自动控制原理第七章z变换
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自动控制原理课件第七章2
第三节 Z变换理论
例 求F(z)反变换f*(t) 。 z
F (z)= z–1
解： 用F(z)的分子除以分母，得
F (z)=
z z–1
=1+z–1+z–2+z–3+
···
f *(t)=δ(t)+δ(t –T)+δ(t –2T)+ ···
第三节 Z变换理论
例 求F(z)反变换f*(t) 。
解：
F
(z)=
3．留数计算法
已知函数F (z)及其全部极点pi ,可 由留数计算公式求z反变换:
n
f (kT)=∑
i=1
1 (r–1)!
d ri dzri
-1 -1
[F(z)zk-1(z-pi)ri]
z=pi
式中 ： ri 为z=pi 的重极点数
第三节 Z变换理论
例 求F(s)的z变换F(z)。
F (s)=(z-0.5)z(z-1)2
=
1 1 – z-1
=
z z–1
|z|>1
第三节 Z变换理论
（2）指数函数
8 8
f (t) = e –at
f (kT)= e –akT
+
F (z)= Σ f (kT) z-k
k=0
= 1+
e–aT
z-1
+
e–2aT
z-2
+
e–3aTz-3
+
···
=
1
–
1 e–aT
z-1
=
z z – e–aT
| ze at | > 1
= f (0)z0 + f (T)z-1 + f (2T)z-2 + f (3T)z-3 + ··· 利用级数求和法可求得常用函数
自动控制原理第7章离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的行为，通过求解差分方程可 以预测系统未来的输出。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
自动控制原理
(1) 部分分式法
n
E(z) / z
Ai
n
E(z)
Ai z
i1 z zi
i1 z zi
ei
(nT
)
Z
1
Ai z
z zi
,
i 1, 2,L
,n
e*
(t)
n0
n i 1
ei
(nT
)
(t
nT
)
22
例：设
E(z)
(z
(1 eaT )z 1)(z eaT )
求z反变换。
解： E(z)
/
z
(z
(1 eaT ) 1)(z eaT )
1 z 1
z
1 eaT
T
e(t) 1(t) eat
e(nT ) 1 eanT
e(t) 1 eanT t nT n0
23
(2) 幂级数法（长除法、综合除法）
E(z) b0 b1z1 b2 z2 L bm zm , m n 1 a0 z1 a2 z2 L an zn
按一般除法，将E(z)展开成按Z-1的升幂 排列的级数展开式为：
E(z) c0 c1z1 c2 z2 L cn zn L cn zn
n0
e*(t) cn (t nT )
n0
24
实际应用中，幂级数法常常只算有限的 几项就够了，因此用这种方法求e*(t)是很简 便的，但是要从一组e(nT)值中求出通项表 达式，则比较困难。
2. z变换方法
(1) 级数求和法 适用于给定e(t)或e*(t)及T的情况。 由Z变换定义知：
E(z) e(nT)zn e(0) e(T)z1 e(2T)z2 L e(nT)zn L
自动控制_07bZ 变换性质
化简得：
( z 2 3z 2)C ( z ) z z z z C ( z) 2 z 3z 2 z 1 z 2
查表得 c(k ) (1) (2)
k
n 0
k
* c（ t） [( 1) n (2) n ]（t T）
（t T） 2（t 2T） 5（t 3T） 10（t 4T）
1）脉冲传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输 出信号z变换与离散输入信号z变换之比，称为该系 统的脉冲传递函数（或z传递函数）。
C（z） G（z） R（z）
应该指出，多数实际采样系统的输出信号是连续信 号，如图7-23所示，在这种情况下，可以在输出端 虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同 的采样周期T同步工作。这样就可以沿用脉冲传递 函数的概念。
差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就
不存在，此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲 传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函数 C(z)。 对于采样开关在闭环系统中具有各种配置的闭
环离散系统典型结构图，及其输出采样信号Z变换
函数C(z)可参见表7-3。
附例3 设闭环离散系统结构如下图所示，试证其闭 环脉冲传函为
3）留数计算法
§7-4 离散系统的数学模型
线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传
