向量 错解剖析得真知
(新)高中数学错解剖析得真知(四)
错解剖析得真知（三十一）第十章导数及其应用§10.1导数及其运算一、知识导学1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。
2.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。
可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。
函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。
3.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。
这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。
于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。
记为或（或）。
4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。
2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。
3）函数的商的求导法则：设，是可导的，，则5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.6.几种常见函数的导数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)二、疑难知识导析1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。
(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。
3.导数的几何意义与物理意义导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。
平面向量的常见错误
剖析平面向量中的常见错误平面向量是高中数学教材中的新增内容，运用向量知识解题常可收到化繁为简、化难为易的神奇功效，随着新教材的逐步实施，它已成为高考数学的新宠。
但学生在初学这部分内容时，往往会出现这样或那样的错误，现列举几种常见错误，以期起到防患于未然的作用。
一、乱用平移公式致误例1、已知)2,1(A 、)2,4(B ，则向量AB 按向量)3,1(-平移后得到的向量是（ ）A 、)5,0(B 、)5,3(C 、)0,3(D 、)3,2( 错解：由)2,1(A 、)2,4(B 得)0,3()2,1()2,4(=-=-=，将0,3==y x 及3,1=-=k h 代入平移公式⎩⎨⎧+='+='k y y h x x 得⎩⎨⎧='='32y x ，故选D 。
剖析： 平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系，它不适用于向量平移的规律，上述错误是典型的乱用公式。
正解1：将)2,1(A 、)2,4(B 按向量)3,1(-平移后分别变为)5,0(A '、)5,3(B '，故)0,3(=''B A ，故应选C 。
正解2：因平移不影响向量大小的变化，故应选C 。
二、分不清平移前后致误例2、把一个函数的图象按)2,4(π=平移后得到的图象的函数解析式为2)4sin(++=πx y ，那么原来函数的解析式为（ ） A 、x y sin = B 、x y cos = C 、4sin +=x y D 、4cos +=x y 错解：由向量平移公式得⎪⎩⎪⎨⎧+='+='24y y x x π，即⎪⎩⎪⎨⎧-'=-'=24y y x x π代入2)4sin(++=πx y 得4sin +'='x y ，故选C 。
剖析：错选C 项是分不清平移前后所致，2)4sin(++=πx y 是图象平移后得到的函数解析式，应为2)4sin(++'='πx y 。
高等代数中一道习题的错解启发的新结论
保证 取到 ｗ 中的 每一个 向 量 ， 因而不 符合 不 变 子
空 间的定义 。
修正 针对 上述 两种 方法 只需 补 充说 明 是 ｗ 的满 射 。 证 明 当 Ｗ — Ｖ或 Ｗ ＝ ｛ ） ， ｏ 时 结论 显然
成立． ｄｍＶ 一 ，ｉ 设 ｉ ｄｍＷ ： ｒ 且 ０＜ ｒ ｎ 取 ， ＜ ． ａ ”，， ｗ 的一个 基 ， Ｗ 是 的一 个不 变子 口是 而 空间 ， 以 （。 ，（ｚ ， ， 口）也 是 中 的 向 所 口 ）ｏ ａ ） … （ ｒ
＋ｏｒ ； ｒ ／ （）
（ ）证 明 ：任 意 的 ∈ Ｗ ，（） ∈ Ｗ ，则 ２ ｒ ｏＣ
ｒ （（） ｏ ）一 ， 以 － 所 之下 不变 。
（ ）对 于任 意 ａ∈ Ｆ， Ｖ，（ ２ ∈ ｒ ｏ 西）＝ ａ （） ｒ ｏ ． 定义 ２ Ｖ 的一 个 子空 间 Ｗ 说 是 在线性 变 换
２５
第 ２ ３卷第 １ 期
２１ ００年 ２月
高 等 函授学 报 （ 自然科 学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎ ｅ ｃ ｕ ａ ｉｎ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｆＨｉｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥｄ ｃ ｔｏ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ）
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １ １２ ．
故 ｏ ｗ 的满 射 。 ｒ 是
分析 学 生无 意 中用到 Ｏ ｗ 的满 射 ， 以 ｒ 是 所
收稿 日期 ： ０ ９ ０ ３ ２ ０ —１ ～２ ． 作 者 简 介 ：张 伟 （９ ２ ） 女 ， 龙 江省 龙 江 人 ， 教 ， 究 方 向 ： １８ 一 ， 黑 助 研 数学 教 育 ．
Ｉ 预 备知识
不 能保证 任 意的 ∈ Ｗ ， ｗ 中 都 有原 像 ， 而 在 从 （ ） 能取 到 Ｗ 中的每 一个 向量 ， 符合 不变 子 叩不 不
数学运算失误剖析解读
数学运算失误剖析高考中，数学试题的解答，往往少不了要运算和计算，这方面的得失，对数学成绩的影响很大。
因此，复习中，应把运算的合理性、准确性、简洁性和快速性作为基本功狠抓。
花大力气，提高计算技能和运算能力。
在历年高考中，不少考生在运算和计算上暴露出许多毛病和失误，严重阻碍了他们获取好的数学成绩。
前车之鉴，为了引起后来者的警觉，下面通过举例，剖析各种常见的运算失误，供参考。
1．未能正确使用运算法则和计算公式数学运算要求正确使用各种运算法则，包括整数、实数、复数、不等式、集合、向量、方幂、指数、对数、三角、极限、数列、函数和导数，以及排列、组合、统计和概率等各个方面的运算法则和计算公式，此外，还有几何方面的各种计算公式。
考生对这些法则和公式的使用常有误用和错用的现象发生。
例1 已知过点A (-2,m )和B(m ,4)的直线与直线2x +y -1=0平行，则m 的值为 A ．0 B ．-8 C ．2 D ．10由直线平行判别法则，得224-=+-=m mk AB ， 所以，m = -8。
这是一道比较容易的试题，而且还有多种解法（如向量法、距离法等）。
可是仍有不少考生答错，多数是列写出m 的方程时用错法则（例如把垂直法则当作平行法则），用错公式（例如把AB k 错为2、mm -+42等），以及解方程出错。
例2 求极限 （1）=-+-→9323limx x x ；（2）=+-++∞→112323limn n nn n 。
对此两题，用0作答的考生占有一定数量，反映了没有掌握好00型和∞∞-∞型的极限运算法则。
例3 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s ：t 。
现从箱中逐次取球。
