等比数列前n项和性质的证明及应用

一个等比数列前n 项和性质的完善及应用

黄文宪 福建省南安市新营中学

摘要：本文所指等比数列的前n 项和性质是指S m , S 2m −S m , S 3m −S 2m 之间的关系，这也是中学数学中常用又常错的命题。很多的课外辅导材料中所给的相关性质都是不完善的，应用该性质解题存在着逻辑上的缺陷，但又不易察觉。本文对该性质进行了完善与发展，使得利用该性质解题能完整无误。

关键词：等比数列 前项和 性质 完善 应用

在很多的高中数学辅导材料中，都有关于等比数列前n 项和一个性质：

在等比数列{a n }中，若其前n 项和为S n ，m ∈N ∗,则S m , S 2m −S m , S 3m −S 2m 也成等比数列，公比为q m 。

由于等差数列前n 项和有相类似性质的存在，虽然没有严格的证明，但在惯性思维作用下，这个性质得到广大师生的认同。

其实，这是一个假命题，比如有穷等比数列1 ,-1 ,1 ,-1 ,1 ,-1的前两项和、中两项和及后两项和,组成的数列为 0 ,0 ,0 ，显然不成等比数列。这说明，至少在公比q =−1时，命题是不成立的。那么，该性质应如何表述才恰当呢？

1.1等比数列前n 项和性质及其证明

等比数列前n 项和性质：在等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，m ∈N ∗，则

(S 2m −S m )2=S m ∙(S 3m −S 2m )。

证明：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，设公比为q (q ≠0),则

S m =a 1+a 2+⋯+a m ①

S 2m −S m =a m+1+a m+2+⋯a 2m =q m (a 1+a 2+⋯+a m ) ②

S 3m −S 2m =a 2m+1+a 2m+2+⋯a 3m =q 2m (a 1+a 2+⋯+a m ) ③

当q ≠−1时，S m =a 1+a 2+⋯+a m ≠0，

由②①

得S 2m −S m S m =q m 由③②得S

3m

−S 2m S 2m −S m =q m ∴S 2m −S m

S m =S 3m −S 2m S 2m −S m

∴S m ,S 2m −S m ,S 3m −S 2m 是等比数列，即有(S 2m −S m )2=S m ∙(S 3m −S 2m )。

当q =−1时

若m 为偶数，则S m =a 1+a 2+⋯+a m =0，

S 2m −S m =a m+1+a m+2+⋯a 2m =q m (a 1+a 2+⋯+a m )=0

S 3m −S 2m =a 2m+1+a 2m+2+⋯a 3m =q 2m (a 1+a 2+⋯+a m )=0

此时，S m ,S 2m −S m ,S 3m −S 2m 不成等比数列，但有(S 2m −S m )2=S m ∙(S 3m −S 2m )

若m为奇数，则S m=a1+a2+⋯+a m=a m=a1q m−1=a1，

S2m−S m=a m+1+a m+2+⋯a2m=a2m=a1∙q2m−1=−a1

S3m−S2m=a2m+1+a2m+2+⋯a3m=a3m=a1∙q3m−1=a1∵a1≠0,

∴S m,S2m−S m ,S3m−S2m成等比数列，即有(S2m−S m)2=S m∙(S3m−S2m)

综上所述，在等比数列{a n}中，其前n项和为S n，m∈N∗则(S2m−S m)2=S m∙(S3m−S2m)。

1.2等比数列前n项和性质应用错析

有了等比数列前n项和性质，可以直接用它来解题了吗？先看以下一道试题几个学生

的不同解法：

人教A版教辅《优化设计》P42，试题7：等比数列{a n}的前n项和为S n，S2=3，

S6=63，则S4=________________

学生甲：由等比数列前n项和的性质有：（S4−S2）2

=S2×（S6−S4）

所以（S4−3）2

=3×（63−S4）

S42−3S4−180=0∴S4=15或S4=−12

学生乙：显然公比q≠1，由等比数列的前n项和公式得

{

a1(1−q2)

1−q

=3 ①a1(1−q6)

1−q

63 ②

②÷①得1+q2+q4=21

解得q2=4或q2=−5（舍去）

∴q=2或q=−2

∴{a1=1

q=2或{

a1=−3

q=−2

当{a1=1

q=2时，S4=

a1(1−q4)

1−q

=15

当{a1=−3

q=−2时，S4=

a1(1−q4)

1−q

=15

综上所述，S4=15.

学生丙：由已知S2=3，S6=63得

{ a1+a2=3 ① a1+a2+a3+a4+a5+a6=63 ②

②÷①得1+q2+q4=21

解得q2=4或q2=−5（舍去）

S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)+(a1+a2)q2

=3+3×4=15

所以S4=15.

观察对比几位同学的解法会发现，直接利用等比数列前n项和性质解题，可能会产生增根，从而得出错误结果。甲同学的解答得出的S4=−12对应于乙同学和丙同学解答时得到的q2=−5，等比数列不存在。所以性质“在等比数列{a n}中，其前n项和为S n，m∈N∗则(S2m−S m)2=S m∙(S3m−S2m)”的题设是结论的充分不必要条件，即在等比数列中，其前n项和为S n，m∈N∗则(S2m−S m)2=S m∙(S3m−S2m)一定成立，但满足(S2m−

S m)2=S m∙(S3m−S2m)的S m，S2m，S3m不一定是一等比数列的前m，2m，3m项和。所以探究等比数列中前m，2m，3m项和的内在联系成为该性质应用的必然。

1.3等比数列前n项和性质分析完善

因为S m=a1+a2+⋯+a m

S2m=a1+a2+⋯+a m+a m+1+a m+2+⋯a2m=（1+q m）S m S3m=a1+a2+⋯+a m+a m+1+a m+2+⋯a2m+a2m+1+a2m+2+⋯a3m

=(1+q m+q2m)S m=[（1

2+q m）2+3

4

]S m,

所以m为偶数时，1+q m>1，则S m，S2m同号且｜S m｜<｜S2m｜，

不论m为何整数时， S m与S3m同号。

又因为满足(S2m−S m)2=S m∙(S3m−S2m)时，

S2m2−2S2m S m+S m2=S m S3m−S m S2m，

S m S3m=S2m2−S2m S m+S m2>0

所以S m与S3m必同号。

因此，等比数列前n项和性质应表述为：

在等比数列{a n}中，其前n项和为S n，m∈N∗则(S2m−S m)2=S m∙(S3m−S2m)，（当m为偶数时，S m，S2m同号且｜S m｜<｜S2m｜）。

1.4等比数列前n项和性质解题应用

例1、若某等比数列中前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为_____.