第51课时 双曲线

课题：双曲线

教学目标：掌握双曲线的两种定义，标准方程，双曲线中的基本量及它们之间的基本关系教学重点：熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及应用.

（一）主要知识及主要方法：

1.与22221x y a b

-=共渐近线的双曲线方程22

a x －22y

b λ=（0λ≠）．

2.与22221x y a b -=有相同焦点的双曲线方程22x a k -－2

2

1y b k

=+（2k a <且2k b ≠-）

3.双曲线形状与e 的关系：b k a ====,e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越阔.

（二）典例分析：

问题1．根据下列条件，求双曲线方程：

()

1与双曲线22

1916

x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-；

()

2与双曲线22

1164

x y -=有公共焦点，且过点()

2；

()

3以椭圆22

1259

x y +=的长轴端点为焦点，且过点()

P ；

()4经过点15,34⎛⎫ ⎪⎝⎭

，且一条渐近线方程为430x y +=；

()

5(4,.

问题2．()1设P 是双曲线2

2

13

y x -=的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知()3,1A ，

①求PA PF +的最小值；②求1

2

PA PF +的最小值.

()2（06天津市质检）由双曲线22

194

x y -=上的一点P 与左、右两焦点1F 、2F 构成12PF F △，

求12PF F △的内切圆与边12F F 的切点坐标.

问题3．已知双曲线方程为22

221x y a b

-= （0a >，0b >）的左、右两焦点1F 、2F ，

P 为双曲线右支上的一点，1373PF =，213

3PF =, 12F PF ∠的平分线交x 轴于12,05Q ⎛⎫

⎪⎝⎭

，求双曲线方程.

问题4．(06湖北联考) 已知双曲线方程为22

221x y a b

-=（0a >，0b >），双曲线斜率大于零的渐近

线交双曲线的右准线于点P ，(),0F c 为右焦点，()1求证：直线PF 与渐近线l 垂直；()2若PF 的长是焦点F 到直线l 的距离，3PF =，且双曲线的离心率54

e =

， 求双曲线的方程；()3延长FP 交左准线于M ，交双曲线左支于N ，使M 为PN 的中点， 求双曲线的离心率.

问题5．已知直线l ：1y kx =+与双曲线2221x y -=与右支有两个交点A 、B ，

问是否存在常数k ，使得以AB 为直径的圆过双曲线的右焦点？

（三）课后作业：

1.（04北京春）双曲线22

149

x y -=的渐近线方程是

.A 32y x =± .B 23y x =± .C 94y x =± .D 4

9

y x =±

2.双曲线的渐近线方程为x y 2

1

±=，且焦距为10，则双曲线方程为

.A 152022=-y x .B 120522=-y x 或152022=-y x

.C 12052

2=-y x .

D 221205x y -= 3.双曲线142

2=+k

y x 的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是

.A (,0)-∞ .B (3,0)- .C (12,0)- .D (60,12)--

4.若方程22

131

x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的范围是

5.双曲线2

214

x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积是

.

A .

B .

C .

D 6.与圆22(3)1x y ++=及圆22(3)9x y -+=都外切的圆的圆心轨迹方程为

7.过点(0,3)作直线l ，如果它与双曲线13

42

2=-y x 有且只有一个公共点，则直线l 的条数是

8.过双曲线22

12

y x -=的右焦点2F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若2AB =，则这样的直线l 有

.A 1条 .B 2条 .C 3条 .D 不存在

9.双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是

.A 22121e e += .B 22

121e e -= .

C 1112

2

2

1

=-

e e .

D 1112

2

2

1

=+

e e

10.如果12,F F 分别是双曲线19

162

2=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，

且6AB =，则2ABF △的周长是

11.（06潍坊一模）双曲线22

1169x y -=的左支上的P 点到右焦点的距离为9，则点P 的坐标为

12.设1F 、2F 分别为双曲线22

145

x y -=的左、右焦点，l 为左准线，()00,P x y 为双曲线

左支上一点，P 点到l 的距离为d ，已知d ，1PF ，2PF 成等差数列，求0x 的值

13.设双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范

围.