扩展有限元法的研究

学位论文作者签名：谢海
日期： 2009 年 1 月 14 日
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上海交通大学 硕士学位论文 扩展有限元法的研究 姓名：谢海 申请学位级别：硕士 专业：固体力学 指导教师：冯淼林 20090101
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扩展有限元法的研究 摘 要
扩展有限元法(the extended finite element method, XFEM)是解决以裂纹问题 为代表的不连续力学问题的有效方法，由于其在保留常规有限元(CFEM)所有优 点的基础上，解决了常规有限元需在应力集中区高密度划分单元的所带来的困 难，模拟裂纹生长时也无需网格重划分，而得到了快速的发展。本文介绍了扩展 有限元的基本理论，并通过编写 ABAQUS 用户子程序 UEL ，在商业软件 ABAQUS 平台的基础上实现了线弹性扩展有限元功能。 本文先介绍了有关单位分解法，水平集法的理论，然后论述了基于这两个方 法的扩展有限元法； 接着对 ABAQUS 用户子程序 UEL 进行简单的介绍， 并阐述 如果应用 UEL 在 ABAQUS 平台上实现 XFEM。 最后， 通过三个算例的比较可以 看出 XFEM 能在较粗糙的网格前提下，实现了较高的精度和准确度。
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学位论文作者签名： 谢海
指导教师签名：冯淼林
日期：2009 年 1 月 14 日
日期：2009 年 1 月 14 日
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第一章
绪论
1.1 引言
在解决不连续力学问题的时候，数值方法，特别是有限元法（FEM） ，一直 是其中的主要途径。和其他数值方法相比，有限元法具有一些无法比拟的优点， 因此在断裂力学问题中被广泛的采用。虽然如此，但有限元法仍然具有一些未能 解决的缺陷。常规有限元法（CFEM）在处理类似裂纹这样的强不连续问题时， 须将裂纹面设置为单元的边界，裂尖设为一个单元结点；由于裂尖处的应力奇异 性，还必须在裂尖处加密网格，计算量十分巨大。为了解决这些问题，一些新方 法被不断的提出来。1994 年由美国西北大学 Belytschko 等提出了无网格元法[1]， 很好的解决了裂纹尖端需要高密度划分单元的缺陷，然而，无网格元法由于使用 了背景网格或没有有限元网格，在模拟边界时遇到了巨大的困难；而且，无网格 元法由于在全域上使用了高阶积分，因而求解量十分巨大，往往几十倍于有限元 法。这就大大的降低了无网格元在工程中的价值。 1999 年，N.Moes, J.Dolbow 等人[2,3]首先提出了不用重新划分网格就可以计 算不连续场的有限元方法，到 2000 年，扩展有限元（the extended finite element method）这一术语被正式使用。扩展有限元的特点有如下几个：1）划分单元时 不考虑任何结构内部的物理或几何细节（比如双材料这样的材料特性变化，和裂 纹，空洞这样的几何不连续等） ，只需按照一般方法生成单元；2）采用其他方法 确定裂纹的实际位置，模拟裂纹的生长；3）扩展有限元法借助对所研究问题的 现有认识，改进影响域内单元的形函数，以反映裂纹的存在和生长。 在解决裂纹问题时，和常规有限元法相比，扩展有限元法的优势很明显。 XFEM 所使用的网格与结构内部的几何界面或物理界面无关， 从而克服了在裂纹 尖端等高应力和变形集中区进行高密度网格划分所产生的困难， 这也使得在模拟 裂纹生长时也无需对网格进行重新剖分； 和无网格元法相比， XFEM 由于保留了 CFEM 的所有优点，其单元刚度矩阵具有和 CFEM 一样的对称、带状和稀疏性，
关键词：扩展有限元法 裂纹 单位分解法 用户子程序
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Research of the Extended Finite Element Method ABSTRACT
The extended finite element method (XFEM) is an effective method for discontinuous problems such as crack in mechanics. The XFEM, which developed quickly in recently years, retains all advantages of the common finite element method (CFEM), and overcomes difficulties in meshing and remeshing within crack tip region that contains the stress concentration. Theory of XFEM is approached in this paper, and an ABAQUS user define subroutine is coded to connect linear XFEM with commercial software ABAQUS. Firstly, theory about partition of unity (PUM) and level set method(LSM) is presented, theory of XFEM, which is based on PUM and LSM, is approached latter
