一 性质． 性 质 １ 如 图 １ 已 知 椭 圆 ，
由 组 ＝一消 ’整得 方 ｌｐ 号去化 理 程 ｔ（ ） 简 ｙ
一
２ｙ—Ｐ。＝０ ｔ
．
一 ＝ ＼＋厂 ＾ ８ ‘ Ｙ． 十 ＋ （十Ｉ 。 ～ Ｉ 一 。 一 Ｙ一 Ⅳ
Ｙ
＋
１ Ｙ ＝１ ｅ・
又 由根 与系数 的关 系得
ｙ ＾＋Ｙ ＝２ ， ＾ 口 ＝ 一Ｐ ６ ｔＹ Ｙ ，
ａ Ｄ
一。 丽 ）‘
０６ ＋ｔｃ
２ ６ ｃ￡
＋ ‘ 丽
２ｆ ｃ
一６
二 （ １ ： ＝ ２
’
将椭 圆在 顶 点 Ｅ处 的切 线 方 程 ＝ａ与 切线
： １，
ａ
＋
Ｏ
： １ ．
Ｐ 船 的方程 联 立 ， 得点 Ｍ， 的纵 坐 标 Ｙ Ｙ Ａ， 可 Ｎ ，
０ ６ ＋ｔｃ ’
Ｂ， ， 与 椭 圆在 顶点 Ｅ处 的切线分别 相 交 于点 船
，
记 椭 圆的离 心率 为 ｅＡ Ｂ， Ｎ 的 纵 坐标 分 ， ， Ｍ，
Ｙ （ ）＋（ ） 口 Ａ ａ— 口 ａ— ＾ Ｙ ＝
ｙ Ａ
别为 Ｙ ， Ｙ ，Ⅳ则 ＡＹ ， Ｙ ，
１
１
Ｃ
＝ ＝ 一 一
十一 ＋
Ｃ
ｌ
，Ａ ，Ｂ
ａ
Ｎ｝
一 一 ｅＭＹ． Ａ Ｂ ｅ１Ｊ） ＋ ＝ （＂１ ， Ｙ‘ｌ ｒ 一 Ｎ
＋
＝
１
１
１
・
２ ・ ２
中 学教 研 （ 学 ） 数
２１ ００卑
类 似地 ， 证双 曲线 与抛物 线 的如下性质 ： 可
图２
图３
于是
＋ ：
＋
Ａ
：
Ｂ ｙ ｔ＋ ａ
性质 ３ 如 图 ３ 已知 抛物线 Ｙ ２ｘ ｐ＞０ ， ， ＝ ｐ （ ）
鲁 ｙ＋ ８ ｔ
于是
’
１＋ １＝
Ａ ｙ 曰 Ｙ Ｙｎ ａ
＝
２ｔ
一
●
Ｊ
ｐ 。
（） ３
Ｚ
＼Ｐ ？
’ Ⅳ 、
Ｍ
将 抛物线 在顶 点 Ｅ处 的切线 方程 ＝ ０与切线 Ｐ Ａ，
Ｐ ＜
Ｉ ７
Ｐ Ｂ的方程联立 ， 得点 Ｍ， Ｎ的纵坐标分别为
’ Ｍ ’ ’Ｎ ’
（
，
证明
不 妨设 焦点 Ｆ（ ， ） 顶 点 Ｅ（ ， ） 相 ｃ０ ， ａ０ ，
应 焦 Ｆ 准 ｚ任 点 （ ｆ ， 与 于 点 的 线上 一 Ｐ ） Ｐ ， Ｂ ，
椭 圆相切 于点 ａ ｘ ， ， （ Ｙ ）则 切点 ， （ Ｙ ）Ｂ ｘ ，。 ， 船 的方 程分别 为
＋
２
．，
２
．
性 质 ２ 如图 ２ 已知 双 曲线 一 ：１ｏ＞ ， ， （ ０
Ｔ＝ 一 ） （号 ， Ａｐ 手 一 ） ｔ（
从而 切点 弦 Ａ Ｂ的方 程为
ｂ ０， ＞ ） Ｆ是双曲线的一个焦点 ， Ｅ是相应于焦点 点 的一个顶点 ， 相应 于 焦点 的准线 Ｚ Ｐ是 上任 一
点， 过点 Ｐ作双 曲线 的 ２条切 线 Ｐ Ｐ 切 点分别 Ａ，Ｂ， 为 Ａ， Ｐ Ｐ Ｂ，Ａ，Ｂ与 双 曲 线 在 顶 点 处 的切 线 分别
秒ｐ 号． ＝ ）
ｒ ＝２ ｘ Ｙ ｐ
相交于点 ，７ Ｊ 记双曲线 的离心率为 ｅＡ Ｂ， Ｎ ７ ＼ ． ， ， Ｍ， 的纵 坐标分别 为 Ｙ ， Ｙ ， 则 Ｙ ， Ｙ ，
一
ｂ
ｒ 口一ｃ 一 ）口 ｂ
由根 与系数 的关 系得
２ｂ ｃ ｔ ２ ０ —ｂ
一
（ ａ
一
ｃ ‘ ）
ｂ ＝一
ｂ
’
． （） ２
Ｙ ＋ｓ Ｙ
丽
， Ｙ ＹＳ Ａ
２ｂ Ｃ ｆ ２ ２
丽
，
由式 （ ） 式 （ ） １ ， ２ 得
—— ＋ ＋ 一
分别 为 ｂ（ ） ａ— Ａ
ｙ — ’
由点 Ｐ在 切线 ， 上 ， 朋 可得
等 等等 ＋ ＋
ｙ 从而切 点弦 Ａ Ｂ的方 程为 ＋ｔ ＝１由方程 组 ， ．
，
ｂ （ 口 ａ一 ）
— ’
于是 一
１
＋
１
＝ ＋
ｃ
ｂ。
ｙ
， ，
ｆ ＝； ＋ －
２
，
． ，
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（ ） ａ— Ｂ ａ一 Ａ （ ）＝
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２
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