凸优化理论笔记
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T n n n
凸集 √ √ √ √ √ √ √ √
仿射集 √ √ √ √ √ × × √
x (1 ) x x
凸锥
√ √ × × × ×
9. 半空间：
{ x | a T x b, x R n , b R} { x | a T x b, x R n , b R}
n
x1 , x2 , , xk C convC 1 x1 2 x2 k xk 1 , 2 , , k [0,1] 1 2 k 1
一个凸集，它的凸包就是它本身
凸集
非凸集
非凸集
凸集的凸包（本身）
仿射组合（Affine Combination） 设 k 个点 x1 , x2 , , xk ，
1 , 2 , , k R 1 2 k 1
则称 1 x1 2 x2 k xk 为 x1 , x2 , , xk 的仿射组合 仿射包（Affine Hull） 任意集合 C R ， C 中任意元素的仿射组合构成的集合称仿射包
12. 多面体（Polyhedron） ：
T ai x bi , i 1, , m P x T （很多超平面和半空间的交集） c x = d , 1, , j n j j
√
√
13. 对称矩阵： S A R
n n
n n
| A = AT
|| x1 (1 ) x2 xc ||2 || x1 (1 ) x2 xc (1 ) xc ||2 || x1 xc (1 ) x2 xc ||2 || x1 xc ||2 (1 ) || x2 xc ||2 r (1 )r r
x (a1 , a2 ) 1 b x2
√
×
×
10. 欧几里得空间中的球：
B ( xc , r ) x || x xc ||2 r , xc R n , r R
11. 欧几里得空间中的椭球：
√
E ( xc , r , P ) x ( x xc )T P 1 ( x xc ) r , xc R n , r R, P 正定
Chapter 2 Convex Set
对于 x1 x2 R
n
连接两点的直线可表示为 x | x x1 (1 ) x2 , R 连接两点的线段可表示为 x | x x1 (1 ) x2 , [0,1] 仿射集（Affine Set） 定义： C 是仿射集↔ x1 , x2 C ，则连接两点的直线也在 C 内
一条直线是仿射集，一条线段则不是
平面是仿射集，一块矩形区域则不是
例：线性方程组的解集是仿射集 证：线性方程组的解集可表示为 C { x | Ax = b, A R 设 x1 , x2 C ，则 Ax1 = b ， Ax1 = b
m n
, b Rn}
A x1 (1 ) x2 Ax1 + (1 ) Ax2 b (1 )b b ，得证
n
x1 , x2 , , xk C 1 x1 2 x2 k xk 1 , 2 , , k 0
一个凸锥集，它的凸锥包就是它本身
集合名称 1. 空集 2. 1 个点 3. R 空间 4. R 空间的子空间： { x | Ax = 0} 5. 任一直线 6. 任一线段 7. 任一射线： x0 v | 0 8. 超平面： { x | a x = b, x R , b R}
一条直线是凸集，一条线段也是凸集
平面是凸集，一块矩形区域也是凸集
凸组合（Convex Combination） 设 k 个点 x1 , x2 , , xk ，
1 , 2 , , k [0,1] 1 2 k 1
则称 1 x1 2 x2 k xk 为 x1 , x2 , , xk 的凸组合 凸包（Convex Hull） 任意集合 C R ， C 中任意元素的凸组合构成的集合称凸包
非凸集的凸包
凸锥（Convex Cone） 定义： C 是仿射集↔ x1 , x2 C ，对 1 , 2 0 ，有 1 x1 2 x2 C
过原点的射线是凸锥
过原点的两条射线之间的区域是凸锥
凸锥组合（Convex Cone Combination） 设 k 个点 x1 , x2 , , xk ， 1 , 2 , , k 0 则称 1 x1 2 x2 k xk 为 x1 , x2 , , xk 的凸锥组合 凸锥包（Convex Cone Hull） 任意集合 C R ， C 中任意元素的凸锥组合构成的集合称凸锥包
n
x1 , x2 , , xk C affC 1 x1 2 x2 k xk 1 , 2 , , k R 1 2 k 1
如果一个集合的仿射包就是它自己，那么它就是一个仿射集
凸集（Convex Set） 定义： C 是仿射集↔ x1 , x2 C ，则连接两点的线段也在 C 内
n n
√ √ √
√ × ×
Fra Baidu bibliotek√ √ ×
14. 对称半正定矩阵： S A R 15. 对称正定矩阵： S A R
n
| A = AT , A 0
nn
| A = AT , A 0
10）证明：设 x1 , x2 B ，则