递函数和离散状态空间表达式三种。
1.离散系统的数学定义
将输入序列r(n)，n=±1，±2，…变换为输出 序列c(n)的一种变换关系，称为离散系统。 记为c(n)=F[r(n)]其中，r(n) 和c(n)可以理解为 t=nT时，系统的输入序列r(nT)和输出序列c(nT）， T为采样周期。
( z 2 3z 2)C ( z ) z z z z C ( z) 2 z 3z 2 z 1 z 2
查表得 c(k ) (1) (2)
k
n 0
k
* c（ t） [( 1) n (2) n ]（t T）
（t T） 2（t 2T） 5（t 3T） 10（t 4T）
1）脉冲传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输 出信号z变换与离散输入信号z变换之比，称为该系 统的脉冲传递函数（或z传递函数）。
C（z） G（z） R（z）
应该指出，多数实际采样系统的输出信号是连续信 号，如图7-23所示，在这种情况下，可以在输出端 虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同 的采样周期T同步工作。这样就可以沿用脉冲传递 函数的概念。
差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就
不存在，此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲 传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函数 C(z)。 对于采样开关在闭环系统中具有各种配置的闭
环离散系统典型结构图，及其输出采样信号Z变换
函数C(z)可参见表7-3。
附例3 设闭环离散系统结构如下图所示，试证其闭 环脉冲传函为
3）留数计算法
§7-4 离散系统的数学模型
线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传
递函数和离散状态空间表达式三种。
1.离散系统的数学定义
将输入序列r(n)，n=±1，±2，…变换为输出 序列c(n)的一种变换关系，称为离散系统。 记为c(n)=F[r(n)]其中，r(n) 和c(n)可以理解为 t=nT时，系统的输入序列r(nT)和输出序列c(nT）， T为采样周期。
自动控制原理胡寿松第七章解析
1、线性定理 齐次性 Z [ae (t)] aE(z ) Z[e1 (t) e 2 (t)] E1 (z ) E 2 (z ) 叠加性 2、实数位移定理
Z[e(t- kT )] z -k E(z)
Z [e(t kT)] z k [E(z)- e(nT)z -n ]
n 0
k -1
z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，
因此又称为采样拉氏变换
z变换只适用于离散函数，或者说只能表征
连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其 在采样时刻之间的特性。
24
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
25
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
二、Z变换的性质
0T
*
采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。
理想采样开关S： T (t ) (t nT )
n 0
11
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
理想单位脉冲序列 采样过程可以看成是一个幅值调制过程。
12
成都信息工程学院控制工程系
第七章 线性离散系统的分析与校正
1 jns t T ( t ) e T n -
1 jns t * 代入采样信号表达式：e ( t ) e( t ) T (t ) e( t )e T n
对采样信号表达式取拉氏变换： 1 E* (s) E(s jns ) T n 采样信号的付氏变换： 1 E* ( j ) E[j( ns )] T n
T (t)的付氏级数形式：
T (t)
n -
(t - nT) C e
《自动控制原理》z变换与z反变换