每次从箱中任意取出一个球，若取到黄球，则结束取球，若取到白球，则将其放回箱中，继续下一次取球。
但取球的次数最多不超过n 次。
以ξ表示取球结束时已取到白球的次数。
（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望。
晒晒平面向量与复数中的错解
晒晒平面向量与复数中的错解作者：张新艳来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2015年第11期人非圣贤，孰能无过？晒晒错解，防患于未然.让我们从平面向量与复数中的错解中汲取教训，走向成功.一、晒晒平面向量应用中的错解1.忽略共线向量致误例1 已知同一平面上的向量a、b、c两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2，|c|=3，求向量a+b+c的长度.错解：易知a、b、c皆为非零向量，设a、b、c所成的角均为θ，则3θ=360°，即θ=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-1，同理b·c=-3，c·a=-32，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3，故|a+b+c|=3.剖析：本例误以为a、b、c皆为非共线向量，而当向量a、b、c共线且同向时，所成的角也相等均为0°，符合题意.正解：（1）当向量a、b、c共线且同向时，所成的角均为0°，所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6；（2）当向量a、b、c不共线时，同错解.综上所述，向量a+b+c的长度为6或3.2.忽视两向量夹角的意义致误例2 正△ABC的边长为1，且BC=a，CA=b，AB=c，求|a+b+c|的值.错解：由于正△ABC的边长为1，所以，∠A=∠B=∠C=60°且|a|=|b|=|c|=1，所以，a·b=|a|·|b|cos∠C=12，同理可得b·c=12，c·a=12，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=6，故|a+b+c|=6.剖析：本题误以为a与b的夹角为∠BCA.事实上，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是[0°，180°]，因此，a与b的夹角应为180°-∠BCA.正解1：作CD=BC，a与b的夹角即BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°，所以，a·b=|a|·|b|cos120°=-12，同理可得b·c=-12，c·a=-12，由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=0，故|a+b+c|=0.正解2：∵a+b+c=BC+CA+AB=0，∴|a+b+c|=0.3.忽视等价条件致误例3 已知a=（1，3），b=（2，λ），设a与b的夹角为θ，要使θ为锐角，求λ的取值范围.错解：因为θ为锐角，所以cosθ>0，由a·b=|a|·|b|cosθ知，只需a·b>0，即1·2+3·λ>0，即λ>-23.剖析：本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的等价条件是a·b>0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ=0时，有cosθ=1>0，对于非零向量a与b仍有a·b>0，因此，a·b>0与两非零向量a与b的夹角为锐角不等价.即有如下结论：两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b>0且a不平行于b.正解：由θ为锐角，得cosθ>0且θ≠0，由a·b=|a|·|b|cosθ，而|a|、|b|恒大于0，所以a·b>0，1·2+3·λ>0，即λ>-23；若a平行b则1·λ-2·3=0即λ=6，但若a平行b则或θ=π，与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.综上，λ>-23且λ≠6.4.忽视向量的特性致误例4 已知a、b都是非零向量，且向量a+3b与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，求向量a与b的夹角.错解：由题意得（a+3b）·（7a-5b）=0（a-4b）·（7a-2b）=0，即7a2+16a·b-15b2=07a2-30a·b+8b2=0，两式相减得46a·b-23b2=0，即b（2a-b）=0，所以，b=0（不合题意舍去）或2a-b=0，由2a-b=0知a与b同向，故向量a与b的夹角为0°.剖析：本题误用实数的性质，即实数a、b若满足ab=0则必有a=0或b=0，但对于向量a、b，若满足a·b=0则不一定有a=0或b=0，因为由a·b=|a|·|b|cosθ知与θ有关，当θ=90°时，a·b=0恒成立，此时a、b均可以不为0.正解：由前知b2=2a·b代入7a2+16a·b-15b2=0得a2=2a·b，所以，a2=b2=2a·b，故cosθ=a·b|a|·|b|=12|a2||a2|=12.二、晒晒复数中的错解1.将“实数的相关公式”迁移到复数中而致误例5 在复数范围内，方程x2-5|x|+6=0的解的个数为.错解：由x2-5|x|+6=0，得（|x|-2）（|x|-3）=0，那么，|x|=2或|x|=3，从而x=±2或x=±3，故答案为4.剖析：在实数中我们经常用到x2=|x|2，有时因为这种代换而产生巧解，但在复数中它是不成立的.正解：设x=a+bi（a，b∈R），那么原方程即为（a+bi）2-5a2+b2+6=0，得a2-b2-5a2+b2+6=0，2ab=0，故a=±2，b=0或a=±3，b=0或a=0，b=±1.所以正确答案为6.例6 （1-i1+i）5的化简结果是.错解：由（1-i1+i）5=[（1-i1+i）4]54=[（1-i）4（1+i）4]54=[（-2i）2（2i）2]54=154=1，故答案为1.剖析：在实数集中，对任意x∈R（m，n∈R），有xmn=（xm）n；而在复数集中，仅对m，n∈N*有xmn=（xm）n.此错解盲目的将实数集中的指数运算的法则直接推广到了复数集.正解：（1-i1+i）5=（1-i1+i）4·1-i1+i=（1-i）4（1+i）4·（1-i）（1+i）（1+i）（1+i）=（-2i）2（2i）2·22i=-i2i=-i，故正确答案为-i.2.忽视复数相等的条件致误例7 解关于x的方程x2-5x+6+（x-2）i=0.错解：由复数相等的定义得：x2-5x+6=0x-2=0x=2或x=3x=2x=2.分析：a+bi=c+dia=c，b=d，上式必须是在a、b、c、d∈R为前提的，本题并未告诉x是否为实数.正解：原方程变形为x2-（5-i）x+6-2i=0，则Δ=（5-i）2-4（6-2i）=（1-i）2.由一元二次方程求根公式得：x1=（5-i）+（1-i）2=3-i，x2=（5-i）-（1-i）2=2，∴原方程的解为x=3-i或x=2.3.忽视使用判别式的条件致误例8 关于x的方程x2+（2a-i）x-ai+1=0有实根，求实数a的范围.错解：∵方程有实根，∴Δ=（2a-i）2-4（1-ai）=4a2-5≥0，得a≥52或a≤-52即为所求.剖析：判别式Δ只能用来判定实系数一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）根的虚实，而该方程式中2a-i与1-ai并非实数.正解：设x0是其实根，代入原方程变形为x20+2ax0+1-（a+x0）i=0，由复数相等的定义有x20+2ax0+1=0x0+a=0a=±1.4.忽视虚根共轭成对出现的条件致误例9 已知x2+kx-i=0有一个根是i，求另一个根及k的值.错解：根据一元n次方程虚根成对原理，i是其一根，则i的共轭虚数-i必是其另一根，由韦达定理有i+（-i）=k，∴k=0.剖析：虽然韦达定理对复系数一元n次方程仍成立，但只有实系数一元n次方程的虚根才成对共轭出现，本题系数并非实数.正解：因i是其根，代入原方程i2+ki-i=0，由此得k=1-i，设x0是另一根，则由韦达定理得x0i=-i，从而得x0=-1.（作者：张新艳，太仓市明德高级中学）。
