时变电磁场唯一性定理

时变电磁场唯一性定理

下面我们讨论由多种媒质所组成的场域V 。为叙述方便，先引入内边界面和外边界面的概念。内边界面是指边界面两侧区域都是场域的边界面，内边界面位于场域V 内。外边界面是指边界面两侧区域中有一侧属于场域V 而另一侧不属于场域V 的边界面，外边界面是场域最外侧的边界面。内边界面的两侧区域都是未知的待求场域；而外边界面的两侧区域中有一侧是待求场域而另一侧是常量为已知的场域。

唯一性定理 假设：

1)形状不随时间t 变化的场域V 是由m 个线性媒质1V , 2V ,...,m V 所组成，i V 的边界面i Γ是由分片光滑曲面所组成的闭曲面，V 的外表面是Γ，1,2,...,i m =。

2）外部电流源s J 和K 分布在有限区域内，矢量,,,,,s e h e h J K G G F F 和标量ρ是不全为零的有界的已知量。

3）媒质i V 的介电常量0i ε>，磁导率0i μ>，电导率0i γ≥，1,2,...i m =。4) i V 中的电场强度i E 和磁场强度H i 在闭如果区间i i V +Γ上存在连续偏导数，1,2,...,i m =。

在上述条件下，如果由以下初边值（2.79）—（2.90）所确定的场量E 和H 存在，那么它们分别有唯一的有界非零解。

1. 约束方程

()()()(),(),,s M t M M M t M t t γε∂⎛⎫∇⨯-+= ⎪∂⎝

⎭H E J (2.79)

()()

(),,0M t M M t t

μ∂∇⨯+=∂E H (2.80) M V ∈, 0t >

2．初始条件 ()()0,|t e M t M ==E G , M V ∈ (2.81)

()()0,|t h M t M ==H G , M V ∈ (2.82)

()0,|0t M t μ=∇=⎡⎤⎣⎦H ， M V ∈ (2.83)

()()0,|t M t M ερ=∇=⎡⎤⎣⎦E , M V ∈ (2.84)

3.内边界面上得边界条件

在内边界面ij Γ上场量应同时满足以下两式：

()()(),,0ij j i p p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n E E (2.85)

()()()(),,,ij j i ij p p t p t p t ⎡⎤⨯-=⎣⎦n H H K (2.86)

以上两式中，各个场量的含义为

()(),,lim j j j p p p t p t →=E E ， ()(),,lim i i i p p

p t p t →=E E

()(),,lim j j j p p p t p t →=H H ，()(),,lim i i i p p

p t p t →=H H

i i p V ∈，j j p V ∈， ij p ∈Γ, i j <, 0t >

1,2,...,1i m =-;2,3,...,j m =

4.外边界面上的边界条件

在外变截面out Γ上，场量仅需满足以下两式的其中之一：

()()(),,e Q Q t Q t ⨯=n E F (2.87)

或

()()(),,h Q Q t Q t ⨯=n H F (2.88)

以上两式中，场量的含义为

()(),,lim M Q Q t M t →=E E ，()(),,lim M Q

Q t M t →=H H

M V ∈, out Q ∈Γ， t o >

5. 无限远条件

当场域是无界区域时，在无限远处场量应同时满足以下两式: lim e

r r →∞

=E D (2.89) lim h r r →∞=H D

(2.90)

符号说明：ij Γ是i V 和j V 的公共变截面，由于ij Γ位于V 内，所以ij Γ为内边界面；Γ是整个区域V 的外表面，当V 是有界区域时Γ就是外边界面out Γ，当V 是无界区域时out in Γ=Γ+Γ，这里in Γ是无界区域中无限假想的光滑曲面；ij n 是ij Γ上从i V 指向j V 的单位法向矢量；s J 和ij K 分别是外源的电流密度和电流面密度；n 是外边界面out Γ上得单位法向矢量；e G ，h G ，e F ，h F 均为已知的矢量函数；ρ是分布在有限区域内的外源电荷密度；r 是坐标原点o 到场点p 之间的距离；e D 和h D 分别是与坐标无关的有界常矢量。

把整个V 区域写成外边界out Γ和无限远处假想外表面in Γ之和out in Γ=Γ+Γ的形式具有广泛的代表性。