7-3 z 变换与z 反变换引言：● 连续系统的分析：拉氏变换 传递函数 ● 用拉氏变换的优点： ……● 离散系统：能否拉氏变换？有什么问题？如何改进？ ● 新理论/方法 如何产生？一、离散信号的拉氏变换及其问题设连续信号)(t e 是可拉氏变换的，则拉氏变换定义为⎰∞-=0)()(dt e t e s E st由于0<t 时，有0)(=t e ，故上式亦可写为⎰∞∞--=dt e t e s E st)()(对于采样信号)(*t e ，其表达式为∑∞=-=0*)()()(n nT t nT e t e δ故采样信号)(*t e 的拉氏变换])([)()]()([)()(0**⎰∑⎰∑⎰∞∞--∞=∞∞--∞=∞∞---=-==dt e nT t nT e dt e nT t nT e dt e t e s E stn stn stδδ（7-20）由广义脉冲函数的筛选性质⎰∞∞-=-)()()(nT f dt t f nT t δ故有snTst edt e nT t -∞∞--⎰=-)(δ于是，采样信号)(*t e 的拉氏变换可以写为nsTn enT e s E -∞=∑=0*)()( (7-21)和连续信号比较： ⎰∞-=0)()(dt e t e s E st)(1)(t t e =时: s dt e s E st1*1)(0==⎰∞-例7-3 设)(1)(t t e =，试求)(*t e 的拉氏变换。
解 由式(7-26)，有...1)()(20*+++==--∞=-∑TsTsn nsTeeenT e s E一个无穷等比级数，公比为Tse-，求和后得闭合形式1,111)(*<-=-=TsTsTsTs e e e e s E 比较： s dt e s E st1*1)(0==⎰∞-显然，)(*s E 是Tse 的有理函数。
但是s 的超越函数例7-4[没有] 设,0,)(≥=-t e t e at为常数，试求t e *的拉氏变换。
自动控制原理 (13)
k 0
z0 z1 z2
1
z
1
z 1
z
(| 1
Z
| 1)
例 求 e at的F(z)。
解：F z eakT zk e0 z0 eaT z1 e2aT z2 k 0
1
1 eaT
z
1
z z eaT
(| eaT Z
| 1)
(2) 部分分式法
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F(z)
zF1(z)
z
z
A1 z1
z
A2 z2
z
Ai zi
式中系数Ai 用下式求出 Ai [F1(z)(z zi )]zzi
(3) 留数法
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实际应用中，F(z)可能是超越函数，无法应用部分分式法 或是幂级数法求反变换。
n
f (kT ) i1 res F (z)zk1 zzi
zi 表示 F (z)的第个极点。
单极点 重极点
lim res[F (z)zk1]zzi
[(z zi )F (z)zk1]
z zi
lim res[F (z)zk1]zz i
1 (r 1)!
zzi
d r1[(z zi )r F (z)zk1] dz r 1
e(t)
(t)
1(t)
T (t)
t
aT
e aT sin t cos t
E(z)
1 z (z 1) z (z 1) Tz (z 1)2
z (z a)
z (z eaT )
z sinT (z2 2cosT 1) z(z cosT ) (z2 2cosT 1)
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
自动控制原理第7章 离散控制系统
b(t )
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
2019/2/19
7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一 些优点： 能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执 行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高 系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并 且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
2019/2/19
9
7.2.1 采样过程及其数学描述
将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T。 采样频率：f s 1/ T 采样角频率： s 2 /T 采样可分为：
等速采样:采样开关以相同的采样周期T动作，又 称为周期采样 多速采样:系统中有n个采样开关分别按不同周期 动作 随机采样:采样开关动作是随机的 本章仅限于讨论等速同步采样过程。
j t xj ( ) xt () e d t
1 X( s ) Xs ( j k s) T k
*
2019/2/19
(7-7)
15
X ( j )
max
2max
(a)
o
max
图7.7 连续信号及离散信号的频谱
式中ω s=2π/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变 换。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=jω ， 求得x*(t)的傅氏变换为
离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图 7.4是数字控制系统的结构图。图中用于控制的计算 机D工作在离散状态，被控对象G(s)工作在模拟状态。
