高中数学基本不等式的解法十例
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高中数学基本不等式问题求解十例
一、基本不等式的基础形式
1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2
．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
3．常考不等式：2
222
11a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 问题（1（2例题
例题解2
1212x x x +=
⇒=-时取等号。
变式：已知2x >-，则1
2
x x +
+的最小值为 。 解析：由题意可得()1
20,212
x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：
1
22112
x x x x +=⇒+=⇒
=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0，
x
x 2＋3x ＋1
≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．
解析：由题意可得141x y +=，左边乘以141x y
+=可得：14441y x x y y x ⎛⎫⎛
⎫++ ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭+=，化简可得：
1441144y y x x x y x y ⎛⎫⎛
⎫++=+++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，很明显44y x x y +中积为定值，根据积定和最小的法则可得：
424y x x y +≥=，
当且仅当2418
4x y x y x y =⎧==⇒⎨=⎩时取等号。故而可得1444y x x y ⎛⎫⎛
⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。不等式234y x m m +
-＜有解，亦即2min 344y m m x ⎛
⎫->+= ⎪⎝
⎭，亦即2340m m -->，解得4m >或者
1m <-，故而可得()(),14,m ∈-∞-⋃+∞。
4
x
4x 亦即⎧⎪
⎨⎪⎩
问题例题当122b a a b =⇒=时取等号，化简后可得：ab =1
45
4
22a b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
变式：若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为__________．
解析：将题干条件化简可得：()()lg 3lg 131x y x y xy x y ⋅=++⇒=++，由题意需要求解xy ，故而可知利用不等式x y +≥31xy x y -=+≥当且仅当x y =时等号成立，化
简上式可得(
)
31011011xy xy --≥⇒-≥⇒≥⇒≥，此时1x y ==
问题4：含参基本不等式问题
解题思路：利用含参不等式的解法求解即可。
例题6：对于任意的()1,x ∈+∞恒成立，则（ ） A ．a 的最小值为3- B ．a 的最小值为4-
C ．a 的最大值为2
D ．a 的最大值为4
1。 问题5：不等式与其他问题结合
（向量与不等式）例题7：已知(0,0)OA aOB bOC a b =+>>，且,,A B C 三点在同一条直线上，的最小值为_________．
解析：由三点共线可得1a b +=，观察形式采用“1”
等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可得：22b
a b a a b a b +
≥⋅=，当且仅当12
b a a b a b =⇒==时取等号。故而可得
1123b a
a b a b
+=++≥。 （不等式与解析几何）例题8：若直线20ax by -+=（0a >， 0b >）被圆2
2
2410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则
11
a b
+的最小值为 。 解析：将圆化为标准方程可得()()2
2
124x y ++-=，根据弦长为4可得直线经过圆心。将圆心()
1,2-代入直线方程可得22a b +=。观察求解形式可得采用“1”的代换方法，即()
112112
a b a b a b ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
+=，化
简可得
2311
2
b a a b a b
+
+
+=很明显积为定，根据积定和最小法则可得：22222b a b a a b a b +≥⋅=，当且
仅当222
222
a b a a b b ⎧=-⎪=⇒⎨=-⎪⎩时取等号，故而可得231132222
b a a b a b +
+
++=≥。 （基本不等式与线性规划）例题9：设,x y 满足条件360
{200,0
x y x y x y --≤-+≥≥≥，若目标函数z ax by =+（0,0a b >>）
的最大值为12，则
32
a b
+的最小值为 。 解析：作出可行域如图所示：故而可得+z ax by =在点()4,6H 取最大值，即
4612236a b a b +=⇒+=，由题意可得采用“1”的代换求解。
即()329423123266b a a b a b a b a b ⎛⎫
++++ ⎪⎝⎭+=
=，观察分子可得分子积为定值，根据积定和最小法则可得：9494212b a b a a b a b +≥⋅=，当且仅当39421
a b a a b b ⎧
=⎪
=⇒⎨⎪=⎩时取等号，故而可得
94123246
b a a b a b
+
++=≥。
（不等式与解三角形）例题7：ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2+bc =0.