高中数学对数函数整理版

一、复习引入：

1、指对数互化关系：

1．对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数x

a y = )10(≠>a a 且的反函数

对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为,(+∞-∞

2．对数函数的图象

由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x

a

y =的图象关于直线x y =对称x

a y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质

01

1

A

1

1

3．对数函数的性质

由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表

a>1

0

图 象

1

1

1

1

性 质 定义域：（0，+∞） 值域：R

例1．求函数1

41

log 2

1--=

x x y 的定义域．

解：⎪⎩⎪⎨⎧>≥≠-01log 01421

x x x 即⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>≤≠02141x x x ∴函数的定义域为}.41210\{≠≤

点评：求函数的定义域，往往可转化为解不等式．

例2．比较下列各组数的大小，并说明理由．

（1）8.0log 7.0log 3

13

1与． （2）.3log log 88与π （3）.3log 4

1

log 8.06

.0与 解：（1）x y 31log ,131

0=<<

是减函数，.8.0log 7.0log 3

131>∴ （2）x y 8log ,81=∴< 是增函数，.3log log 88>∴π （3）.3log 4

1

log ,03log ,041log 8.06.08.06

.0>∴<> 例3．求函数)65(log 22+-=x x y 定义域、值域、单调区间．

解：定义域为.230652

<>⇒>+-x x x x 或

4

1

)25(6522--=+-=x x x u （x ＞3或x ＜2），由二次函数的图象可知（图象

略）

0＜u ＜+∞，故原函数的值域为（-∞，+∞）．

原函数的单调性与u 的单调性一致．∴原函数的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（－∞，2）．

例4．设函数.11lg 21)(x

x

x x f +-++=

,试判断函数f （x ）的中单调性，并给出证明；

解：（1）由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≠+>+-02011x x

x

解得函数f （x ）的定义域为（-1，1）．

设,1121<<<-x x 则)11lg 11(lg )21

21(

)()(1

1222121x x x x x x x f x f +--+-++-+=- =

)

1)(1()

1)(1(lg )2)(2(21212121x x x x x x x x +--++++-

又,0)

2)(2(,0,0)2)(2(212

12121<++-∴

<->++x x x x x x x x

又（1+,0)1)(1(,0)1)(2121>+->-x x x x

.0)

1)(1()

1)(1(lg 111)1)(1()1)(1(02121211221212121<+--+⇒<--+--+=+--+<

∴x x x x x x x x x x x x x x x x

,0)()(12<-∴x f x f 即).()(12x f x f <

故函数f （x ）在区间（-1，1）内是减函数．

例5．若函数)1(log )(22

1+-=ax x x f

（1）若函数的定义域为R ，求a 的取值范围． （2）若函数的值域为R ，求a 的取值范围．

（1）若函数在)31,(--∞上是增函数，求a 的取值范围．

解：（1）定义域为R ，是指不等式012

>+-ax x 的解集为R ，即042

<-=∆a ⇒

.22<<-a

（2）值域为R ，是指12

+-=ax x u 能取遍（0，+∞）中的所有的值．∴只需

042≥-=∆a 即2≥a 或.2-≤a

（3）1)(2

+-=ax x x u 在)31,(--∞上为减函数且大于0，由图象可知：

.2331)31(23

12

101)31()31(2

-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+---a a a 习题 ：

1、 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么

（ ）

A ．x =a +3b －c

B ．c

ab

x 53= C ．53c ab x = D ．x =a +b 3－c 3

2、 求函数f （x ）=)

32lg(42

2-+-x x x 的定义域. （定义域为})235151|{≥-<<----

21

)(+-

=x

a x f 要使,1)(1

<-x f 求x 的取值范围．

))6

1

,21((-

4、 求34log 5.0-=

x y 的定义域

5、 已知x 满足不等式2(log 2x ）2-7log 2x+3≤0,求函数f(x)=log 24

log 22x

x ⋅的最大值和最小值。

由

2

（

log 2x

）

2

-7log 2x+3

≤

0解得

2

1≤

log 2x

≤

3。∵

f(x)=log 2)1(log 4

log 222-=⋅x x

x (log 2x-2)=(log 2x-23)2-41,∴当log 2x=23时，f(x)取得最小值

-

4

1

；当log 2x=3时，f(x)取得最大值2。