自动控制原理(7-2)7.3 z 变换理论
பைடு நூலகம்明：
Z [a f (t ) a f (t )] [a1 f1 (kT ) a2 f 2 (kT )]z
刻的脉冲幅度均为零，所以有
F ( z) 1 z 0 1
例7-5 求单位阶跃函数1(t)的z变换。 解： 设 f (t ) 1(t ) ，则
F ( z) 1 z z
写成如下闭合形式：
1
2
z
k
该级数的收敛域为|z|>1，在该收敛域内，上式可以
1 z F ( z) , 1 1 z z 1
(7-17)
引入新的变量z=esT 则采样信号 f *(t) 的 z 变换定义为：
F ( z ) Z [ f * (t )] Z [ f (t )] f ( nT ) z n
n0
(7-18)
注意：
– z 变换实质为采样函数拉氏变换，把超越函数转化 为z的幂级数或z的有理分式。 – Z[f(t)]是为了书写方便，并不意味是连续函数的z变 换。z变换只适用于离散函数。
注意：这种级数展开式是开放形式的，有无穷多项。 但一些常用的 z 变换的级数展开式可以用闭合型函数
表示。
例7-4 求单位脉冲信号的z变换。 解： 设 f (t ) (t )，则 f (t ) f (t ) (t kT ) (t ) k 0 由于 f (t ) 在时刻 t 0 的脉冲幅度为 1 ，其余时
( z 1 )
例7-6 求理想脉冲序列信号δT (t)的z变换。
解 因为
f (t ) T (t ) (t nT )
n0
f (t ) T (t ) (t nT )
自动控制原理7.3-7.4 (1)
n
例题：已知 E (s)
解：
a s( s a)
，求相应的E(z)
a 1 1 E (s) s( s a) s s a
z z 1 1 Z ,Z z e aT s z 1 s a
z z E( z) aT z 1 z e
n 0
解：
e(nT ) a n E ( z ) e(nT ) z n a n z n 1 az 1 (az 1 )2 (az 1 ) n
n 0 n 0
1 z 若 az 1, 则E ( z ) -1 1 az za
z 1 Z s z 1
例题： 试求函数e-at的Z变换 解：
E( z) e(nT ) n z
n 0
e(nT ) e anT E ( z ) e(nT ) z n 1 e aT z 1 (e aT z 1 ) 2 (e aT z 1 ) n
解：
z z E( z) 2 ( z 1)( z 0.5) z 1.5 z 0.5 1 1 2 1 1.5 z 1.75 z ... 1 2 1 1.5 z 0.5 z
e* (t ) e( nT ) (t nT )
n0
2
2
2、差分方程：由变量及其各阶差分构成的等式
n 0
若e
aT -1
z z 1, 则E ( z ) aT -1 1 e z z e aT
1
1 L (e ) sa
at
z 1 Z z e aT s a
例题： 试求函数 at/T 的Z变换
例题：已知 E (s)
解：
a s( s a)
，求相应的E(z)
a 1 1 E (s) s( s a) s s a
z z 1 1 Z ,Z z e aT s z 1 s a
z z E( z) aT z 1 z e
n 0
解：
e(nT ) a n E ( z ) e(nT ) z n a n z n 1 az 1 (az 1 )2 (az 1 ) n
n 0 n 0
1 z 若 az 1, 则E ( z ) -1 1 az za
z 1 Z s z 1
例题： 试求函数e-at的Z变换 解：
E( z) e(nT ) n z
n 0
e(nT ) e anT E ( z ) e(nT ) z n 1 e aT z 1 (e aT z 1 ) 2 (e aT z 1 ) n
解：
z z E( z) 2 ( z 1)( z 0.5) z 1.5 z 0.5 1 1 2 1 1.5 z 1.75 z ... 1 2 1 1.5 z 0.5 z
e* (t ) e( nT ) (t nT )
n0
2
2
2、差分方程：由变量及其各阶差分构成的等式
n 0
若e
aT -1
z z 1, 则E ( z ) aT -1 1 e z z e aT
1
1 L (e ) sa
at
z 1 Z z e aT s a
例题： 试求函数 at/T 的Z变换
自动控制系统—— 第7章-2 Z变换
Z[ea(tT ) ] z1Z[eat ]
Z[eat ]
z z eaT
Z[ea(tT ) ]
z 1
z
z eaT
1 z eaT
17
3.复数位移定理
设 Z[ f (t)] F (z) ，则有
Z[eat f (t)] F(zeaT )
【例7.2.6】求 teaT 的Z变换
解 :已知
Z[t]
所以 E(z) z z 1
10
单位阶跃
e(t) 1(t) 理想脉冲序列
T (t) (t nT ) n0
Z[1(t)] z z 1
Z[T
(t)]
z
z 1
为何相同？
1
0.8
在每个采样点
0.6
处的值相同
