欧拉方程与纳维-斯托克斯方程
计算流体力学的发展过程
计算流体力学的发展过程计算流体力学是一种利用计算机解决流体力学问题的方法，可以模拟各种流体动力学现象，如流体的流动、湍流等。
它在现代工业、航空航天、环境保护等领域有着广泛的应用，是现代科技取得的重要成果之一。
本文将从历史和技术两个方面，探讨计算流体力学的发展过程。
一、历史1.早期研究计算流体力学的起源可以追溯到20世纪40年代，当时美国哈佛大学的约翰·冯·诺伊曼等人开始使用电子计算机来解决气体动力学问题。
他们开发出了一种名为“脉动方程”的方法，可以解决流体运动的基本方程。
这标志着计算流体力学的诞生。
2.有限差分方法20世纪50年代至60年代，人们开始使用有限差分方法来解决流体力学问题。
有限差分方法将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为代数方程，然后使用计算机求解。
有限差分方法的优点是简单易懂，计算速度快，但它也存在精度较低、稳定性差等问题。
3.有限体积方法20世纪70年代后期至80年代初，有限体积方法逐渐成为主流。
有限体积方法使用小区域的平均值代替整个区域的实际值，从而保证了守恒定律的严格符合。
此外，有限体积方法还能很好地处理边界条件和复杂流动情况，因此得到了广泛应用。
4.计算能力的提高20世纪90年代至今，随着计算机计算能力的提高，计算流体力学的应用范围越来越广泛。
基于计算流体力学的仿真技术已经应用于汽车、航空航天、电子、环保等行业和领域。
人们正在不断发掘计算流体力学在这些领域的潜力。
二、技术1.数值格式计算流体力学的数值格式是计算流体力学算法的核心。
主要分为欧拉方程和纳维-斯托克斯方程两种类型。
欧拉方程适用于高速稀薄气体流动，而纳维-斯托克斯方程适用于低速流动和液体流动。
在实际运用中，人们还可以根据具体需求制定相应的数值格式。
2.求解器计算流体力学的求解器是模拟流体力学问题并求解数学模型的软件程序。
求解器的性能直接影响到计算的精度和速度。
目前求解器的种类已经非常丰富，包括商业求解器和开源求解器，如ANSYS、FLUENT、OpenFOAM等。
第二章 动量传输基本方程.
2.1 流体运动的描述
研究方法－－（2）欧拉法 欧拉法以流场中某一空间点作研究对象，分析该点 以及该点与其他点之间物理量随时间的变化过程来研究 流体运动情况的。因此，凡是表征流体运动特征的物理 量都可表示为时间 τ 和空间x、y、z的函数。 z着眼点不是流体质点，而是空间点，设法在流体空间的 每一个点上，描述出流体运动随时间变化的状况。 z每一空间点的运动 整个流场的运动状况。 z以速度作为描述流体在空间变化的变量，研究流体速度 在空间的分布。 z欧拉法把流体视为连续介质，用场论的方法研究流体流 动，是一套最重要的研究方案。我们将采用它来研究动 量传输。
第二章 动量传输的基本方程
2.1 流体运动的描述 2.2 连续性方程 2.3 理想流体动量传输微分方程－欧拉方程 2.4 实际流体动量传输方程－纳维尔-斯托克斯方程 2.5 柏努利方程 2.6 柏努利方程的应用 小结
2.1 流体运动的描述
引入场的概念——物理量在空间的分布 流场的概念
流场是指充满运动流体的空间。运动参数表 示流体运动特征的所有物理量，如速度、密度、 压力、粘性力等。流体动力学研究流体质点的运 动参数随时间及空间位置变化的规律。
v v ′(M ′,τ + Δτ ) v v (M , τ )
M′
v ∂v ∂τ
)+
Δτ → 0
M
lim v (M ′ , τ
v dv v (M , τ + Δ τ ) − v (M , τ = lim Δτ dτ Δτ → 0
) − v (M , τ )
Δτ
v v MM ′ v (M ′, τ ) − v (M , τ ) ∂v (M , τ ) v lim lim = Δτ → 0 Δτ MM ′ → 0 ∂S MM ′
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。
在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。
这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。
欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。
欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。
欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。
欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。
欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。
二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。
纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。
纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。
纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。
它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。
纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。
三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。
边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。
边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。
流体动力学的理论与仿真技术