向量解题的心得体会[工作范文]
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向量解题的心得体会篇一：高中数学课堂教学心得体会高中数学课堂教学心得体会【摘要】：课堂教学是学生在校期间学习科学文化知识的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道。
课堂教学不但要加强双基而且要提高智力;不但要发展学生的智力，而且要发展学生的创造力;不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是自学，尤其是在正课上，不但要提高学生的智力因素，而且要提高学生在课堂45分钟的学习效率，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务。
【关键词】：课堂教学;体会;互动交流教育家施瓦布曾经指出如果要学生学习科学的方法，那么有什么学习比通过积极地投入到探究的过程中去更好呢?这句话对科学教育中的探究性教学和学习深远的影响。
美国心理学家布鲁纳认为：探索是数学的生命线。
在数学课堂教学中，教师创设情景，为学生构建一种开放的学习环境，教师通过提问引思，师生探究互动，建立模型，并加以应用与拓展，从而引起学生探索的兴趣，达到课堂教学的目标效能。
那么，高中数学课堂教学如何在新课改下体现，实现师生双方的协同发展呢?经过笔者近3年的课堂教学实验探索，认为在课堂教学中，教师应注意构建和谐、民主的课堂教学氛围，鼓励学生积极思考，大胆质疑，爱护学生的好奇心、求知欲，倡导自主、合作、探究的学习方式，为学生提供发表不同意见的机会，逐步形成创新意识。
本文拟从以下几个个方面做一些探讨，供同行参考。
有明确的教学目标，能突出重点、化解难点教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。
因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。
在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。
如《向量及其运算》这一课是整个向量这一章的第一课，在备课时应注意，通过这一课的教学，使学生能利用辩证唯物主义的观点来解释向量的产生和发展，体会到向量本身存在我们的周围，来激发学生的求知欲望，同时也就提高了学生自己分析问题和解决问题的能力。
错解剖析得真知 24
For personal use only in study and research; not for commercial use错解剖析得真知（四十）§13．3 算法案例一、知识导学1．算法设计思想：（1）“韩信点兵—孙子问题”对正整数m从2开始逐一检验条件，若三个条件中有任何一个不满足，则m递增1，一直到m同时满足三个条件为止(循环过程用Goto语句实现)（2）用辗转相除法找出的最大公约数的步骤是：计算出的余数，若，则为的最大公约数；若，则把前面的除数作为新的被除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为正整数的最大公约数.2.更相减损术的步骤：（1）任意给出两个正数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.（3）二分法求方程在区间内的一个近似解的解题步骤可表示为S1 取[]的中点，将区间一分为二；S2 若，则就是方程的根；否则判别根在的左侧还是右侧：若，，以代替；若，则，以代替；S3 若，计算终止，此时，否则转S1.二、疑难知识导析1．表示不超过的整数部分，如，但当是负数时极易出错，如就是错误的，应为-2.2．表示除以所得的余数，也可用表示.3．辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别：（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.4．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间[]上是否有解,即连续且满足.并在二分搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定，故需要选择结构、循环结构，即可用Goto 语句和条件语句实现算法.三、经典例题导讲[例1]，，，7= .A．16，-1，4，3 B.15，0，4，3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3错解：根据表示不超过的整数部分, 表示除以所得的余数,选择B. 错因:对表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05的整数错认为是0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆.正解：不超过-0.05的整数是-1,所以答案为D.[例2] 所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于0且小于1000的整数是否为同构数.错解：算法思想：求出输入数的平方，考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等，若相等，则为同构数.Read xIf or or ThenPrint xEnd ifEnd错因：在表示个位或最后两位或最后三位出现错误，“/”仅表示除，y/10,y/100,y/1000都仅仅表示商.正解：可用来表示个位，最后两位以及最后三位.Read xIf or or ThenPrint xEnd ifEnd[例3]《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”可以用下面的算法解决：先在纸上写上2，每次加3，加成5除余3的时候停下来，再在这个数上每次加15，到得出7除2的时候，就是答数.试用流程图和伪代码表示这一算法.解：流程图为：伪代码为：102030 If Then Goto 2040 If ThenPrintGoto 8050 End if6070 Goto 4080 End点评：这是孙子思想的体现，主要是依次满足三个整除条件.[例4]分别用辗转相除法、更相减损法求192与81的最大公约数.解：辗转相除法：S1S2S3S4S5故3是192 与81 的最大公约数.更相减损法：S1S2S3S4S5S6S7S8S9故3 是192与81的最大公约数.点评：辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当大数被小数整除时停止除法运算，此时的小数就是两者的最大公约数，更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止，较小的数就是最大公约数.[例5]为了设计用区间二分法求方程在[0，1]上的一个近似解（误差不超过0.001）的算法,流程图的各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N”组成正确的算法流程图,并写出其伪代码.(其中分别表示区间的左右端点)图13-3-2流程图为图13-3-3伪代码为10 Read20304050 If Then Goto 12060 If Then70100 End if80 Else90100 End if110 If Then Goto 20120 Print130 End点评：二分法的基本思想在必修一中已渗透，这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来.