最新张量分析总结
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例：
(1.1)
式(1.1)可简单的表示为下式：
(1.2)
其中：i为自由指标，j为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
1.2
定义 为：
(1.3)
的矩阵形式为：
(2.11)
指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：
(2.12)
2.7
张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量U，即在任意坐标系内以下等式 成立，则T必定是一个p+q阶的张量。以上规则称为张量的商法则。
3
二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。
1.5.2二阶张量
定义 为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：
(1.18)
可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：
(1.19)
又：
(1.20)
记：
， (1.21)
则：
(1.22)
该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：
(1.23)
将式(1.13)代入上式可得：
(1.24)
此分量转换可进一步推广到高阶张量。
3.2
3.2.1零二阶张量
零二阶张量将任意矢量映射为零矢量，它是一种特殊的退化的二阶张量。
（二）创业优势分析零二阶张量对应的矩阵为：
体现市民生活质量状况的指标---恩格尔系数，上海也从1995年的53.4%下降到了2003年的37.2%，虽然与恩格尔系数多在20%以下的发达国家相比仍有差距，但按照联合国粮农组织的划分，表明上海消费已开始进入富裕状态（联合国粮农组织曾依据恩格尔系数，将恩格尔系数在40%-50%定为小康水平的消费，20%-40%定为富裕状态的消费）。 (3.3)
(2)二阶张量T的转置张量TT为：
(3.2)
(3)二阶张量的行列式
二阶张量对应的矩阵具有行列式值：
由于两个互为转置的矩阵的行列式值相等，故两个互为转置的张量的行列式相等
(4)二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与矩阵运算一一对应；二阶张量与矢量的点积；二阶张量与二阶张量的点积。以上运算都可以表示成对应的矩阵运算，但二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，例如并乘运算。
(2.3)
(2.4)
(Байду номын сангаас.5)
式(1.10)中：
(2.6)
2.4
若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。 ，有 。取不同基矢量点积，缩并结果不同。
2.5
两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。如下：
(2.7)
(2.8)
(2.9)
其中，
(2.10)
2.6
对于张量 ，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如下式所示：
(3.4)
自制饰品一反传统的饰品消费模式，引导的是一种全新的饰品文化，所以非常容易被我们年轻的女生接受。式中，左端的O是零二阶张量，右端的0为零矢量。
（一）DIY手工艺品的“多样化”3.2.2度量（单位）张量G
调研结论：综上分析，我们认为在学院内开发“DIY手工艺品”商店这一创业项目是完全可行的。 (3.5)
一、知识总结
1
1.1
哑标和自由指标的定义及性质
自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
度量张量将任意矢量映射为原矢量，即：
尽管售价不菲，但仍没挡住喜欢它的人来来往往。这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格迥异的饰品，许多顾客也是学得不亦乐乎。在现场，有上班族在里面精挑细选成品，有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱，准备自己制作的原料。可以想见，用本来稀奇的原料，加上别具匠心的制作，每一款成品都必是独一无二的。而这也许正是自己制造所能带来最大的快乐吧。 (3.6)
，其中 为常数，称 为雅克比行列式。若J处处不为0，则说明存在相应的逆变化，即：
1.5
1.5.1一阶张量
一阶张量在新老坐标系中的分解为：
(1.12)
其中：
(1.13)
则：
(1.14)
得到：
(1.15)
同理：
(1.16)
得：
(1.17)
矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。
3.1
(1)任何一二阶张量T总可以按其分量写成矩阵形式：
(3.1)
二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。首先，矩阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中，转置张量与转置矩阵、对称（或反对称）张量与对称（或反对称）矩阵不能一一对应；第三，二阶张量的某些运算不完全能用矩阵的运算与之互相对应。
1.4
图1.2坐标转换
如上图所示，设旧坐标系的基矢为 ，新坐标系的基矢为 。有
在 下进行分解：
在 下进行分解：
其中， 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径：
(1.7)
其中 为上图中坐标原点的位移矢量。
将 向新坐标轴上投影的矢量的分量：
由此得新坐标用老坐标表示的公式：
(1.8)
类似地，将 向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：
(1.9)
特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时 ，上两式的矩阵形式为：
(1.10)
由上可知， ， 是正交矩阵，则 。综合以上可知：
(1.11)
同理，可推出：
将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换， ；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，
(1.4)
可知 。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：
(1.5)
的作用：更换指标、选择求和。
1.3 Ricci
为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：
(1.6)
图1.1i,j,k排列图
的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。
2
2.1
假如A、B为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为 ，例如：
(2.1)
显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。