流体动力学的理论与仿真技术流体动力学是关于流体运动及其相关现象的研究学科，包括流体运动的基本原理、流体力学基础方程、流体现象数值计算方法等等。
随着计算机技术的不断发展，流体动力学仿真技术在航空航天、汽车工程、建筑工程等领域得到了广泛应用，并取得了一系列重要的成果。
流体动力学的理论基础包括流体力学基本定律、描述流体运动的方程、流体的动力学及其它方面的基础理论。
其中，描述流体运动的方程主要包括纳维-斯托克斯方程、欧拉方程和约化模式方程等。
纳维-斯托克斯方程是描述流体运动中黏性效应的方程，欧拉方程则是不考虑黏性效应的流体动力学基本方程。
约化模式方程则是对复杂流动过程提出的数学模型，如湍流模型、多相流模型等。
流体动力学的仿真技术是基于流体动力学基本方程的数值解法，通过计算机模拟流体运动的过程来研究复杂的流动现象。
仿真技术主要分为两类：基于拉格朗日方法的方法和基于欧拉方法的方法。
拉格朗日方法是一种追踪流体粒子的方法，它描述流体粒子的运动轨迹，并通过计算流体中的粒子相互作用来描述整个流体的运动状态。
欧拉方法是将控制体的流动转换成空间网格上的数值求解问题，因此欧拉方法适用于复杂流动领域。
除此之外，还有一种基于拉格朗日和欧拉方法的耦合模拟方法，它将两种方法的优点相结合，可以减少误差，提高仿真精度。
流体动力学仿真技术在航空航天领域得到了广泛应用。
在气动力学研究中，仿真技术可以帮助工程师进行机翼、机身、发动机进气口等部件的设计优化。
另外，在飞行器的研制过程中，仿真技术也可以通过计算燃烧室内的流场特性来确定发动机的工作性能，提高发动机的整体性能。
在汽车工程方面，流体动力学仿真技术可以帮助汽车设计师优化汽车的空气动力学特性，减少风阻并提高燃油效率。
通过计算汽车外壳表面的湍流势能和压力，可以完善车身形状、缩短车身长度、减轻车重和降低制动系统的发生概率。
在建筑工程方面，流体动力学仿真技术可分为建筑内部流动和外界流动。
前者可以用于设计通风系统、空气调节和火灾逃生通道等，后者可以用于研究建筑物的耐久性、抗风能力和结构强度等方面。
流体知识点总结
流体知识点总结一、流体的基本性质1. 流体的定义和分类流体是指物质的一种状态，不固定的形状和体积，能够流动。
根据流体的粘性和压缩性，流体可分为理想流体和真实流体两大类。
理想流体是一种没有黏性和压缩性的流体，其运动规律可以用欧拉方程描述，而真实流体具有一定的粘性和压缩性，其运动规律则需用纳维-斯托克斯方程描述。
2. 流体的密度和压强流体的密度是指单位体积内的质量，通常用ρ表示。
流体的压强是指单位面积上的力，通常用p表示。
密度和压强是描述流体基本性质的重要参数，它们与流体的运动和压力有着密切的关系。
3. 流体的黏性和运动流体的黏性是指其内部分子间存在的摩擦力，使得流体在运动时具有阻力。
黏性是影响流体流动的一个重要因素，它使得流体在流动时会出现一些特有的现象，如粘滞流动、湍流等。
流体的运动规律受到黏性的影响，需要用纳维-斯托克斯方程来描述。
二、流体静力学1. 流场及其描述流场是指流体中任意空间中各点速度和密度的分布状态，可以分为定常流场和非定常流场。
描述流场的方法通常有拉格朗日描述和欧拉描述两种。
2. 流体的静力学平衡流体的静力学平衡是指在无外力作用时，流体处于静止状态的平衡规律。
根据流体受力的性质，静力学平衡可以分为流体的静平衡、压强平衡和重力平衡。
3. 流场的描述方法欧拉描述和拉格朗日描述是流体静力学研究的两种基本方法。
欧拉描述是以空间任意一点作为参照系来描述流体状态和运动规律，而拉格朗日描述则是以流体质点为参照系来描述流体运动。
三、流体动力学1. 流体的运动规律根据流体的运动性质，流体运动可以分为层流和湍流两种。
层流是指流体在运动中，各层流体分层并按某种规律运动的现象，而湍流则指流体在运动中乱七八糟、无规律的运动现象。
2. 流体的动能和动量流体的动能是指流体由于运动而具有的能量，通常用K表示，而流体的动量则是指流体在运动中具有的动能量，通常用L表示。
动能和动量是描述流体动力学运动规律的关键参数，与流体的流速、流量、压力等有着密切的关系。
改变世界的17个方程
改变世界的17个方程1. E=mc^2 (爱因斯坦的质能方程，改变了人们对能量和物质的理解)2. F=ma (牛顿的第二定律，描述了物体运动的力学关系)3. G=6.67430 × 10^-11 N(m/kg)^2 (引力常数，描述了万有引力的强度)4. PV=nRT (理想气体状态方程，描述了气体的压力、体积和温度之间的关系)5. Schrödinger equation (薛定谔方程，描述了量子力学中粒子的行为)6. Maxwell's equations (麦克斯韦方程组，描述了电磁场的行为)7. Navier-Stokes equations (纳维-斯托克斯方程，描述了流体的运动)8. Black-Scholes equation (布莱克-斯科尔斯方程，描述了金融市场中期权的定价)9. General relativity equation (广义相对论方程，描述了引力的弯曲时空)10. Logistic growth equation (Logistic增长方程，描述了生物种群的增长模式)11. Wave equation (波动方程，描述了波的传播)12. Heat equation (热传导方程，描述了热的传播)13. Bernoulli's equation (伯努利方程，描述了流体在不同高度下的压力和速度之间的关系)14. Euler's equation (欧拉方程，描述了理想流体的流动)15. Drake equation (德雷克方程，用于估算外星文明的存在概率)16. Lorenz equations (洛伦兹方程，描述了混沌系统的行为)17. Schrödinger-Poisson equation (薛定谔-泊松方程，描述了半导体中电子的行为)。
流体力学在水利工程中的应用
流体力学在水利工程中的应用流体力学是研究流体运动规律和性质的科学，它在水利工程中具有重要的应用价值。
水利工程是指利用水资源进行水利设施建设和水资源管理的工程领域。
流体力学在水利工程中的应用，既可以用于理论分析和计算，也可以用于实际工程设计和施工。
一、流体力学在水利工程中的理论分析和计算通过对流体运动规律和性质的研究，流体力学为水利工程提供了重要的理论依据和计算方法。