[例6]用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为.解：根据秦九韶算法，此多项式可变形为按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时的值：故当时多项式的值为.点评：秦九韶算法的关键是n次多项式的变形.把一个次多项式改写成，求多项式的值，首先计算最内层括号内一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，这样把求次多项式的值问题转化为求个一次多项式的值的问题，这种方法成为秦九韶算法.这种算法中有反复执行的步骤，因此，可考虑用循环结构实现.四、典型习题导练1．以下短文摘自古代《孙子算经》一书，其引申出的“大衍求一术”称为“中国剩余原理”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”答曰（）.A．二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四2．用辗转相除法求52与39的最大公约数的循环次数为（）.A．1次 B.2次 C.3次 D.5次3．下面程序功能是统计随机产生的十个两位正整数中偶数和奇数的个数，并求出偶数与奇数各自的总和.For I from 1 to 10Print x;If ThenElseEnd IfEnd forPrintPrint “奇数个数=”；，“偶数个数=”；4．若一个数的各因子之和正好等于该数本身，则该数成为完数.请补充完整下列找出1～100之间的所有完数的伪代码.For from 2 to 100For b from 2 toIf mod(a,b)=0 ThenEnd ifEnd ForIf ThenPrint aEnd ifEnd ForEnd5．设计求被9除余4，被11除余3的最小正整数的算法，画出流程图，写出伪代码.6．利用辗转相除法或更相减损术求324,243,135的最大公约数.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
一道高考题的解法说明及解题反思
数学课程中的基础性知识，学生应当能够在不同的情境
中将其灵活运用.
解析渊2冤院借助向量共线定理及推论袁确定A O与A D
的比例关系
引 例 如 图 3，A 、B、C 三 点
O
共线，O为线外一点，则OB=姿OA
+滋OC且姿+滋=1.
C
引 例 解 析 院 不 妨 设 A B =x， A
B
BC =y， 则 由 向 量 共 线 定 理 可 知
2
2
AC
案：姨 3 .
解题反思院平行线分线段成比例是初中几何课程中
的重要知识点，同时在高中数学解题的日常中也有较多
的 应 用 .这 种 方 法 的 核 心 在 于 能 够 作 出 相 关 辅 助 线（亦
可过D作EC的平行线）.这是用初中知识解决高中问题的
典 型 代 表 ，虽 然 这 可 能 不 是 命 题 人 出 题 的 原 意 ，但 作 为
图4
点坐标为（2，0），则直线A D的方程可表示为y= n （xm-1
1），直线EC的方程可表示为y= n （x-2），将两者联立 m-3
蓸 蔀 蓸 蔀 解得O点坐标为
m+1 ，n 22
，所以A O=
1-m ，- n 22
，A B=
蓸 蔀 （-m，-n），A C=（2-m，-n），EC=
2- 2m ，- 2n 33
节的知识，还需要学生能够将前后的知识点联系起来进
行综合性解决.如下，我们将从几个不同的方向来剖析本
题，并对其背后的知识点与考查意图作一个简要的说明.
（2019年 江 苏 卷 第 12 题）如 图1，在吟A BC中，D是BC的中点， 点 E 在 边 A B 上 ，BE =2EA ，A D 与
错解剖析得真知 30
错解剖析得真知（十二）§4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n还是求a n.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中, a m=a n+ (n－m)d, ; 等比数列中，a n=a m q n-m;4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈）时，对等差数列｛a n｝有：a m+a n=a p+a q；对等比数列｛a n｝有：a m a n=a p a q；5.若{a n}、{b n}是等差数列，则{ka n+bb n}(k、b是非零常数)是等差数列；若{a n}、{b n}是等比数列，则｛ka n｝、{a n b n}等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列｛a n｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈）；8.若一阶线性递推数列a n=ka n－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式.三、经典例题导讲[例1]设是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和.证明：。
高中数学向量解题基本思想与技巧分析
在高中数学中,极化恒等式主要是指 向 量 数 量 积 与 向 量
和之差之间的关系,该 方 法 能 够 简 化 向 量 解 题 流 程,避 免 向
量解题过 程 中 出 现 运 算 失 误. 以 下 面 一 道 例 题 为 例:已 知
ab＝０,而 且 向 量 符 合 下 面 关 系 式:(
中生需要提高对向量知识的重视,为未来 的 学 习 奠 定 良 好 的
基础.向量和数量有所不同,它既有 大 小,也 有 方 向,对 高 中
生的空间想象能力 有 较 高 的 要 求. 高 考 大 纲 中 关 于 向 量 考
察内容的难度不算太高,平面向量的相关 知 识 主 要 通 过 填 空
题或者选择题进行考查;空间向量的相关 知 识 主 要 与 立 体 几
周刊
高中数学向量解题基本思想与技巧分析
茅建未
摘 要:作为高中数学的重要组成部分,向量解题的基本 思 想 是 每 年 高 考 考 察 的 重 点,高 中 生 需 要 明 确 向 量 解 题 基 本 思 想
A点
１ １
设为(
１,
０),
B 点设为(
０,
１),则 M 点 为 ( , ),
C 点为(
λ,２Biblioteka ２１ ２→ λ－ １ , － １ );已 知|MC
→|＝１,则 (
λ－ )
＋
μ),则MC ＝ (
２ μ ２
２
１ ２
(
C 点 在 位 于 以 M 点 为 圆 心,
１为
μ－ ２ ) ＝１.也 就 是 说,
半径的圆上.将λ＋μ 设 为t,带 入 圆 的 方 程 中 可 知:
c－a) (
空间向量法,破解立几利器
。 浙 江宁 波北 仑 中学 吴 文 尧（ 级教 师 ） 特
●
４ 错解剖析： ｌ ． 第 问用 传 统 方法 解 比较简 洁 ， “ 欲善 其事 ， 先利 但 工 必 其器 ” 我们 必须 掌握 证 明线 、 平行 ： 面
和垂直 的判定 定理 和性质定 理．
第 ２ 用 空 间 向量 法解 决时 ． 问 导
致 计 算 错 误 的原 因是 解 题 步骤 不 清
图 ２
晰或构 建空 间坐标系 不合理．
５ 正 确 解 法 ： 结 Ｐ 由题 意 可 ． 连 Ｏ．
得 Ｏ ＯＣ Ｏ Ｂ． ． Ｐ两 两 垂 直 ．如 图 ３ 以０ ， 为 原 点 ，射 线 Ｏ Ｏ Ｏ 为 坐 标 轴 的 Ｂ， Ｃ， Ｐ
Ｓ
反 回 思髓
高考 中， 体几何试题 的得兮率 一 向不高 ， 立 主要有 两方面原 因： 是解题方 法 的选 一
择不合理 ， 解决立体 几何问题 通常有“ 传统方法” 向量 方法”这 两种方 法各 有千 与“ ， 秋， 当选择 的解法 与试题 不对 路时 ， ， 主在会把 简单 问题 复杂 化， 至造成解题 失政 ： 甚 Ｕ是选 定解法 以岳 ， － 由于操作过 程不规范 、 不熟练而造成解题 失误．
（） ２ 选用传 统 方法 易 出现 逻辑 性
错误．
