函数的幂级数展开

第五节 函数的幂级数展开
一. 泰勒级数 二. 函数的幂级数展开
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教学目标
1. 了解泰勒级数的定义, 掌握将函数展成泰勒级数的 充要条件. 2. 理解函数的幂级数直接展开法． 3. 掌握幂级数的幂级数间接展开法．
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通过上节的学习知道: 任何一个幂级数在其收敛区间内 均可表示成一个函数(即和函数). 但在实际中为了便于研 究和计算, 常常需将一个函数在某点附近表示成一个幂级 数. 这正好和原来“求一个幂级数的和函数”问题相反. 本 节将介绍如何将一个函数表示为一个幂级数.
n
Rn ( x)

0
即
lim
n
Rn
(
x)

0.
故
ex

xn
x2 x3
xn
1 x L L
n0 n!
2! 3!
n!
( x )
例2 将函数 f ( x) sin x 展开成x的幂级数.
解 因为 f (n) ( x) sin( x n ) (n 0,1, 2,L )
n!
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例1 将函数 f ( x) e x 展开成x的幂级数.
解 因为 f (n) ( x) e x (n 0,1, 2,L )
所以 f (n) (0) 1 (n 0,1, 2,L ).
于是 f (n)(0) xn 1 xn 且其收敛区间为 (, )
的幂级数展开; 称此幂级数为该函数的幂级数展开式.
由上册第四章泰勒Taylor中值定理知, 若函数 ƒ(x) 在x0 的某邻域内具有直到(n+1)阶导数, 则对于x (a, b), 有
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)2
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f
(
x)

lim[
n
Pn
(
x)

Rn
(
x)]
若
lim
n
Rn
(
x)

0,
必有
f (x)
k0
f (k) ( x0 ) ( x k!
x0 )k
定义7
称
f (x)
k0
f
(k ) ( x0 k!
)
(
x

x0
)k
为函数ƒ(x)在 x0 处
(1) 求出 f (x) 在 x = 0处的各阶导数值: f (n) (0) (n 1, 2,L );
(2) 写出 f (x) 的麦克劳林级数, 并给出收敛区间;
(3) 证明在收敛区间内余项
lim
n
Rn
(
x
)

0.
(4) 写出
f (x) 的展开式:

f (x) n0
f (n)(0) xn，并写出收敛区间.
的泰勒级数或泰勒展开式.
特别地, 在
x0 0 时, 上式即为
f ( x) f (k ) (0) xk
k0 k !
称为函数ƒ(x)在 处的麦克劳林级数或麦克劳林展开式.
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定理10 若函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域内有任意阶导数,
则 f (x) 可展成泰勒级数的充分必要条件是 f ( x) 的泰勒余项
下面将解决这样一些问题:
(1) 对于给定的函数ƒ(x), 在什么条件下才能展开成幂级数?
(2) 如果可以展开, 怎样求这个幂级数的系数
an (n 0, 1, 2,L )
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(3) 展开后的幂级数是否唯一?
一.泰勒级数

若一个函数 ƒ(x) 能表示成一个幂级数 an xn , 称为此函数 n0
n0
n0

论如何将 f (x) 展开成 x 的幂级数 an xn , 即麦克劳林级数. n0
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1.直接展开法
利用式 f ( x) f (n) (0) xn 直接将 f (x) 展开成一个幂级
n0 n!
数的方法, 称为直接展开法.
直接展开法的计算步骤为:
2 有 f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1,L ,
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f (2k ) (0) 0, f (2k1) (0) (1)k ,L

于是
f (n) (0) xn x x3 x5 x7 L (1)n
以上定理说明，若 f (x) 在 x = x0 处能展成幂级数, 则其幂级
数展开式必为泰勒级数; 若 f (x) 在 x = 0 处能展成幂级数, 则 其幂级数展开式必为麦克劳林级数.
将初等函数展成幂级数的方法


因为级数 an ( x x0 )n与 an xn 可相互转化, 故下面主要讨
L

f
(n) ( x0 n!
)
(
x

x0
)n
Rn ( x)
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其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(x

x0
)n1 (
介于 x 与 x0
之间）
我们称此等式为函数ƒ(x)在 x = x0 处的n阶泰勒Taylor公
式或泰勒Taylor展开式.
显然一个函数的n阶泰勒公式与幂级数有一定的相似之处.
故为了讨论函数的幂级数展开,先来讨论泰勒级数.
由泰勒中值定理知, 当ƒ(x)在 x0 的某邻域内具有直到 n + 1 阶导数, 那么在该邻域内必有 f ( x) Pn( x) Rn( x) ,
从而当ƒ(x) 在该邻域内具有任意阶导数时, 有
n0 n!
n0 n!
而
e x xn1
e x x n1
0 Rn ( x) (n 1)! (n 1)!
且
x n1

是
x n1 的一般项, 则对 x (, ), 恒有
(n 1)! n0 (n 1)!
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lim
Rn ( x)
满足
lim
n
Rn
(
x
)

0.
定理11 若函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域内能展成幂级数,
则这个幂级数一定是泰勒级数, 也就是说

f ( x) Cn ( x x0 )n n1
则
Cn
f (n) ( x0 ) n!
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Leabharlann Baidu
二.函数的幂级数展开