在水力学中，流体力学的基本方程是欧拉方程和纳维-斯托克斯方程，这些方程可以描述流体在管道、渠道、水泵等流动过程中的运动和力学性质。
通过对这些方程的求解和计算，可以预测水力工程中的水流速度、液位高度、水压等参数，为水利工程的设计和施工打下基础。
二、流体力学在水利工程设计中的应用流体力学在水利工程设计中发挥着重要的作用。
比如，在水电站的设计中，需要计算水流通过水轮机的功率和效率。
通过应用流体力学的知识，可以对水流的流速、流量和压力进行计算和分析，从而确定水轮机的设计参数，提高水电站的发电效率。
此外，在渠道的设计中，流体力学可以用来确定渠道的横断面形状、水流速度和水位高度等参数，以保证渠道的正常运行和水流的稳定。
三、流体力学在水利工程施工中的应用流体力学也被广泛应用于水利工程的施工过程中。
在施工过程中，需要进行水流的排泄和控制，以确保施工安全和水流的合理利用。
通过应用流体力学的原理，可以对水流的流速和流涌力进行计算和模拟，从而确定合适的排水和控水措施。
比如，在大型水坝的施工中，可以利用流体力学的知识，进行水流的调控和测量，以确保施工过程的顺利进行。
四、流体力学在水利工程管理中的应用流体力学在水利工程管理中也发挥着重要的作用。
在水库的管理中，需要对水流的流量、位移和压力进行预测和控制。
通过应用流体力学的方法，可以对水库的水位变化和水流的波动进行模拟和预测，从而制定合理的水库调度方案，保证水库的正常运行和水资源的合理利用。
此外，在水资源管理中，流体力学也可以用于对水流的输送和分配进行优化和控制，提高水资源的利用效率和管理水平。
流体力学计算公式
流体力学计算公式流体力学是研究流体的运动规律和性质的一门学科，广泛应用于工程和科学领域中。
在流体力学的研究过程中，有许多重要的计算公式和方程被提出和应用。
下面是一些重要的流体力学计算公式。
1.压力力学方程:压力力学方程是描述流体力学中流体静压力分布和变化的方程。
对于稳定的欧拉流体，方程为:∇P=-ρ∇φ其中，P是压力，ρ是流体的密度，φ是流体的势函数。
2.欧拉方程:欧拉方程用于描述流体的运动,它是流体运动的基本方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+g其中，v是流体的速度，P是压力，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
3.奇异体流动方程:奇异体流动是流体与孤立涡流动的一种类型，其方程为:D(D/u)/Dt=0其中，D/Dt是对时间的全导数，u是速度向量。
4.麦克斯韦方程:5.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程是描述流体的动力学行为的方程，它是流体力学中最重要的方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+μ∇²v其中，v是速度矢量，P是压力，ρ是密度，μ是动力黏度。
6.贝努利方程:贝努利方程描述了在不可压缩流体中流体静力学的变化。
贝努利方程给出了伯努利定律，即沿着一条流线上的速度增加，压力将降低，反之亦然。
贝努利方程的公式为:P + 1/2ρv^2 + ρgh = const.其中，P是压力，ρ是密度，v是流体速度，g是重力加速度，h是流体高度。
7.流量方程:流量方程用于描述流体在管道或通道中的流动。
Q=A·v其中，Q是流量，A是截面积，v是流速。
8.弗朗脱方程:弗朗脱方程是描述管道中流体流动的方程，其中考虑了摩擦阻力的影响:hL=f(L/D)(v^2/2g)其中，hL是管道摩擦阻力头损失，f是阻力系数，L是管道长度，D 是管道直径，v是流速，g是重力加速度。
以上是一些重要的流体力学计算公式。
这些公式和方程在流体力学中具有广泛的应用，是工程和科学领域中进行流体流动分析和计算的基础。
纳维-斯托克斯方程ying
纳维-斯托克斯方程ying
亨纳维-斯托克斯方程（Henon–Heiles equation）是一个双维非线性欧拉方程，表示一个无质量的点以角速度和角位移两个自由度移动的系统。
它是1964年由普林斯顿数学家Michel Hénon和物理学家Curtis Heiles共同发现的。
当表示为位势函数V(x,y)或动能函数E(x,y,v_x,v_y)时，亨纳维-斯托克斯方程可以写成：
V(x,y)=1/2(x^2+y^2)+αx^2y-βy^3
E(x,y,v_x,v_y)=1/2(v_x^2+v_y^2)+V(x,y)
它的衍生方程也常被用来研究非线性动力系统，如通道流动、电路、激光系统、行星系统和声学系统。
关于亨纳维-斯托克斯方程的有趣特性是它有很多稀疏的谱线，可以用来推测它的行为特性，甚至可以证明它具有奇特的数学性质。
;。
《流体力学》第六章_粘性流体绕物体的流动
第四节 平面层流边界层的微分方程
❖ 在这一节里，将利用边界层流动的特点如流体的粘度大小、 速度与温度梯度大和边界层的厚度与物体的特征长度相比为 一小量等对N-S方程进行简化从而导出层流边界层微分方程。 在简化过程中，假定流动为二维不可压定常流，不考虑质量 力，则流动的控制方程N-S方程为：
vx
vx x
◆空间流动三维问题，N—S方程及其求解 ◆扰流阻力及其计算 ◆附面层的问题
第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为 如下的矢量形式：
DV F P
Dt
(8-1)
这里 ：
DV V V V
Dt t
(8-2)
是流体微团的加速度，微分符号：
D Dt
t
V
p 2
vr r
p
3
2 r0
cos
( ) r, rr0
(1 vr r
v0 r
v ) v
r
r
3
sin
2 r0
（8-25）
对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压强和切应力 的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体 作用在圆球上的阻力为：
FD 6 r0 3 d
2vy z 2
)
p z
(2vz
x 2
2vz y 2
2vz z 2
)
（8－18）
一、蠕动流动的微分方程