１ ．命题 意图 ： 本题 的总体结 构 比
较常 见 ， １ 为考查 线 、 关 系的论 第 问 面 证 问 题 ２ 为 考 查 空 间 图 形 中 的 第 问
圆圈固固置 连结彤 ，由Ｏ Ｂ上
平 面Ｐ ＡＣ可 得 Ｂ 上Ｅ０。 ＯｊＰ 所 ０ Ｂ ＿ Ｇ，
以Ｅ ／Ｐ 平 面Ｐ Ｇ ｆ 面Ｂ Ｅ Ｏ／ Ｇ Ｆ 平 Ｏ 。
错解剖析得真知1集合及简易逻辑
错解剖析得真知（一）第一章集合与常用逻辑用语§ 1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一左范囤内某些确泄的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3•子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则QES）,则称集合A为集合B 的子集，记为A^B或B^A：如果A^B,并且AHB,这时集合A称为集合 B的真子集，记为褊B或B?A.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足A^B、B^A,则A=B.5.补集：设A^S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AC B.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AUB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作①.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N*,整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号匸，会，口，2,二，表示集合与集合之间的关系，其中“匸”包括“辜”和"二” 两种情况，同样“口”包括和“二”两种情况•符号亡，疋表示元素与集合之间的关系. 要注意两类不同符号的区别.2.在判断给立对彖能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围.用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B二◎易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6•若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9•含有n个元素的集合的所有子集个数为：所有真子集个数为：2"-1三.经典例题导讲［例 1］已知集合 M= {y| y =/+1, xeR}, N= {y | y =JV+ 1, xGR},贝ljMAN=() A. (0, 1) , (1, 2) B・{ (0, 1) , (b 2) }C. {y y=l,或 y=2}D. {y y^l}Z = 0 A = 1错解：求MAN及解方程组1^ =兀+ 1得b = 1或［^ = 2.••选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性.而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是实数对(為0,因此M、N是数集而不是点集， \1、N分别表示函数y=Y+l(xeR), ;^+l(xeR)的值域，求MAN即求两函数值域的交集.正解：M={y| x€R} = {y|y^l}, N={y |y=x+l, x£R} = {y yWR}.r.MnN={yiy^l}n {y (yeR)} = {y y^l}, 二应选D・注:集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分UI产/+1}、{川产X + 1"€R}. {(A; y) ^/4-1,-Y GR},这三个集合是不同的・［例2］已知A二{* W-3x+2二0},B二& ”一2二0}且AUB二A,求实数&组成的集合C・错解：由影一3*+2二0得wl或2・当尸1时，a二2, 当卢2时，护1・错因：上述解答只注意了 B为非空集合，实际上，出*时，仍满足AUB二A.当护0时，B二中，符合题设，应补上，故正确答案为C二{0, 1, 2}.正解：VAUB=A ABCA 又A二{划彤一3*+2二0}二{1, 2}•••B二中或⑴或⑵AC={0, b 2}［例3］已知汗且集合A二胡"2以€刃，B二⑴22卄1处刃，又C二⑴兀=牝+ 1处刃，则有:)A・mrn^-K B. C. C D.卅刀不属十 A. B, C 中任意一个错解：V/z?eA. •••/tf=2a, a&Z,同理 n=2a+l, ciC Z, ：.n^n=4^1,故选 C错因是上述解法缩小了血”的取值范用.正解：••SEA, •••设沪2比gEZ, 又•••/?£/ .••用2比+1,比丘 Z ,•••济/?=2(戲+比)+1,而戲+比：Z , /. nr^n^ B,故选B・［例 4］已知集合 A 二{x x2—3x-10W0},集合出{x p+lWxW2p-l}.若 BC A,求实数P的取值范围.错解：由 x2—3x—10W0 得一2WxW5・-2<p+l4欲使BUA,只须t2^"1-5••• p的取值范用是一3WpW3・错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即出中时，符合题设.正解：①当BH*时，即p + lW2p-13p22・由 BGA 得：一2Wp +1 且 2p-lW5・由一3WpW3・••• 2WpW3②当 B二中时，即 p +l>2p-l=>p<2.由①、②得：pW3.点评：从以上解答应看到：解决有关ACB二d、AUB二扒ACB等集合问题易忽视空集的情况而岀现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.［例 5］已知集合 A={a, a+b, a+2b}, B= {a, ac, ac2}.若 A二B,求 c 的值.分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确泄性、互异性，无序性建立关系式.解：分两种情况进行讨论.(1)若 a+b=ac Si a+2b=ac:» 消去 b 得:a+ac:_2ac=0>a二0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故aHO./.C3-2C+1=0,即c二1,但c二1时，B中的三元素又相同，此时无解.(2)若 a+b=ac:且 a+2b=ac,消去 b 得：2ac:—ac —Va^O, A2c2-c-1=0.2即(c —1) (2c + l)二0,又 cHl,故 C=—2 ・点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.［例6］设A是实数集，满足若匹A,则1一幺刊，且1?A・(1) 若2WA,则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素. (2) A 能否为单元素集合？请说明理由.丄(3) 若 aGA,证明：1一負 WA.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.2解：(D2EA ? -1GA ? 2 GA ? 2GA2••• A 中至少还有两个元素：一1和㊁1(2)如果A 为单元素集合,则3=1-幺 即a? —。
解平面向量问题是的常见错误剖析
七、混淆实数0与向量0引起的错误 例9 有四个式子： · · ① 0 a = 0； ② 0 a =0； ③ 0BB BB； BB BB BB BB 其中正确的个数是
%
错解 因为 |a +tb |2=a2+(2a· b)t +b2t2可看成 t 的二
次函数， 故当t=· b a 2a 即 a+ =- 时， |a+tb|2有最小值， 2 2b b
tb的长度有最小值.