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
11
2. 部分分式法 设 E(s) N(s)
M (s)
式中，M(s)、N(s)是s的多项式
设E(s)没有重极点 ，将E(s)展开为
n
E(s)
Ai
i1 s si
n
e(t) L1[E(s)] Aiesit i 1
E(z)
Z[e(t)]
n
Z[
i0
Aiesit ]
n i1
AiZ[esit ]
n i1
Ai z z esiT
12
【例7.2.4】 求下面传递函数的Z变换 E(s) a s(s a)
1 s 1 sa
1
z z 1
z z eaT
14
t teat
(t nT )
sin t
Z[eat ]
z z eaT
Z[ea(tT ) ]
z 1
z
z eaT
1 z eaT
17
3.复数位移定理
设 Z[ f (t)] F (z) ，则有
Z[eat f (t)] F(zeaT )
【例7.2.6】求 teaT 的Z变换
解 :已知
Z[t]
所以 E(z) z z 1
10
单位阶跃
e(t) 1(t) 理想脉冲序列
T (t) (t nT ) n0
Z[1(t)] z z 1
Z[T
(t)]
z
z 1
为何相同？
1
0.8
在每个采样点
0.6
处的值相同
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
11
2. 部分分式法 设 E(s) N(s)
M (s)
式中，M(s)、N(s)是s的多项式
设E(s)没有重极点 ，将E(s)展开为
n
E(s)
Ai
i1 s si
n
e(t) L1[E(s)] Aiesit i 1
E(z)
Z[e(t)]
n
Z[
i0
Aiesit ]
n i1
AiZ[esit ]
n i1
Ai z z esiT
12
【例7.2.4】 求下面传递函数的Z变换 E(s) a s(s a)
1 s 1 sa
1
z z 1
z z eaT
14
t teat
(t nT )
sin t
自动控制原理(7-2)7.3 z 变换理论
2．实数位移定理
若f *(t)的z变换为F (z)，t<0时，f(t)=0,则 滞后定理（负偏移定理）
Z[ f (t nT )] z n F ( z)
(7-20)
超前定理（正偏移定理）
Z [ f (t nT ) z n [ F ( z ) f (kT ) z k ]
利用指数函数的z变换求出该函数的z变换。
例7-9 解：
设 F (s)
1 s ( s 1)
，求 f (t ) 的z变换。
1 1 F (s) s s 1
上式两边求拉氏反变换，得
f (t ) 1 e t , (t 0)
z z z (1 e T ) F ( z) T z 1 z e ( z 1)( z e T )
n 1 n k z F ( z ) f (kT ) z k 0
3.复位移定理
若f *(t)的z变换为F (z)，则
Z[ f (t )e at ] F ( z e aT )
(7-22)
证明：由z变换定义
Z [ f (t ) e
at
] f ( kT ) e
1.部分分式法（查表法）
若象函数F(z)是复变量z的有理分式，且所有的极 点zi (i=1,2, …,m)互异，则F(z) /z可展成如下形式：
F ( z ) n Ai F ( z) , 其中Ai为 在zi处的留数 z z i 1 z zi
上式两边同乘z得 再取z反变换得
f ( nT ) Z [
n0
当 z 时，上式右边除第一项外，其余各项均趋 于0。
5.终值定理（用于计算系统稳态误差）
自控 第7章-2 Z变换
st
dt
st
[ e( nT ) (t nT ) ]e
n 0 st
dt
e( nT ) (t nT )e
0
dt
3
由脉冲函数的筛选性质
1 0.8 0.6
(t nT ) f (t )dt f (nT )
0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5
级数必须收敛，或Z函数必须稳定才可以应 用终值定理（稳定性在后面介绍）
19
5.卷积定理 两个离散信号的卷积定义为
g ( nT ) x( nT ) * y ( nT )
x(kT ) y[( n k )T ]
k 0
那么
G( z ) X ( z ) Y ( z )
20
7.2.4 Z反变换 若已知序列 e(nT ) 的Z变换为 E (z ) 则求 e(nT ) 的Z反变换为
lim e(kT ) lim ( z 1) E ( z )
k z 1
或
lim e(kT ) lim (1 z ) E ( z )
k z 1
1
【例7.2.7】已知
E( z) 0.792 z
2 2
( z 1)( z 0.416 z 0.208)
确定 e* (t ) 的终值
cn 是采样脉冲序列 e (t ) 的脉冲强度 e(nT )
*
24
E ( z ) c0 c1 z
1
c2 z
2
cn z
n
cn z
n 0
n
那么，可以直接写出
z变换自动控制原理
z变换自动控制原理第一部分：什么是z变换z变换是一种离散域的数学工具，用于将离散时间域信号转换为复频域。