●如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为：
vx v y vz 0 x y z
（8－19）
将式（8－18）依次求
2 x
p
2
、
2 y
p
2
、 2
流体的运动学基础
流体的运动学基础流体的运动学是研究流体在没有外力作用下的运动规律和特性的学科。
它广泛应用于物理学、力学、航空航天工程、水利工程等领域。
本文将介绍流体运动学的基本概念和我们对流体运动的理解。
一、流体的运动学基本概念流体是一种特殊物质形态，它具有没有固定形状和可变容积的特点。
流体的运动学主要研究宏观量，比如流体的速度、加速度、流速等。
下面我们将介绍一些流体运动学的基本概念。
1. 流动性流动性是流体运动学的基本特性之一。
流体分为液体和气体两种，液体的分子间作用力较大，分子难以突破内聚力，因此具有较小的可压缩性；而气体的分子间距离较大，分子间作用力相对较小，因此具有较大的可压缩性。
流动性使得流体能够运动和在容器或管道中传输。
2. 流速与流量流速是指单位时间内通过某一截面的流体的体积。
在流动过程中，流体的流速可能是不均匀的，因此为了描述整个流体的流动情况，我们引入了流量的概念。
流量是指单位时间内通过某一截面的流体的质量或体积。
在实际应用中，我们通常更关注流量而不是流速。
3. 流线与流管流线是指在不同时刻，流体质点所通过的路径连成的曲线。
流线能够直观地表达出流体运动的路径和轨迹。
当流体运动具有稳定性和不可压缩性时，流线也是连续的。
流管是由流线围成的管道，它能够将流体流动的区域划分出来。
二、流体的运动学方程流体的运动学方程是描述流体在运动过程中物理量变化规律的方程。
常见的流体的运动学方程包括欧拉方程和纳维-斯托克斯方程。
1. 欧拉方程欧拉方程描述的是连续介质中的流体运动，它是基于质点的视角建立的。
欧拉方程可表达为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的流速，∇是偏微分运算符。
2. 纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程描述的是流体在宏观尺度上的运动规律，它是基于控制体的视角建立的。
纳维-斯托克斯方程可表达为：∂v/∂t + v·∇v = -∇p/ρ + ν∇^2v + f其中，∂v/∂t是流体的加速度，v是流体的流速，p是压强，ρ是密度，ν是运动黏度，f是外力项。
欧拉方程与纳维-斯托克斯方程
欧拉方程与纳维-斯托克斯方程一发展历史以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流；它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实际上，只有最简单的情况才能用上述方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
二表达式1纳维-斯托克斯方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u x z u y u xu x pX D Du z y x x x x x μμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u y pY D Du z y x y y y yμμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u z p Z D Du z y x y y y z μμρθρ31222222 2欧拉方程欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0=μ时的特殊形式。
液态流体运动规律
液态流体运动规律引言液体是一种物质状态，具有流动性和密度较大的特点。
液体内部的分子间相互作用力相对较小，使得液体具有流动性。
液态流体运动规律是研究液体内部和液体与周围环境之间运动关系的科学。
在液态流体运动规律中，包括了液体的运动方程、液体的流动形式以及液体中的能量转化等方面的内容。
液体的运动方程液体的运动方程是描述液体质点在空间中随时间变化的规律。
根据流体力学的基本原理，液体的运动方程可以分为两类：欧拉方程和纳维-斯托克斯方程。
欧拉方程欧拉方程是描述液体质点相对于固定坐标系移动的运动方程。
它考虑了液体质点的加速度和外力对液体质点的作用。
欧拉方程可以用以下公式表示：∂v/∂t + (v · ∇)v = -1/ρ∇P + g + 1/ρ F其中，v是液体质点的速度，∂v/∂t是速度的时间导数，∇表示对空间坐标的梯度运算，P是液体质点所受压力，ρ是液体的密度，g是重力加速度，F是其他外力。
纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述液体内部细小质点的运动方程。
它考虑了液体质点间的黏滞力和压力对液体质点的作用。
纳维-斯托克斯方程可以用以下公式表示：ρ (∂v/∂t + v · ∇)v = -∇P + μ∇^2 v + F其中，μ是液体的黏滞系数。
液体的流动形式根据液体运动的流线形态，液体的流动可以分为以下几种形式：层流、湍流、旋涡流和倾注流。
层流层流是指液体在管道、河道等狭窄通道内流动时，流线呈平行排列，流速分布均匀、有序的流动形态。
在层流中，流体各个质点沿固定的流线运动，相邻质点之间并无相互往复的交换。
湍流湍流是指液体流经狭窄通道时，流线呈交织、纠缠、混乱的流动形态。
在湍流中，流体各个质点是无规则的、随机的运动，流速分布不均匀，存在大量旋涡、涡流和涡旋等结构。
旋涡流旋涡流是指液体在旋转物体周围流动时，液体流线围绕旋转中心呈旋涡形态的流动。
旋涡流常见于搅拌、螺旋桨等液体搅动设备中。
倾注流倾注流是指液体倾倒或流出容器时，液体流线呈放射线状或喷射状的流动形态。
化工流体知识点总结
化工流体知识点总结一、流体力学基础知识1. 流体的基本性质流体是流动的物质。
流体包括两类，即液体和气体。
液体与气体同属于流体的范畴，但它们在具体的性质和理论研究上有很多不同。
液态的分子之间距离显著小于气态的，因此分子间的相互作用力对于液态比气态更为显著。