剖析 忽视了向量数量积与实数积的不同， 它
是不可直接约分的， 因为向量没有除法运算. 因为 |a +tb |=a2+(2a · b)t +b2t2可看成 t 的二次函数， 故当t=· 2a b 时， 即a+tb的长度有最 |a+tb|2有最小值， 2 b2
% %
即 B C ⊥ AC ， 也就是 BC·AC = ② 若 ∠BCA =90° ， 而 BC = AC - AB =(-1， 故 -1+k (k -3)=0， 解得 k = 0， k -3)， 3± 姨13 ； 2 即 B C ⊥ AB ， 也就是 BC·AB = ③ 若 ∠ABC =90° ， 而BC=(-1， 故-2+3 （k-3 ） 解得k= 0， k-3)， =0， 综上， k=2 3± 13 11 或k= 姨 或k= . 3 3 2
AA
筲参考答案
1. D. 2. B.
AA AA 若 a， 则 | OB |=| OA |+ ② 当 a + b 共线时， b 同向，
一个向量题的错误解答引出的思考
上 述错 误 的原 因是把 数 的运算 性 质不加
区分的移到向量 的数量积上 ， 等式 ［ ・ （ ＋
） ］ ＝（ ） ・ （ ａ ＋ｂ ） 只有 当 与 ＋ｂ共
解法 ４ ： 在 解法 ２中 ， （ ） ＝ ・ （ 十ｂ ） 为（ ） ＝ ・ ａ ＋ ・ ， 即ｌ Ｉ ：ｌ Ｉ ・ Ｉቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ Ｉ
图１
）＝０ 得 （ 一１ ）＋ （ Ｙ一１ ）＝０ ， 即 ＋
・
ｃ ， Ｄ 与共 同的起
点 Ａ 四 点共 圆 （ 图
１ ） ，Ｉ Ｉ 是 圆 的弦 ，
Ｉ Ｉ 最 大 是 圆 的 直
３３ ・
２ ０ １ ５年第 ２期
河北理科 教 学研 究
≤
＝
教 法探 讨
ａ ， 的夹 角 ， 且 ＋ ：： ） ， 即 ｌ Ｉ ：
ｃ ｏ ｓ ０ １ ＋ｃ ｏ ｓ ０ ２ ｃ ｏ ｓ ０ １ ±ｓ ｉ ｎ ０ １＝√ ２ ｓ ｉ ｎ （ １±
加减 法 的 几 何 意义 ， 向量 ， ｂ ， 占的端 点
，
三 ） ≤ ．
解法 ５ ： 以 ， 为横 ， 纵轴 建立 直角 坐标 系， 则 ＝ （ １ ， ０ ） ， ６：（ ０ ， １ ） ， 又设 Ｃ ：（ ， ｖ ） ， 贝 ０ ｌ Ｉ ＝√ ＋ｙ ２ ， 一 ＝（ １一 ， 一 ） ， ｂ一 ＝（ 一 ， １一Ｙ ） ， 由（ 一 ）・ （ ｂ一
解法 ３ ： 在 解法 ２中 ， （ ） ＝ ・ （ ＋ｂ ）
ｌ Ｉ 为定值 ， 最 大值 和最小值都是 ， 故正
确选项 为 Ｃ．
为 ｌ ｌ ＝Ｉ ｌ ・ Ｉ ａ ＋６ ｌ ｃ ｏ ｓ ０ （ 为 与 ＋ ｂ的夹角） ， 即ｌ Ｉ ＝Ｉ ＋ｂ ｌ ｃ ｏ ｓ ０＝ √ ２ ｃ ｏ ｓ ０
一个错误解法得出正确结果的解析
存 在 明显 矛 盾 ！
如 何 解 释 呢 ？矛 盾 如 何 产 生 呢 ？首 先 我 们 看 看 在解 答 过
程 出现 的错 误 ．
（ ２ ｎ （ ２” ¨ （ ２ ｎ－ － １） 十 ａ２ １）
Ｓ２ Ｔ２
却得 到正 确 的结 果． 通 过 严 密 推 理 发现 两 处 错 误 ， ｉ消 除错误 ， 最 后得 出 了正确 结论 ．
中学生数理亿 ． 掌研版
… ． ．
用类 比 的 思 考 方 法 解 题 是 学 生 很 常 用 的 方
一 个错误解法得出正确结果的解析 的解 题 途 径． 但 类 比推 理 仅 仅 是 合 情 推 理 ， 不 严
；法 ， 有 时 是很 有效 的一 种 思 考 方 法 ， 能够 找 到 正 确
曼 霎 问 题 １ 已 知 等 差 数 列 ｛ ｎ ） 、 ｛ ） 的 前 ” 项
尊
复 和 和 分 别 为ｓ ， 且 满 足 ： ＝ ＊， 娶 ， 则 ＝ ｝ ．
一
在 解 答 此 问 题 时 学 生 联 想 到 以 下 问 题 的 处
理方法 ，
Ｔ Ｆ ２
：
ａｎ
”＋ ｌ
的形 式 一 致
一
密， 有 时 出现 了错 误还 具 有 隐 蔽性 ， 只有 经 过 严 密
的 推理 才能 够查 出． 下 面 通 过 一 个 很有 趣 的例 子 ， ｊ学生 用类 比的方 法思 考得 出一个 错 误 的解 题 过 程
÷ （ ６ － ＋ｎ 。 ） 一 ９ 但 一 杀・ １ ３ ａ ７ 一 杀・ （ Ｏ 。 ＋ １ ３ Ｔ ｑ ≠ 鲁 Ｔ ｑ ， ’
（ ２ ｎ一 １ ） Ｔ２ 一 ｌ
错解剖析得真知
