上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)

上海历年中考数学压轴题复习
2001年上海市数学中考
27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC ＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
图8
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．
27．（1）①证明：
∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝
CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ．
②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DC
PD AP
AB =，
即2
52x x
-=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．
（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ
AP
PD
AB
=
．即
y x
x +=
-252，得22
5212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．
（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）
上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
图5图6图7
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系试证明你观察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．
（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）
五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）
27．
图1 图2 图3
（1）解：PQ＝PB……………………（1分）证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．
∴NP＝NC＝MB．……………………（1分）∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°．
而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM．……………………（1分）
又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△
PMB ． ……………………（1分）
∴ PQ ＝PB ． （2）解法一
由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ．
∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝
x 2
2
，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 2
2
， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·
x 2
2
＝1－x 2． 得S
△PBC
＝
2
1BC ·BM ＝21×1×（1－
x 22）＝2
1－4
2
x ． ………………（1分） S △PCQ ＝21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－x 22）＝21－x 423＋2
1x 2
（1分）
S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝2
1x 2
－x 2＋1．
即 y ＝
2
1
x
2
－
x
2＋1（0≤x ＜
2
2）． ……………………（1分，1分）
解法二
作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形． ∴ PT ＝CB ＝PN ．
又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ． S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN …（2
分）
＝CN 2
＝（1－x 22）2＝2
1x 2
－x 2＋1 ∴ y ＝
2
1x
2
－
x
2＋1（0≤x ＜
2
2）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形
①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形，
此
时
x ＝
0 ……………………（1分）
②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3）
……………………（1分）
解法一 此时，QN ＝PM ＝
x 2
2
，CP ＝2－x ，CN ＝
22CP ＝1－
x 2
2
． ∴ CQ ＝QN －CN ＝
x 22－（1－x 2
2）＝x 2－1． 当
2
－x ＝
x
2－1时，得x ＝
1． ……………………（1分）
解法二 此时∠CPQ ＝2
1
∠PCN ＝°，∠APB ＝90°－°＝°， ∠ABP ＝180°－（45°＋°）＝°，得∠APB ＝∠ABP ，
∴
AP ＝AB ＝1，∴ x ＝
1． ……………………（1分）
上海市2003年初中毕业高中招生统一考试
27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：（1）当∠DEF＝45º时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D
1EF，如图，当EF＝
6
5时，讨
论△AD
1D与△ED
1
F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，
只要求写出结论，不要求写出理由。

2004年上海市中考数学试卷
27、（2004•上海）数学课上，老师提出：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的的横坐标分别为x C、x D，点H的纵坐标为y H．
同学发现两个结论：
①S△CMD：S梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：x C•x D=﹣y H
（1）请你验证结论①和结论②成立；
（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A 的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；
（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么x C、x D与y H有怎样的数值关系（写出结果并说明理由）
考点：二次函数综合题。

专题：压轴题。

分析：（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；
（2）（3）的解法同（1）完全一样．
解答：解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），
由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，
故点M的坐标为（2，2），
所以S△CMD=1，S梯形ABMC=
所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3x﹣2．
由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2），y H=﹣2
因为x C•x D=2，
所以x C•x D=﹣y H，
即结论②成立；
（2）（1）的结论仍然成立．
理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），
由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，
故点M的坐标为（2t，2t2），
所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3．
所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，
即结论①成立．
设直线CD的函数解析式为y=kx+b，
则，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3tx﹣2t2；
由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2t2），y H=﹣2t2
因为x C•x D=2t2，
所以x C•x D=﹣y H，
即结论②成立；
（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），设直线CD的解析式为y=kx+b，
则：，
解得
所以直线CD的函数解析式为y=3atx﹣2at2，则点H的坐标为（0，﹣2at2），y H=﹣2at2．
因为x C•x D=2t2，
所以x C•x D=﹣y H．
点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．
2005年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷
1、（本题满分12分，每小题满分各为4分）
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP ⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。

（1）如图8，求证：△ADE∽△AEP；
（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当BF＝1时，求线段AP的长.
图9（备用图）
图8
C
C
25.1909090AP D ODA PED OD OE ODE OED
ODE OED EDA PEA A A ADE AEP
∴∠=∠=︒=∴∠=∠∴︒+∠=︒+∠∴∠=∠∠=∠∴∆∆（）证明：连结OD
切半圆于，又，，又
22334
,555846416584525555
(0)
OD CB OA AC OD OD x OE AD x x ADE AEP x
AP AE y xy x y x
AE AD x x x =
=⇒===∆∆∴=⇒=⇒=⇒=>（）同理可得：
(3)5
(4
6
,905
12661255
E C x AP AB DO BE H DHE DJE
HD x PBE PDH PFB PHD PB PB AP x x >>∆≅∆∴=∠=∠=︒∴∆∆∴
=⇒=⇒=由题意可知存在三种情况
但当在点左侧时ＢＦ显然大于４所以不合舍去当时如图）
延长，交于易证
5
4
,1261255
422
x P B DO PE H DHE EJD PBF PDH
BP BP x x AP <∆≅∆∆∆∴
=⇒=∴=-=当时点在点的右侧
延长交于点同理可得
J
2006年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷
25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）
已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。