流体的一些基本性质包括：质量、体积、密度、压强、粘度等。
这些性质对于流体的运动行为有着重要的影响。
2. 流体的运动描述对于流体的运动描述是流体力学研究的重点。
流体的运动行为可以通过速度场和压力场来描述。
速度场描述了流体在空间中的速度分布，对于不同的流体问题可以采用不同的速度场模型来进行描述。
压力场则描述了流体在空间中的压力分布情况，流体运动行为与压力场有着很大的关联。
3. 流体的基本方程流体的运动行为可以通过流体的基本方程来描述，这些基本方程包括连续性方程、动量方程和能量方程。
连续性方程描述了流体在空间中的质量守恒关系，动量方程描述了流体在空间中的动量守恒关系，能量方程则描述了流体在空间中的能量守恒关系。
这些方程为研究流体的运动行为提供了基本理论支持。
二、理想流体力学1. 理想流体的基本概念理想流体是指没有黏滞性、不可压缩、无外力、无热传递的流体。
理想流体力学是针对理想流体的流体力学理论研究。
理想流体力学的研究对象包括理想流体的运动行为、稳定性、流动特性等。
理想流体力学的理论研究对流体力学的发展有着重要的意义。
2. 均匀流动与非均匀流动在理想流体力学中，流体的运动可以分为均匀流动和非均匀流动两种。
均匀流动是指流体在空间中的速度场和压力场保持不变的运动行为，非均匀流动则是指流体在空间中的速度场和压力场随空间位置的变化而变化的运动行为。
这些运动行为对于流体的理论研究和实际应用都有着重要的影响。
3. 欧拉方程和纳维-斯托克斯方程在理想流体力学中，流体的运动行为可以通过欧拉方程和纳维-斯托克斯方程来描述。
欧拉方程是描述流体在空间中的速度场和压力场随时间变化的方程，是描述非粘性流体运动的基本方程之一。
集群动力学 流体动力学学-概述说明以及解释
集群动力学流体动力学学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述流体动力学学习是研究流体的运动规律和性质的学科。
它是物理学、数学和工程学的交叉学科，广泛应用于天气预报、空气动力学、水力学、地质学等领域。
在流体动力学学习中，我们研究流体的运动行为，可以从微观和宏观两个层面来进行分析。
微观上，流体动力学研究流体分子的运动和相互作用，涉及到分子间的力学和化学作用。
宏观上，流体动力学研究流体在大尺度上的运动行为，例如流体的流动、湍流的产生和传播等。
流体动力学方程是描述流体运动的基本方程，主要包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程被广泛应用于研究流体的流动，帮助我们理解流体的运动规律和掌握流体的特性。
除了基本方程外，流体动力学模型也是研究流体动力学的重要工具。
流体动力学模型可以是基于物理实验、数值模拟或理论推导的，用于描述具体流体系统的运动规律和特性。
通过建立模型，我们可以更好地研究和预测复杂流体系统的行为。
集群动力学是另一个与流体动力学密切相关的领域。
它研究集群或群体中个体之间相互作用的行为。
集群动力学的研究对象可以是生物群体、社会群体或者物理粒子等。
通过建立集群动力学模型，我们可以模拟和预测集群行为的变化和演化。
本文将探讨流体动力学学和集群动力学的基本概念、方程和模型，以及它们在实际应用中的作用和意义。
通过深入研究这两个领域，我们可以更好地理解和掌握流体和群体系统的行为，为解决实际问题提供理论和方法上的支持。
在结论部分，我们将总结本文的研究成果，并展望流体动力学学和集群动力学领域未来的发展方向。
1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织和讨论：第一部分是引言部分，主要对集群动力学和流体动力学的概述进行介绍。
首先会简要介绍集群动力学和流体动力学的定义和基本概念，并阐明两者的关系和重要性。
然后会详细介绍本文的结构和内容安排，以便读者可以清晰地了解接下来的讨论将涉及的方面。
最后，我们还会明确本文的目的，以便读者理解我们撰写本文的动机和目标。
流体力学的基本原理与应用导论
流体力学的基本原理与应用导论一、引言流体力学是研究流体运动规律的科学，广泛应用于各个领域，如航空航天、能源、环境工程等。
本文将介绍流体力学的基本原理及其在实际应用中的导论。
二、流体力学的基本原理1. 流体的性质流体力学研究的对象是流体，流体包括液体和气体。
与固体不同，流体具有流动性和变形性。
流体的性质包括密度、粘度、压力等。
2. 流体运动的描述流体力学通过速度场和压力场来描述流体运动。
速度场描述了流体各点的速度分布情况，压力场则描述了流体各点的压力分布情况。
3. 流体运动的基本方程流体力学的基本方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
质量守恒方程描述了流体质量的守恒性，动量守恒方程描述了流体动量的守恒性，能量守恒方程描述了流体能量的守恒性。
4. 流体力学的数学模型为了研究流体力学问题，需要建立相应的数学模型。
常用的数学模型包括欧拉方程和纳维-斯托克斯方程。
欧拉方程适用于描述无粘流体的运动，纳维-斯托克斯方程适用于描述有粘流体的运动。
三、流体力学的应用导论1. 空气动力学空气动力学是流体力学在航空航天领域的应用之一。
通过研究空气的流动规律，可以设计出更加优良的飞行器和航空器件。
空气动力学还可以应用于风洞实验和气动力学模拟。
2. 水力学水力学是流体力学在水利工程领域的应用之一。
通过研究水的流动规律，可以设计出更加高效的水利工程设施，如水电站、水闸等。
水力学还可以应用于水资源管理和水灾防治。
3. 石油工程石油工程是流体力学在能源领域的应用之一。
通过研究油气的流动规律，可以优化石油开采过程，提高石油采收率。
石油工程还可以应用于石油储运和油气田开发。
4. 环境工程环境工程是流体力学在环境保护领域的应用之一。
通过研究空气和水的流动规律，可以优化环境治理方案，减少污染物排放和扩散。
环境工程还可以应用于水污染防治和大气污染控制。
四、结论流体力学是一门重要的学科，它研究了流体运动的基本原理，并在各个领域得到广泛应用。
流体力学中的流体力学模型
流体力学中的流体力学模型流体力学是研究流体力学行为和性质的一门学科，它在许多领域都有广泛的应用，包括工程学、物理学、化学等等。
在流体力学中，使用流体力学模型来描述和预测流体的运动和相互作用。