3.3三角函数的恒等变换一、知识导学1.两角和、差、倍、半公式（1）两角和与差的三角函数公式（2）二倍角公式（3）半角公式，，2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.二、疑难知识导析1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例、、等.4．三角公式由角的拆、凑很灵活.如、、，等，注意到倍角的相对性.5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.三、典型例题导讲[例1]在∆ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则?C的大小应为( ) A． B． C．或 D．或错解：C错因：求角C有两解后未代入检验.正解：A[例2]已知tanα tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，若α，β?(-)，则α+β=（）A． B．或- C．-或 D．-错解：B.错因：未能准确限制角的范围.正解：D.[例3]若，则对任意实数的取值为（）A. 1B. 区间（0，1）C.D. 不能确定错解：C错因：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D.正解：解法一设点，则此点满足解得或即选A解法二：用赋值法，令同样有选A[例4]△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（）A. B. C.或 D.错解：C错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.正解：A[例5]已知，（），则（）A、 B、 C、 D、错解：A错因：是忽略，而解不出正解：C[例6]求值：=_______________解：答解法一原式解法二[例7]已知是第三象限的角，若等于（）A. B. C.D.解：选A.解析：[例8]分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少.观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.解法一：（复角→单角，从“角”入手）原式解法二：（从“名”入手，异名化同名）解法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）解法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.四、典型习题导练1.已知集合M=，N=则MUN等于（）A．M B.N C.ф D.2.若sinα+cosα=,则tanα+cotα=( )A.1B.2C.-1D.-23.已知＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为( )A.或-B.-C.D.以上都不对4.已知θ=,则= .5.计算sin sin= .6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（）A．B． C． D．7．求值：__________8.函数的最小值为（）A. B. C.0 D. 19．已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定10.已知向量（1）求的值；（2）若的值.。
从一道向量题的一题多解中感悟数学解题的“真谛”
从一道向量题的一题多解中感悟数学解题的“真谛”
作者：徐良锋
来源：《福建中学数学》2016年第03期
向量是高中数学的重要内容之一，一方面它自身具有很强的知识性与方法性，题型变化多，解题灵活性大，另一方面它与其他数学内容联系十分紧密，具有很强基础性与工具性.因此，学习与研究向量问题的解法对于提高我们分析问题与解决问题的能力具有十分重要的意义，下面就通过向量问题的一题多解，与读者一起感悟数学解题的“真谛”
评注以上解法是利用了共线向量的通性，但过程不是很简单，其实我们仔细观察条件等式，还可以通过简化形式，得到一个相对简单的方法. 评注解法2先是对题设中的等式进行了变形，即通过优化条件，然后再数形结合找到了一种解决问题简单办法，其实，解决数学问题的思想大都一样，先简化题设中的条件与结论，然后再去寻求解题的最佳途径.
评注解法3将一般情形特殊化，这样有助于复杂问题简单化，如果结论是一个填空题，还可以再进一步特殊化：在物理学中我们知道三个大小一样互相成120°的三个力作用于同一点合力为0.利用这个模型求解此例会更简明，也更易让人理解与接受.
解法4由平面向量的基本定理，我们知道，平面上的任一个向量都可以用一组基向量表示出来，且表示的形式唯一，这样不妨让我们用基向量思想方法来进行求解.
