欧拉方程与纳维-斯托克斯方程

欧拉方程与纳维-斯托克斯方程

一发展历史

以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流；它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析等等。

纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。

实际上，只有最简单的情况才能用上述方法解答，而它们的确切答案是已知的。这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。

虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。

二表达式

1纳维-斯托克斯方程

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u x z u y u x

u x p

X D Du z y x x x x x μμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u y p

Y D Du z y x y y y y

μμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u z p Z D Du z y x y y y z μμρθρ31222222 2欧拉方程

欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0=μ时的特殊形式。

)61(a x

p

X D Du x -∂∂-=ρθρ

)61(b y

p

Y D Du y -∂∂-

=ρθ

ρ

)61(c z

p

Z D Du z -∂∂-=ρθρ

三 推倒、证明

由应力表示的黏性流体的运动方程

剪应力

法向应力

)31(322)31(322)

31(322c z u y u x u z u p b z u y u x u y u p a z u y u x u x u p z y x

z zz

z y x

y yy z y x

x xx -⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=μμτμμτμμτ 牛顿粘性运动方程

)41(a z

y x X D Du zx

yx xx x -∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ

)41(b z

y

x

Y D Du zy yy xy y -∂∂+

∂∂+

∂∂+

=τττρθ

ρ

)41(c z

y x X D Du zz yz xz x -∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ

将剪应力和法向应力代入牛顿粘性运动方程得纳维－斯托克斯方程

x 分量

)51(31222222a z u y u x u x z u y u x u x p

X D Du z y x x x x x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ y 分量

)51(31222222b z u y u x u y z u y u x u y p

Y D Du z y x y y y y

-⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ z 分量

)51(31222222c z u y u x u y z u y u x u z p

Z D Du z y x y y y z -⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ 以上即是纳维－斯托克斯方程。 欧拉方程

欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0=μ时的特殊形式。

x 分量

)61(a x

p

X D Du x -∂∂-=ρθρ

y 分量

)61(b y

p

Y D Du y -∂∂-

=ρθ

ρ

z 分量

)61(c z

p

Z D Du z -∂∂-=ρθρ

以上即是欧拉方程。