本文将讨论流体力学中一些常见的流体力学模型。
一、连续介质模型连续介质模型是流体力学中最经典的模型之一。
在这个模型中，流体被视为一个连续的介质，其性质在各个空间点上是均匀的。
连续介质模型假设流体是连续可压缩介质，可以通过质点运动方程和连续性方程来描述。
质点运动方程描述了质点在流体中的运动状态，连续性方程则描述了质点之间的流体流动关系。
二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体力学中流体运动的基本方程之一。
这个方程集由连续性方程和动量守恒方程组成。
连续性方程描述了流体的质量守恒，即质点的流入流出平衡；动量守恒方程描述了质点的动量变化，包括压力、粘性和外力对质点的作用。
纳维-斯托克斯方程可以用来求解流体的速度场和压力场。
三、欧拉方程欧拉方程是描述流体力学中理想不可压缩流体运动的方程。
在欧拉方程中，不考虑粘性和外力对流体的作用，只关注流体的动量守恒和质量守恒。
欧拉方程适用于高速流动和理想气体的研究。
它可以简化为可压缩欧拉方程，用于研究可压缩流体的运动。
四、雷诺方程雷诺方程是描述流体力学中湍流流动的方程。
湍流是指流体在高速流动时出现的不规则、紊乱的流动状态。
湍流流动的特点是速度和压力分布不均匀，流体粒子之间存在旋涡、涡旋和湍流能量的输运。
雷诺方程引入了湍流应力项，用于描述湍流引起的流体的运动。
五、多相流模型多相流模型用于描述含有多种流体或流动物体的流体力学现象。
在多相流模型中，不同相的流体有不同的密度、速度和压力。
多相流模型可以应用于气液、液固、气固等多种流体力学问题的研究。
在多相流模型中，通常使用体积分数或质量分数来表示不同相之间的比例关系。
在流体力学中，流体力学模型是分析和预测流体行为的重要工具。
通过使用不同的流体力学模型，可以更好地理解和解释流体的运动和相互作用。
流体力学常见问题求解方法汇总
流体力学常见问题求解方法汇总流体力学作为一门重要的学科，在工程、物理、地球科学等领域中都发挥着重要的作用。
然而，在研究和应用过程中，常会遇到各种问题和挑战。
本文将汇总一些流体力学中常见问题的求解方法，为读者提供参考。
问题一：如何计算流体的受力和运动？答案：流体的受力和运动情况可以通过欧拉方程和纳维-斯托克斯方程进行分析和计算。
欧拉方程适用于无黏性流体，它描述了流体中任意一点上压力梯度和加速度的关系。
纳维-斯托克斯方程适用于有黏性流体，它在欧拉方程的基础上增加了黏性项，可以更准确地描述流体的受力和运动情况。
问题二：如何评估流体的流动特性？答案：评估流体的流动特性通常需要考虑流速、压力和密度等参数。
流速是指单位时间内通过某一给定截面的流体体积，可以通过流量计等仪器进行测量。
压力是指单位面积上的力的大小，可以通过压力传感器等设备进行测量。
密度是指单位体积内的质量，可以通过密度计等仪器进行测量。
通过测量这些参数，可以评估流体的流动特性，并进一步分析和计算流体的受力和运动情况。
问题三：如何解决流体边界层问题？答案：流体边界层问题是指在流体的边界处由于黏性效应而形成的一层较薄的流动区域。
解决流体边界层问题可以采用两种主要方法：一是采用解析方法，通过建立精确的数学模型，运用边界层理论和数值方法求解流体的受力和运动情况；二是采用实验方法，通过搭建实验装置，测量流体的流速、压力和温度等参数，进而分析流体的边界层特性。
两种方法常常相互补充使用，以获得更准确的结果。
问题四：如何模拟和预测流体的行为？答案：模拟和预测流体的行为是流体力学研究的一项重要任务。
为了模拟和预测流体的行为，可以使用计算流体力学（CFD）方法。
CFD方法基于流体力学的基本方程，通过离散化和数值计算方法，求解流体的受力和运动情况，并可通过计算机进行模拟和预测。
CFD方法具有较高的计算精度和灵活性，已广泛应用于航空航天、能源、环境工程等领域。
此外，现代计算能力的提升也使得基于机器学习和人工智能技术的模拟和预测方法得以发展。
流体力学_纳维尔斯托克斯_欧拉方程的推导
一、流体力学基本公式公式的含义：质量守恒、动量守恒、能量守恒()0D V Dtρδ=(0.1)()D VUV f Dtρδδρδτ=+(0.2)()()()2/2D V e U V f U U V q Dtρδδρδτδρ+=⋅+⋅+(0.3)将(0.1)式应用于(0.2)、(0.3)两式可得()()()()()()()()()2222/2/2/2/2 D VU D V DU DU U V V V f Dt Dt Dt Dt D V e U D e U D V e U V Dt Dt Dt D e U V V f U U V q Dt V f ρδρδρδρδδρδτρδρδρδρδδρδτδρδρ=+==+++=+++==⋅+⋅+=+ ()U U V q δττδδρ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋅+⋅+⎩即DU f Dt V δτδρ=+()2/2D e U U f U q DtV V δττδδρδρ+⎛⎫⋅=+⋅++ ⎪⎝⎭而(0.1)式本身作如下简化：()()()()00D V D D V V DtDt DtD V D D U Dt VDt Dt ρδρδδρδρρρρδ=+=+=+∇⋅=那么三个控制方程可以表示为()20/2D U DtDUf Dt V D e U U f U q Dt V V ρρδτδρδττδδρδρ⎧⎪+∇⋅=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+⎛⎫⋅⎪=+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎩(0.4)将()()()D U Dtt∂=+⋅∇∂ 应用于(0.4)式，可以得到()0U t ρρ∂+∇⋅=∂ (0.5)U U U f t V δτδρ∂+⋅∇=+∂(0.6)()()22/2/2e U U U e U f U q t V V δττδδρδρ∂+⎛⎫⋅+⋅∇+=+⋅++ ⎪∂⎝⎭(0.7)将(0.6)式代入(0.7)式化简，可得()()()()2222/2/2/2/2e U U e U t U e U e U