它是傅里叶变换在离散信号处理中的扩展。
z变换通过将离散时间信号表示为复变量z的函数来表示，并通过对z变量进行变换来分析和处理信号。
第二部分：z变换的基本原理z变换的基本原理是将离散时间信号表示为z的多项式形式，通过对多项式进行变换来得到信号的频域表示。
z变换将离散时间信号转换为复平面上的函数，其中复平面上的点对应于信号的频谱。
通过对z变换进行逆变换，可以将信号从频域转换回时间域。
第三部分：z变换在自动控制中的应用在自动控制中，z变换广泛应用于系统建模和分析。
通过将差分方程转化为z域的代数方程，可以方便地进行系统性能分析和设计。
以下是一些z变换在自动控制中的常见应用：1. 系统传递函数表示：z变换可以将差分方程转换为系统的传递函数表示，从而方便地分析系统的频域特性和稳定性。
2. 系统响应分析：通过对z变换后的系统传递函数进行频域分析，可以获得系统的幅频特性和相频特性，进而评估系统的稳定性和性能。
3. 控制器设计：z变换可以用于控制器的设计和分析。
通过将控制器的差分方程转化为z域的传递函数，可以方便地进行控制器的频域设计和性能评估。
4. 离散控制系统建模：z变换可以将连续时间域的控制系统建模转换为离散时间域，从而方便进行离散控制系统的分析和设计。
5. 信号处理：z变换在离散信号处理中也有广泛应用。
通过z变换，可以对离散信号进行滤波、频谱分析等操作。
总结：本文介绍了z变换的基本原理和在自动控制中的应用。
z变换是一种离散域的数学工具，可以将离散时间信号转换为复频域，方便进行系统建模和分析。
在自动控制中，z变换广泛应用于系统传递函数表示、系统响应分析、控制器设计、离散控制系统建模和信号处理等方面。
通过对z变换的理解和应用，可以更好地理解和设计自动控制系统。
自动控制原理第七章z变换
F z f kT zk k 0
例 ：求 teat 的z变换。
Z
t
Tz 1 (1 z 1)2
Z teat
Te aT z 1 (1 eaT z 1)2
7.1.4、 z变换性质
F z f kT zk k 0
4.初值定理
Z f (t) F(z)
lim F(z)存在
z
5.终值定理
f (0) lim F(z) z
si
7.1.3、 z变换-留数法
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 F(s) a s(s a)
解：
F(z)
n i 1
Re
sF (s) 1
1 e sT
z 1
ssi
2 i 1
Re
s
s(
a s
a)
1
1 e sT
z
1
s0,
a
s
a s(s
a)
1
1 e sT
1
)
( 1
1 z
1
1
1 eT
z
1
)
lim
z1
1
1
1
z 1 eT z 1
)
1
小结-z变换方法与性质
z变换的部分分式法 z变换的留数法
F (z)
n i 1
Ai z z esiT
Z变换线性性质
X (z) F(z) G(z)
z变换实数、复数位移定理
Z eat f (t) F (zeaT )
n
f (t) Aiesit i 1
7.1.2、 z变换-部分分式法
n
f (t) Aiesit i 1
自动控制原理--Z变换与反变换
k 1 k k 1 前向和后向差分示意图
例17 一阶采样系统的差分方程为
yk 1 byk r t
其中b为常数, r k ak , y0 0,求响应y k 。
解:对方程两边进行在z变换，并由实移定理
zY z y0 bY z Rz
因为 r k ak，R z z ，y 0 0
za
Z t eat
Tz eaT z eaT 1 2
例14 求 f t k cost 的变换。
解：已知函数 cost的变换为
Zcost zz cosT
z 2 2z cosT 1
根据z域尺度定理可得
Z k cost
z
z
cosT
z 2 2 z cosT 1
2 2
3、Z反变换
Z变换与反变换
• 线性连续控制系统可用线性微分方程来 描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性 能及稳态性能。
• 对于线性采样控制系统则可用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性 能及稳态性能。
• Z变换是研究采样系统主要的数学工具， 由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号 的拉普拉斯变换。
• 连续信号f（t）的拉普拉斯变换为 • 连续信号f（t）经过采样得到采样信号f*（t）为
对上列级数求和，写成闭合形式，得
E(z)
1 1 z1
z
z 1
例6 试求单位理想脉冲序列的 z变换。
解：由于T为采样周期，所以
e(t) T (t) (t kT ) k 0
显然只有当 t kT 时，所以其z变换式为
E z Z T 1kT zk 1 z1 z2
k 0
z z 1
线性定理表明,时域函数线性组合的z变换等于 各时域函数z变换的线性组合。
例17 一阶采样系统的差分方程为
yk 1 byk r t