2.2
张量A，标量λ，若 ，则：
(2.2)
2.3
两个同维不同阶（同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。
(1.1)
式(1.1)可简单的表示为下式：
(1.2)
其中：i为自由指标，j为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
1.2
定义 为：
(1.3)
的矩阵形式为：
(2.11)
指标转换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到，如下式所示：
(2.12)
2.7
张量T，如果它满足对于任意一个q阶张量S的内积均为一个p阶张量U，即在任意坐标系内以下等式 成立，则T必定是一个p+q阶的张量。以上规则称为张量的商法则。
3
二阶张量是连续介质力学中最常遇到的一类张量，例如应力张量、应变张量、变形梯度张量和正交张量等。
1.5.2二阶张量
定义 为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：
(1.18)
可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：
(1.19)
又：
(1.20)
记：
， (1.21)
则：
(1.22)
该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：
(1.23)
将式(1.13)代入上式可得：
(1.24)
此分量转换可进一步推广到高阶张量。
3.2
3.2.1零二阶张量
零二阶张量将任意矢量映射为零矢量，它是一种特殊的退化的二阶张量。
（二）创业优势分析零二阶张量对应的矩阵为：
体现市民生活质量状况的指标---恩格尔系数，上海也从1995年的53.4%下降到了2003年的37.2%，虽然与恩格尔系数多在20%以下的发达国家相比仍有差距，但按照联合国粮农组织的划分，表明上海消费已开始进入富裕状态（联合国粮农组织曾依据恩格尔系数，将恩格尔系数在40%-50%定为小康水平的消费，20%-40%定为富裕状态的消费）。 (3.3)
(2)二阶张量T的转置张量TT为：
(3.2)
(3)二阶张量的行列式
二阶张量对应的矩阵具有行列式值：
由于两个互为转置的矩阵的行列式值相等，故两个互为转置的张量的行列式相等
(4)二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与矩阵运算一一对应；二阶张量与矢量的点积；二阶张量与二阶张量的点积。以上运算都可以表示成对应的矩阵运算，但二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，例如并乘运算。
(2.3)
(2.4)
(Байду номын сангаас.5)
式(1.10)中：
(2.6)
2.4
若对某张量中任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。 ，有 。取不同基矢量点积，缩并结果不同。
2.5
两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。如下：
(2.7)
(2.8)
(2.9)
其中，
(2.10)
2.6
对于张量 ，若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量。如下式所示：
(3.4)
自制饰品一反传统的饰品消费模式，引导的是一种全新的饰品文化，所以非常容易被我们年轻的女生接受。式中，左端的O是零二阶张量，右端的0为零矢量。
（一）DIY手工艺品的“多样化”3.2.2度量（单位）张量G
调研结论：综上分析，我们认为在学院内开发“DIY手工艺品”商店这一创业项目是完全可行的。 (3.5)
一、知识总结
1
1.1
哑标和自由指标的定义及性质
自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
度量张量将任意矢量映射为原矢量，即：
尽管售价不菲，但仍没挡住喜欢它的人来来往往。这里有营业员们向顾客们示范着制作各种风格迥异的饰品，许多顾客也是学得不亦乐乎。在现场，有上班族在里面精挑细选成品，有细心的小女孩在仔细盘算着用料和价钱，准备自己制作的原料。可以想见，用本来稀奇的原料，加上别具匠心的制作，每一款成品都必是独一无二的。而这也许正是自己制造所能带来最大的快乐吧。 (3.6)
，其中 为常数，称 为雅克比行列式。若J处处不为0，则说明存在相应的逆变化，即：
1.5
1.5.1一阶张量
一阶张量在新老坐标系中的分解为：
(1.12)
其中：
(1.13)
则：
(1.14)
得到：
(1.15)
同理：
(1.16)
得：
(1.17)
矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。
3.1
(1)任何一二阶张量T总可以按其分量写成矩阵形式：
(3.1)
二阶张量与矩阵虽然有上述对应关系，但它们并非全能一一对应。首先，矩阵并非只包括方阵，而二阶张量只能对应方阵；其次，在一般坐标系中，转置张量与转置矩阵、对称（或反对称）张量与对称（或反对称）矩阵不能一一对应；第三，二阶张量的某些运算不完全能用矩阵的运算与之互相对应。
1.4
图1.2坐标转换
如上图所示，设旧坐标系的基矢为 ，新坐标系的基矢为 。有
在 下进行分解：
在 下进行分解：
其中， 为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径：
(1.7)
其中 为上图中坐标原点的位移矢量。
将 向新坐标轴上投影的矢量的分量：
由此得新坐标用老坐标表示的公式：
(1.8)
类似地，将 向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：
(1.9)
特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时 ，上两式的矩阵形式为：
(1.10)
由上可知， ， 是正交矩阵，则 。综合以上可知：
(1.11)
同理，可推出：
将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换， ；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，
(1.4)
可知 。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：
(1.5)
的作用：更换指标、选择求和。
1.3 Ricci
为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：
(1.6)
图1.1i,j,k排列图
的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。
2
2.1
假如A、B为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为 ，例如：
(2.1)
显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。
2.2
张量A，标量λ，若 ，则：
(2.2)
2.3
两个同维不同阶（同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。