评注解法4充分利用了平面向量的基本定理，通过数形结合，并充分利用了平面几何性质，得到了一种简单的求解方法，其实，此例作为一个填空题，在不影响条件的情况下，我们还可以利用特殊的思想，选用以单位正交向量为基底，利用坐标的形式进行求解.。
平面向量错解剖析
平面向量错解剖析
刘新春
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2004(000)006
【摘要】中学新课程改革后，平面向量在中学数学中扮演着极为重要的角色，其应用十分广泛．平面向量的引入对开阔视野，拓广解题思路，提高解题能力大有裨益．笔者在教学实践中发现，学生在向量学习中存在概念不清、错误类比、以偏概全、对公式(性质)记忆混淆等所导致的错误，必须引起施教者的重视．
【总页数】2页(P41-42)
【作者】刘新春
【作者单位】江苏省通州市兴仁中学,226371
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.平面向量常见错解剖析 [J], 冯留奇
2.一道平面向量题的错解剖析 [J], 王勇
3.平面向量"数形"之美——以平行四边形为内核的一类平面向量问题 [J], 魏智
4.平面向量问题错解剖析 [J], 张志强; 邵建新
5.多思维妙解平面向量题——2018年复旦大学自主招生平面向量问题的解答 [J], 代德才
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错解剖析得真知第八章平面向量与空间向量§8.1平面向量及其运算一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。
长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。
记作-。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知，。
在平面内任取一点，作=，=，则向量叫做与的和。
记作+。
6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
已知，。
在平面内任取一点O，作=，=，则向量叫做与的差。
记作-。
7.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，并规定：①λ的长度|λ|=|λ|·||；②当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ=（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则①λ(μ)=(λμ)②(λ+μ) =λ+μ③λ(+)=λ+λ8.向量共线的充分条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ。
另外，设=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，则//x1y2－x2y1=09.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2使＝λ1＋λ2，其中不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点设P1，P2是直线l上的两点，点P是不同于P1，P2的任意一点则存在一个实数λ,使=λ，λ叫做分有向线段所成的比。
若点P1、P、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x,y)，(x2,y2)，则有特别当λ=1，即当点P是线段P1P2的中点时，有11.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量||||cosθ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cosθ规定：零向量与任一向量的数量积是0。
(2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积。
(3)性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角，则·＝·＝||cosθ，⊥·＝0当与同向时，·＝||||当与反向时，·＝－||||特别地，·＝||2或||＝cosθ＝ |·|≤||||(4)运算律：·＝· (交换律)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)(＋)·＝·＋·（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：设=（x1 ,y1）, = (x2,y2)，则·=||·||cos90°=0x1x2+y1y2=012.平移公式：设P（x，y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形F/上对应点为P/（x/，y/），且设的坐标为（h，k），则由＝＋，得：（x/，y/）＝（x，y）+（h，k）二、疑难知识导析1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。
因此，建议在记忆时对比记忆；4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。
三、经典例题导讲[例1]和= (3,－4)平行的单位向量是_________；错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，－)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，)点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。
读者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。
[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。
错解：设D的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。
故所求D的坐标为（-2，3）。
错因：思维定势。
习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。
其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。
因此，还需要分类讨论。
正解：设D的坐标为（x，y）当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。
解得D的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。
解得D的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。
解得D的坐标为（0，5）。
故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。
错解：由|P1P|=2|PP2|得，点P 分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）错因：对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P1，P2的内分点这一种情况，还有点P是 P1，P2的外分点。
故须分情况讨论。
正解：当点P为 P1，P2的内分点时，P 分P1P2所成的比为2，此时解得P（）；当点P为 P1，P2的外分点时，P 分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。
则所求点P的坐标为（）或（13，4）。
点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。
也就是分类讨论的数学思想。
[例4]设向量，，，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．解：若，∵，则，代入坐标得：，即且．消去，得；反之，若，则且，即则，∴故“”是“”的充要条件．答案：C点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．[例5]．已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求实数x、y，使=x +y．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：由题意有x +y =x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）．又 =（3，5）∴x-y=3且-x+3y=5解之得 x=7 且y=4点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．[例6]已知A（-1，2），B（2，8），=，= -，求点C、D和向量的坐标．分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量，和关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C、D的坐标为、，由题意得=（），=（3，6），=（），=（-3，-6）又=，= -∴（）=（3，6），（）=-（-3，-6）即 ()=(1,2) ， ()=(1,2)∴且，且∴且，且∴点C、D和向量的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．四、典型习题导练1. ，则有（）A. B.C. D.2.（2006年高考浙江卷）设向量满足,,则(A)1 (B)2 (C)4 (D)53. 将函数y= 4x－8的图象L按向量平移到L/，L/的函数表达式为y= 4x，则向量=4. 从点沿向量方向取线段AB，使，则B点坐标为5. 、是单位向量，的夹角为，以、为邻边作平行四边形。
求平行四边形对角线的长。
6.（2006年高考辽宁卷）已知的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D)错解剖析得真知（二十六）§8.2平面向量与代数、几何的综合应用一、知识导学1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即2.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即二、疑难知识导析1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。
如当=时，=0，此时有；2．由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。
三经典例题导讲[例1]在ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( )A．B．C．D．或错解：选A错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。
正解：∵a2＝b2＋bc＋c2＝b2＋c2－2bc(－)＝b2＋c2－2bc·cos∴∠A＝选 C.[例2]在△ABC中，已知，试判别其形状。
错解：等腰三角形。
错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。
直接由得，，即，则。
接着下结论，所求三角形为等腰三角形正解：由得，，即则或，故三角形为直角三角形或等腰三角形。
[例3]在中，试求周长的最大值。
并判断此时三角形的形状。
错解：由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最值错因：其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。
正解：由正弦定理,得a=2()sinA, b=2()sinB.a+b=2()(sinA+sinB)=4()sin cossin=sin75o=a+b=()2 cos≤()2=8+4.当a=b时,三角形周长最大,最大值为8+4+. 此时三角形为等腰三角形.[例4]在中，，其内切圆面积为，求面积。
分析：题中涉及到内切圆，而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。
解：由已知,得内切圆半径为2. 由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14.[例5]已知定点A(2,1)与定直线:3x-y+5=0,点B在上移动,点M在线段AB上,且分AB的比为2,求点M的轨迹方程.分析:向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带 .解:设B(x0,y0),M(x,y)∴=(x-2,y-1),=(x0-x,y0-y),由题知=2∴由于3x0-y0+5=0,∴3×-+5=0化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0[例6]过抛物线:y2=2px(p>0)顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB(如图),求证:直线AB过一定点,并求出这一定点.分析: 对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a//b x1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.证明:由题意知可设A点坐标为(,t1),B点坐标为(,t2) ∴=(,t1),=(,t2),∵OA⊥OB,∴?=0?+t1?t2=0t1?t2=-4p2 ①设直线AB过点M(a,b),则=(a-,b-t2),=(-,t1-t2),由于向量与是共线向量,∴（a-）(t1-t2)= (b-t2)(-)化简得2p(a-2p)=b(t1+t2)显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立∴直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)四典型习题导练1．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x，则第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜5 B．＜x＜ C．＜x＜5 D．1＜x＜2．三顶点，则的面积为__ _。