|| x1 xc ||2 r || x2 xc ||2 r
凸集 √ √ √ √ √ √ √ √
仿射集 √ √ √ √ √ × × √
x (1 ) x x
凸锥
√ √ × × × ×
9. 半空间：
{ x | a T x b, x R n , b R} { x | a T x b, x R n , b R}
n
x1 , x2 , , xk C convC 1 x1 2 x2 k xk 1 , 2 , , k [0,1] 1 2 k 1
一个凸集，它的凸包就是它本身
凸集
非凸集
非凸集
凸集的凸包（本身）
仿射组合（Affine Combination） 设 k 个点 x1 , x2 , , xk ，
1 , 2 , , k R 1 2 k 1
则称 1 x1 2 x2 k xk 为 x1 , x2 , , xk 的仿射组合 仿射包（Affine Hull） 任意集合 C R ， C 中任意元素的仿射组合构成的集合称仿射包
12. 多面体（Polyhedron） ：
T ai x bi , i 1, , m P x T （很多超平面和半空间的交集） c x = d , 1, , j n j j
√
√
13. 对称矩阵： S A R
n n
n n
| A = AT
|| x1 (1 ) x2 xc ||2 || x1 (1 ) x2 xc (1 ) xc ||2 || x1 xc (1 ) x2 xc ||2 || x1 xc ||2 (1 ) || x2 xc ||2 r (1 )r r
x (a1 , a2 ) 1 b x2
√
×
×
10. 欧几里得空间中的球：
B ( xc , r ) x || x xc ||2 r , xc R n , r R
11. 欧几里得空间中的椭球：
√
E ( xc , r , P ) x ( x xc )T P 1 ( x xc ) r , xc R n , r R, P 正定
Chapter 2 Convex Set
对于 x1 x2 R
n
连接两点的直线可表示为 x | x x1 (1 ) x2 , R 连接两点的线段可表示为 x | x x1 (1 ) x2 , [0,1] 仿射集（Affine Set） 定义： C 是仿射集↔ x1 , x2 C ，则连接两点的直线也在 C 内
一条直线是仿射集，一条线段则不是
平面是仿射集，一块矩形区域则不是
例：线性方程组的解集是仿射集 证：线性方程组的解集可表示为 C { x | Ax = b, A R 设 x1 , x2 C ，则 Ax1 = b ， Ax1 = b
m n
, b Rn}
A x1 (1 ) x2 Ax1 + (1 ) Ax2 b (1 )b b ，得证
n
x1 , x2 , , xk C 1 x1 2 x2 k xk 1 , 2 , , k 0
一个凸锥集，它的凸锥包就是它本身
集合名称 1. 空集 2. 1 个点 3. R 空间 4. R 空间的子空间： { x | Ax = 0} 5. 任一直线 6. 任一线段 7. 任一射线： x0 v | 0 8. 超平面： { x | a x = b, x R , b R}
一条直线是凸集，一条线段也是凸集
平面是凸集，一块矩形区域也是凸集
凸组合（Convex Combination） 设 k 个点 x1 , x2 , , xk ，
1 , 2 , , k [0,1] 1 2 k 1
则称 1 x1 2 x2 k xk 为 x1 , x2 , , xk 的凸组合 凸包（Convex Hull） 任意集合 C R ， C 中任意元素的凸组合构成的集合称凸包
非凸集的凸包
凸锥（Convex Cone） 定义： C 是仿射集↔ x1 , x2 C ，对 1 , 2 0 ，有 1 x1 2 x2 C
过原点的射线是凸锥
过原点的两条射线之间的区域是凸锥
凸锥组合（Convex Cone Combination） 设 k 个点 x1 , x2 , , xk ， 1 , 2 , , k 0 则称 1 x1 2 x2 k xk 为 x1 , x2 , , xk 的凸锥组合 凸锥包（Convex Cone Hull） 任意集合 C R ， C 中任意元素的凸锥组合构成的集合称凸锥包
n
x1 , x2 , , xk C affC 1 x1 2 x2 k xk 1 , 2 , , k R 1 2 k 1
如果一个集合的仿射包就是它自己，那么它就是一个仿射集
凸集（Convex Set） 定义： C 是仿射集↔ x1 , x2 C ，则连接两点的线段也在 C 内
n n
√ √ √
√ × ×
Fra Baidu bibliotek√ √ ×
14. 对称半正定矩阵： S A R 15. 对称正定矩阵： S A R
n
| A = AT , A 0
nn
| A = AT , A 0
10）证明：设 x1 , x2 B ，则
|| x1 xc ||2 r || x2 xc ||2 r