其中b为常数, r k ak , y0 0,求响应y k 。
解:对方程两边进行在z变换，并由实移定理
zY z y0 bY z Rz
因为 r k ak，R z z ，y 0 0
za
Z t eat
Tz eaT z eaT 1 2
例14 求 f t k cost 的变换。
解：已知函数 cost的变换为
Zcost zz cosT
z 2 2z cosT 1
根据z域尺度定理可得
Z k cost
z
z
cosT
z 2 2 z cosT 1
2 2
3、Z反变换
Z变换与反变换
• 线性连续控制系统可用线性微分方程来 描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性 能及稳态性能。
• 对于线性采样控制系统则可用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性 能及稳态性能。
• Z变换是研究采样系统主要的数学工具， 由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号 的拉普拉斯变换。
• 连续信号f（t）的拉普拉斯变换为 • 连续信号f（t）经过采样得到采样信号f*（t）为
对上列级数求和，写成闭合形式，得
E(z)
1 1 z1
z
z 1
例6 试求单位理想脉冲序列的 z变换。
解：由于T为采样周期，所以
e(t) T (t) (t kT ) k 0
显然只有当 t kT 时，所以其z变换式为
E z Z T 1kT zk 1 z1 z2
k 0
z z 1
线性定理表明,时域函数线性组合的z变换等于 各时域函数z变换的线性组合。
自动控制原理--z变换理论部分例题讲解
jn
j0
znE(z) 右
6.3 z变换理论
2. 实位移定理
② 超前定理
Ze(t
nT
)
zn
E(z)
n1
e(kT
)
z
k
k0
证：左 e(kT nT ) zk zn e(kT nT ) z(kn)
k0
k0
jkn
zn
e( jT ) z j
z
n
e( jT ) z j
n1
e(
E(z) 8 z 1 z 7 (z 0.8) 7 (z 0.1)
t
t
e(t ) (8 0.8T 0.1T ) / 7 e(nT ) (8 0.8n 0.1n ) / 7
e*(t ) (8 0.8n 0.1n ) / 7 (t n E(z)
e(0) e(1) z1 e(2) z2 e(3) z3
lim E(z) e(0)
z
例8
0.792 z2 E(z) (z 1)[z2 0.416z 0.208]
e(0) lim E(z) 0 z
6.3 z变换理论
5. 终值定理
lime(nT) lim (z 1) E(z)
e j nT e j nT
zn
1 (e jT z 1 )n (e jT z 1 )n 2 j n0
1 2j
1 1 e jT z 1
1
e
1
j T
z
1
1 2j
z z e jT
z z e jT
1
z(e jT e jT )
z sinT
2 j z 2 (e jT e jT )z 1 z2 2 cos T z 1
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a)
1
1 e sT
z
1
sa
1 1 z 1
1
1 e aT
z
1
(1 eaT )z 1 (1 z 1)(1 eaT z 1)
栗忍 83#D103
7.1.3、 z变换-留数法
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
a F(s) s2 a2
解： F(z)
n i1
Re
s
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 F(s) a s(s a)
解：
F(z)
n i 1
Re
sF (s) 1
1 e sT
z 1
ssi
2 i 1
Re
s
s(
a s
a)
1
1 e sT
z
1
s0,
a
s
a s(s
a)
1
1 e sT
z
1
s0
(s
a)
a s(s
➢首先为了进行拉氏变换，将F(s)写成部分分式之和的形式，即：
n
F(s)
Ai
i1 s si
式中，n为F(s)的极点数目；Ai为常数，Si为F(s)的极点。 ➢然后，由拉氏反变换得出f(t)为
n
f (t) Aiesit i 1
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
f (t) Aiesit i 1
z eaT
栗忍 83#D103
7.1 z变换与反变换
1. z变换部分分式法 2. z变换留数法 3. z变换性质 4. z反变换方法 （部分分式、幂级数法、留数法）
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7.1.2、 z变换-部分分式法
F z f kT zk k 0
设连续信号f(t)没有直接给出，但给出了f(t)的拉氏变换式F(s)， 求它所对应的z变换式F(z)。