U t t U U U U U qt V ρρρτδρδρ⎛⎫∂+ ⎪+⋅∇+ ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫ ⎪=+⋅∇++⋅∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⋅=+⋅∇⋅++ ⎪∂⎝⎭其中，()()()()()2/2/21122i i i i i i i i U U U U U U U U U U U ttt t t t∂⎛⎫∂∂∂∂∂==+==⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭()()21/22j j j i i j i iU U U U U U U U U U U x x ∂∂⋅∇===⋅∇⋅∂∂所以e U U e q t V τδδρ∂⋅+⋅∇=+∂(0.8)于是，三个控制方程化简为()0U t U U U f t V e U U e qtV ρρδτδρτδδρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂⎪+⋅∇=+⎨∂⎪⎪∂⋅⎪+⋅∇=+∂⎪⎩(0.9)其中，τ为剪应力对微元体的力，故()1,2,31,2,31,2,31,2,31111ij i i j k ij i i i i j ki j j ij j k ij i ij i i j k i j T dx e dx dx T x e TV dx dx dx x U T dx dx dx U x U T T U V dx dx dx x δτδρρρρτδδρρρρ====∂⎧⎪∂∂⎪===∇⋅∂⎪⎪⎨∂⎪⎪∂∂⋅===⋅∇⋅⎪∂⎪⎩∑∑ 所以，三个控制方程最终可以写为()()011U t U U U f T t e U e T U qtρρρρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂+⋅∇=+∇⋅⎨∂⎪⎪∂+⋅∇=⋅∇⋅+⎪∂⎩(0.10)其中，T 为微元体受到的表面应力()22j ki ij kk ij ij ij k j i u u u T p S S p x xx λδμμδμ⎛⎫∂⎛⎫∂∂=-++=--++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭即()()2T p U I U U μμ=--∇⋅+∇+∇(0.11)将(0.11)代入(0.10)式可以得到()()()()()()2323011U t U U U f p U U U te U e p U I U U U q tρρμμρμμρ⎧∂+∇⋅=⎪∂⎪⎪∂⎡⎤+⋅∇=+∇--∇⋅+∇⋅∇+∇⎨⎣⎦∂⎪⎪∂⎡⎤+⋅∇=--∇⋅+∇+∇⋅∇⋅+⎪⎣⎦∂⎩(0.12)将(0.12)式写为张量形式()2222323011i i j j ii i j i j i i j j i j j j j j i i j i j i i U t x U U U U U p U f t x x x x x x x x U U U U U e U e p q t x x x x x ρρμμρμμρ⎧∂∂⎪+=⎪∂∂⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪∂∂∂∂∂∂⎪+=+--++⎢⎥ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎪+⋅∇=--+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩(0.13) 再将(0.13)式写为分量形式，得()()()222222222220 113 113x y u v w t x y z u u u u u v w tx y z p u v w u u u f x x x y z xy z v v v v u v w t x y z p u v w v v f y y x y z x y ρρρρμμρμμρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++++++⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222223113 2z v z w w w wu v w tx y z p u v w w w w f z z x y z x y z e e e e u v w t x y z p u v w u v w x y z x y z u μμρνρν⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪∂⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+-++++++⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂+++∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂=--++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂+∂222222+v w u v u w v w q x y z y x z x z y ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩(0.14)当流体不可压缩时，ρ为常数，(0.14)式可以化简为22222222222222220111x y z u v w x y z u u u u pu u u u v wf t x y z x x y z v v v v p v v v u v w f t x y z y x y z w w w w pw w uv w f t x y z z x y μρμρμρ∂∂∂++=∂∂∂⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+-+++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+-+++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+-+++∂∂∂∂∂∂∂22w z ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪∂⎝⎭⎪⎣⎦⎩(0.15)此时方程已经封闭，最后一个方程不需要再给出。