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这对保证了其计算量不会象无网格元般巨大。 短短几年间， XFEM 得到了快速发 展和应用。随后，众多学者将这种方法应用到裂纹扩展研究中去. 1.1.1 线弹性静态问题 Karihaloo 和 Xiao[4]对 XFEM 在静态裂纹问题中的应用进行了陈述，并与之 前提出的广义有限元法（GFEM）进行了比较。GFEM 与 XFEM 在实质上都是有 限元理论的推广，它们基于 CFEM，而能以高精度求解 CFEM 需要高密度划分 求解的复杂问题， GFEM 使用解析解或已知问题的数值解改进有限元域， 可以使 用较粗糙的网格而得到足够精确的数值解；XFEM 则致力于单元逼近函数的改 进，以模拟裂纹等不连续内边界。 Nagashima[6]等应 Lee 等[5]使用奇异界面处的渐进函数来改进位移逼近函数。 用 XFEM 研究了双材料界面裂纹问题，并重述多种通过能量释放率来计算的应 力强度因子的方法。Sukumar 等[7]使用二维界面裂尖位移渐进场改进裂尖结点， 并使用域积分法计算 I，II 型混合模式的双材料界面裂纹的应力强度因子（SIF） ， 其中裂尖结点的改进函数只取第一项。 Liu 等[8]对裂尖结点的改进函数进行了调整，不仅使用裂尖位移渐进场的第 一项，还使用了更高阶的后几项。除此之外，他们还证明了改进的位移近似函数 与实际的裂尖渐进场是等价的。Bellec 和 Dolbow[9]使用“斜坡函数”修正了改 进逼近函数的策略， 并使用域积分精确计算 SIF。 Ventura 等[10]使用已知断层问题的封闭形式的解对有限元空间的局部改进， 准确地建立了断层问题的位移和应力场。Iarve[11]使用高阶 B 样条插值函数代替 Heaviside 函数，从而可以直接进行单元积分。Stazi 等[12]研究了在线弹性断裂力 学中使用改进的二次有限元插值函数， 裂纹使用二次有限元离散的水平集函数表 示。Chessa 等[13]的研究表明，在改进单元和未改进单元同时存在的混合区域， 合适单元构建方法对于单位分解的性能是相当重要的。在此基础上，他们提出一 个能达到理想收敛速率的增强应变表达式。 Hansbo[14]建立了固体力学的强不连续和弱不连续模型，在这个模型中，被 不连续界面穿过的单元将被视为两个独立的单元；在弱不连续情况下，这两个单 元连接处的位移有一定的连续程度， 这个程度由界面情况和单元划分情况共同决
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定。这种处理方法很普遍，但很难处理裂尖停留在单元内部的情况，而且决定单 元交界处连续程度的罚函数被证明是不稳定的[15]。 Xiao 和 Karihaloo[15]研究了 XFEM 单元刚度矩阵的数值积分和 SAR 方法 （statically admissible stress recovery） 。 SAR 使用满足平衡方程和局部力边界的基 函数和移动最小二乘插值来处理 XFEM 所计算出的高斯积分点上的应力，并考 察了影响了 XFEM 和 SAR 计算精度的几个参数。 Wagner 和 Liu[16]使用一个交互项来区分改进函数的等级。计算误差和刚度 矩阵的条件数都可以通过这个交互项来控制。 Belytschko 等[17]将 XFEM 应用于拓扑优化中，把平衡方程弱形式表示成隐 函数的阶跃函数。这个阶跃函数被调整成能用于计算敏感度数。
in this paper. Then the user subroutine UEL is introduced briefly, and implement of XFEM base on ABAQUS platform is given. At last comparison among XFEM, CFEM , and theoretical solution is presented. It is found that XFEM has higher precision with less mesh than CFEM.
Key Word： Extended finite element method (XFEM), crack, partition of unity
method, user define subroutine
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上海交通大学 学位论文原创性声明
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得 的成果。 除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
1.1.2 Cohesive 裂纹 对于一个静态 cohesive 裂纹，Zi 和 Belytschko[18]提出使用符号函数(sign function)来改进所有三结点和六结点的包含裂尖的三角形单元，其中，为了保证 cohesive 裂纹的光滑闭合，强制令裂尖的应力投影与材料强度相等。 由于不需要每个有限元划分都是均匀的，Alfaiate 等[19]引入位移跳跃来描述 半脆性材料中的裂纹。对于半脆性材料的 cohesive 裂纹扩展问题，Mariani 和 Perego[20]在 XFEM 中引入高阶位移不连续性，研究了准脆性材料中准静态粘着 裂纹的传播， 其有效性通过 I 型和混合型数值试验给出了评定。 Patzak 和 Jirasek[21] 提出一种新的技术，用于计算半脆性材料狭窄损伤区域的局部应变，其中软化所 引起的局部化将由一个非局部损伤模型来描述， XFEM 使用与精确局部模式相 近的规则 Heaviside 函数来改进，使得位移逼近函数有更好的适应性。 Simone 等[22]提出一个用来计算描述含有不连续缺陷的应变软化连续体的计 算框架，并在连续体的本构方程中引入梯度项。在缺陷周围的区域使用基于 FE 形函数的单位分解的不连续插值函数来改进， 内部不连续面的边界条件也不使用 有限元划分引入，这就避免了规则化连续体模型的不真实损伤扩展。这种联合模 型允许分析整个失效过程，从细观裂纹的扩散到宏观裂纹的局部出现都能够分 析。De Borst 等[23]证明在混凝土断裂中所使用的裂纹模型，也可以通过合适的