➢对上式中的每一项，都可以利用指数函数的z变换直接写 出它所对应的z变换式，这样就得到了F(z)如下：
指数函数z变换
F(z)
Z[e at ]
z z e aT
n
F(s)
Ai
i1 s si
F(z)
n i 1
Ai z z esiT
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
F(s)
1
2j
1
1 e jaT z 1
z 1 sin aT 1 2z 1 cos aT z 2 ei cos i sin
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
F(s)
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
1 F (s) s2 (s 1)
Re s•为极点 s si 处的留数。
F (z)
n i 1
Re
sF (s) 1
1 e sT
z 1
ssi
n1
i 1
Re
s
F
(
si
)
z
z esiT
n
i
n1
1
(
ri
1
d ri 1
1)! dsri 1
(s
si )ri
F (s)
z
z esT
s
si
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7.1.3、 z变换-留数法
课前复习-z变换的级数求和法
z变换的级数求和法
F z f kT zk k 0
F z f kT zk f 0 f T z1 f 2T z2 f 3T z3 L k 0
例 求指数函数f（t）的z变换
f(t )
e at
0
t 0 t 0
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课前复习-级数求和法
第七章
• 线性离散系统的分析与校正
课前复习- z变换的定义
在线性连续系统中，连续时间函数f(t)的拉氏变换为F(s);同样 在线性离散系统中，也可以对采样信号f*(t)作拉氏变换。
采样信号f*(t)
拉氏变换
L f * t F* s f kT ekTS k 0
z eTS
F z f kT zk k 0 栗忍 83#D103
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。 F(s) a s(s a)
解： F (s) a 1 1 s(s a) s s a
由
F(z)
n i 1
Ai z z esiT
可得
F(z) z z
z(1 e-aT )
z 1 z e-aT z2 (1 e-aT )z e-aT
(1 z1)2 1 eT z1
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7.1.3、 z变换-留数法
若已知连续函数f(t)的拉氏变换式F(s)及全部极点si，则 f(t)的z变换可用留数计算法求取，即：
F(z)
n i 1
Re
s
F
(
s)
1
1 e sT
z
1
s
si
n1
i 1
Re
sF
(si
)
z
z esiT
n
i
解：
F (s)
1 s2 (s 1)
A1 s2
A2 s
A3 s 1
A1 s2F (s) s0 1
A2
d ds
s 2 F (s)
s0
(s
1 1)2
s0
1
A3
(s
1)F(s) s1
1
F (s)
1 s2
1 s
1 s 1
T z 1
1
1
F(z)
(1
z 1)2
1
z 1
1 eT z 1
(T eT 1)z 1 (1 eT TeT )z2
F z f kT zk f 0 f T z1 f 2T z2 f 3T z3 L k 0
解： f (kT) eakT k 0,1,2,
F (z) Z[eat ] eakT zk 1 eaT z1 k 0
e2aT z 2 e3aT z 3
1
z
1 eaT z 1
F
(s)
1
1 esT
z
1
s
si
2 i 1
Re
s
s
2
a a2
1 1 esT z 1 s ja
(s
ja)
s2
a a2
1 1 esT z1 s ja
(s
ja)
s2
a a2
1 1 esT z1 s ja
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7.1.2、 z变换-部分分式法
n
F(s)
Ai
i1 s si
例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。
F (s)
s2
a
a2
解： F (s) a 1/ 2 j 1/ 2 j
s2 a2 s ja s ja
F(z)
1
2j
1
1 e jaT z 1
n1
1
(ri
1 1)!
d ri 1 dsri 1
(s
si )ri
F (s)
z
z esT
s
si
栗忍 83#D103
7.1.3、 z变换-留数法
式中 si (i 1,2，, , n1) 为F(s)的n1个单极点；
si (i n1 1, n为1 F2(s,)的,nn-n) 1个重极点；
ri 为重极点 si 的阶数；T为采样周期；