工程流体力学(闻建龙)课后答案(部分)
为了简化湍流计算，研究者们提出了各种湍流模型，如零方程模型、一方程模型 和两方程模型等。这些模型通过建立数学方程来描述湍流的统计性质和流动特性 。
模拟方法
针对湍流模拟，常用的数值方法包括直接数值模拟（DNS）、大涡模拟（LES）和 雷诺平均模拟（RANS）。这些方法在精度和计算成本上各有优缺点，适用于不同 的流动条件和工程问题。
它描述了颗粒运动的速度与颗粒半径和流体粘性的关系。
流体动力学的基本方程
要点一
总结词
流体动力学的近似解法、数值解法。
要点二
详细描述
对于一些复杂的问题，我们可能无法得到精确的解析解， 这时就需要采用近似解法或者数值解法。近似解法包括摄 动法、迭代法等，数值解法则包括有限差分法、有限元法 等。这些方法可以帮助我们得到相对精确的结果，但是计 算量较大，需要借助计算机进行计算。
工程流体力学(闻建龙)课后答 案(部分)
目
CONTENCT
录
• 绪论 • 流体静力学 • 流体动力学基础 • 流体流动的能量转换与损失 • 流体流动的湍流与噪声 • 工程流体力学的应用实例
01
绪论
流体的定义与分类
总结词
流体的定义与分类
详细描述
流体是具有流动性的连续介质，可分为牛顿流体和非牛顿流体。牛顿流体遵循 牛顿第二定律，具有粘性和剪切应力；非牛顿流体不遵循牛顿第二定律，其流 动行为与剪切速率、温度和压力等条件有关。
THANK YOU
感谢聆听
流体流动的效率与节能措施
提高流速
减小流体的粘性和摩擦阻力，提高流速可以减小流体流动的能量 损失，提高流动效率。
优化流道设计
合理设计流道形状、尺寸和布局，减小流体的局部损失和摩擦阻力， 提高流动效率。
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欧拉方程与纳维-斯托克斯方程
一发展历史
以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流；它们也可以用于飞行器和车辆的设计、血液循环的研究、电站的设计、污染效应的分析等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实际上，只有最简单的情况才能用上述方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
二表达式
1纳维-斯托克斯方程
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u x z u y u x
u x p
X D Du z y x x x x x μμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u y p
Y D Du z y x y y y y
μμρθρ31222222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=z u y u x u y z u y u x u z p Z D Du z y x y y y z μμρθρ31222222 2欧拉方程
欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0=μ时的特殊形式。
)61(a x
p
X D Du x -∂∂-=ρθρ
)61(b y
p
Y D Du y -∂∂-
=ρθ
ρ
)61(c z
p
Z D Du z -∂∂-=ρθρ
三 推倒、证明
由应力表示的黏性流体的运动方程
剪应力
法向应力
)31(322)31(322)
31(322c z u y u x u z u p b z u y u x u y u p a z u y u x u x u p z y x
z zz
z y x
y yy z y x
x xx -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=μμτμμτμμτ 牛顿粘性运动方程
)41(a z
y x X D Du zx
yx xx x -∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ
)41(b z
y
x
Y D Du zy yy xy y -∂∂+
∂∂+
∂∂+
=τττρθ
ρ
)41(c z
y x X D Du zz yz xz x -∂∂+∂∂+∂∂+=τττρθρ
将剪应力和法向应力代入牛顿粘性运动方程得纳维－斯托克斯方程
x 分量
)51(31222222a z u y u x u x z u y u x u x p
X D Du z y x x x x x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ y 分量
)51(31222222b z u y u x u y z u y u x u y p
Y D Du z y x y y y y
-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ z 分量
)51(31222222c z u y u x u y z u y u x u z p
Z D Du z y x y y y z -⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=μμρθρ 以上即是纳维－斯托克斯方程。
欧拉方程
欧拉方程就是纳维－斯托克斯方程的0=μ时的特殊形式。
x 分量
)61(a x
p
X D Du x -∂∂-=ρθρ
y 分量
)61(b y
p
Y D Du y -∂∂-
=ρθ
ρ
z 分量
)61(c z
p
Z D Du z -∂∂-=ρθρ
以上即是欧拉方程。