期权定价理论

期权定价理论

期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克（Black ）和斯科尔斯（Scholes ）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所（CBOE ）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。

期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型（以下记为B —S 定价模型）。在此之前，许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易·巴舍利耶（Lowis Bachelier ）于1900年提出的模型。随后，卡苏夫(Kassouf ，1969年)、斯普里克尔（Sprekle ，1961年）、博内斯（Boness ，1964年）、萨缪尔森（Samuelson ，1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B —S 定价理论。

一、预备知识

（一）连续复利

我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。

假设数额为A 的资金，以年利率r 投资了n 年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为

n r A )1(+。如果每年计m 次利息，则终值为：mn

m

r A )1(+

。 当m 趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的情况下，金额A 以利率r 投资n 年后，将达到：rn

Ae 。

对一笔以利率r 连续复利n 年的资金，其终值为现值乘以rn

e ，而对一笔以利率r 连续复利贴现n 年的资金，其现值为终值是乘上rn

e

-。

在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为S 投资股票，期望以复利μ计息，经过T 时期后（T 一般以年为单位），股票的期望价格为：T

T Se

S μ=，从而可得：

S

S T T ln 1=

μ。也就是说，股票价格的期望收益率为股票价格比的对数。

（二）股票价格的行为过程

众所周知，股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻划股价的运动。随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。特别地，当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。

1、基本的维纳过程

要理解遵循维纳过程的变量z 的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z 值的变化。设一个小的时间间隔长度为Δt ，定义Δz 为在Δt 时间内z 的变化。如果满足：

（1）Δz εt ∆=

（6.1）

其中，ε是服从标准正态分布N （0，1）的一个随机变量； （2）对于任何两个不同的时间间隔Δt ，Δz 的值相互独立。 则称变量z 遵循基本维纳过程。

由（1）知，Δz 也服从正态分布，且其均值为0，方差为Δt ，标准差为t ∆。 由（2)知，z 遵循马尔科夫过程。

设z 值在时间T 后的增量为)0()(z T z -，这可以被看作在N 个长度为Δt 的小时间间隔后z 的变化的总量。其中t

T

N ∆=

，从而 i N

i t z T z ε∑=∆=-1

)0()( (6.2)

其中),,2,1(N i i ⋅⋅⋅=ε是服从标准正态分布的随机抽样值，且相互独立。从而)0()(z T z -也服从正态分布，其均值为0，方差为)(t N T ∆⋅=，标准差为T 。

另外，6.1式的极限形式可表示为：εdt dz =

(6.3)

2、一般化的维纳过程

变量x 的一般化维纳过程定义如下：

bdz adt dx +=

(6.4)

其中b a ,为常数，dz 为同6.3式的基本维纳过程。

adt 项表示变量x 在单位时间内的漂移量，其期望值为a 。

bdz 项可被看作为增加到x 轨迹上的波动率或噪声，其值为维纳过程的b 倍。 在缺省bdz 项的情况下，方程变为：adt dx =

对其积分可得：at x x +=0

其中x 0为变量x 在零时刻的值。经过t 时间后，x 增加的值为at 。

εt b t a z b t a x ∆+∆=∆+∆=∆

(6.5)

从而，x ∆具有正态分布，且x ∆的均值为t a ∆，方差为t b ∆2

，标准差为t b ∆。

经过时间T 后，x 值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为aT ，方差为T b 2

，标准差为T b 。

方程6.4给出了一般性维纳过程。其漂移率（单位时间的平均漂移）的期望值为a ，方差率（即单位时间的方差）的期望值为2

b 。如图6.1所示。

3、ITO 过程（ITO process ）

ITO 过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为：

dz t x b dt t x a dx ),(),(+=

ITO 过程的期望漂移率和方差率都随时间的变化而变化。

在B —S 期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循ITO 过程。但如何定义这一过程的期望漂移率和方差率是关键。一个合理的假设就是股价S 的变动可用瞬时期望漂移率为S μ，瞬时方差率为2

2

S σ的ITO 过程来表达。表示为：

Sdz Sdt dS σμ+=

(6.6)

dz dt S

dS

σμ+=

(6.7)

这是因为投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。当股价的方差率恒为0时：

Sdt dS μ=，得：t e S S ⋅=μ0 。其中，0S 是零时刻的股价。这说明了当方差率为0 时，股价以单位

时间为μ的连续复利方式增长。