以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。

（1）如图9，如果AP=2PB，PB=BO。

求证：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常数，且m〉1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。

当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用
含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。

25．（1）证明：2AP PB PB BO PO ==+=，2AO PO ∴=．
2AO PO
PO BO
∴
==． ·················
（2
分）
PO CO =，
··················· （1
分）
AO CO
CO BO
∴
=
．COA BOC =∠∠，CAO BCO ∴△∽△． ··· （1
分）
（2）解：设OP x =，则1OB x =-，OA x m =+，OP 是OA ，OB
的比例中项，
()()21x x x m ∴=-+， ················ （1
分）
得1m x m =
-，即1
m
OP m =-． ············ （1
分）
图9A
1
1
OB m ∴=
-． ·················· （1
分）
OP 是OA ，OB 的比例中项，即OA OP
OP OB
=
， OP OC =，OA OC
OC OB
∴
=
． ············· （1
分）
设圆O 与线段AB 的延长线相交于点Q ，当点C 与点P ，点Q 不重合时，
AOC COB =∠∠，CAO BCO ∴△∽△． ········ （1
分）
AC OC
BC OB
∴
=
． ·················· （1
分）
AC OC OP m BC OB OB ∴
===；当点C 与点P 或点Q 重合时，可得AC
m BC
=，
∴当点C 在圆O 上运动时，:AC BC m =； ······· （1
分）
（3）解：由（2）得，AC BC >，且()()11AC BC m BC m -=->，
()1AC BC m BC +=+，圆B 和圆C 的圆心距d BC =，
显然()1BC m BC <+，∴圆B 和圆C 的位置关系只可能相交、内切或内含．
当圆B 与圆C 相交时，()()11m BC BC m BC -<<+，得02m <<， 1m >，12m ∴<<； ···············
（1
分）
当圆B 与圆C 内切时，()1m BC BC -=，得2m =； ··· （1
分）
当圆B 与圆C 内含时，()1BC m BC <-，得2m >． （1分）
2007年上海市初中毕业生统一学业考试
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2），（3）小题满分各5分）
已知：60MAN =∠，点B 在射线AM 上，4AB =（如图10）．P 为直线
AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ （点B P Q ，，按顺时针排
列），O 是BPQ △的外心．
（1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在MAN ∠的平分线上； （2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交
于点C ，设AP x =，AC AO y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）若点D 在射线AN 上，2AD =，圆I 为ABD △的内切圆．当BPQ △的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．
25．（1）证明：如图4，连结OB OP ，， O 是等边三角形BPQ 的外心，OB OP ∴=，
········· 1分 圆心角3601203BOP ∠==． 当OB 不垂直于AM 时，作OH AM ⊥，OT AN ⊥，垂足分别为H T ，． 由360HOT A AHO ATO ∠+∠+∠+∠=，且60A ∠=，
90AHO ATO ∠=∠=，120HOT ∴∠=．
BOH POT ∴∠=∠．
···················· 1分 Rt Rt BOH POT ∴△≌△． ·················
1分
OH OT ∴=．∴点O 在MAN ∠的平分线上．
·········· 1分 当OB AM ⊥时，36090APO A BOP OBA ∠=-∠-∠-∠=．
即OP AN ⊥，∴点O 在MAN ∠的平分线上．
综上所述，当点P 在射线AN 上运动时，点O 在MAN ∠的平分线上．
（2）解：如图5， AO 平分MAN ∠，且60MAN ∠=，
30BAO PAO ∴∠=∠=． ··················
1分 由（1）知，OB OP =，120BOP ∠=，
30CBO ∴∠=，CBO PAC ∴∠=∠．
BCO PCA ∠=∠，AOB APC ∴∠=∠． ············
1分 ABO ACP ∴△∽△．
AB AO AC AP
∴=．AC AO AB AP ∴=．4y x ∴=． ·········· 1分
定义域为：0x >． ··················· 1分
（3）解：①如图6，当BP 与圆I
相切时，AO = ···· 2分 ②如图7，当BP 与圆I
相切时，AO =；········· 1分 ③如图8，当BQ 与圆I 相切时，0AO =． ·········· 2分
2008年上海市中考数学试卷
25．（本题满分14分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）
已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC
上
M
的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．
（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；
（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．
25．解：（1）取AB 中点H ，联结MH ， M 为DE 的中点，MH BE ∴∥，1()2
MH BE AD =+． ···· （1分） 又AB BE ⊥，MH AB ∴⊥． ·············· （1分） 12ABM S AB MH ∴=△，得12(0)2
y x x =+>； ······ （2分）（1分）
（2）由已知得DE =． ··········· （1分） 以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，
11
22MH AB DE ∴=+，即11(4)222x ⎡+=⎣
． ··· （2分） 解得4
3x =，即线段BE 的长为43； ··········· （1分）
（3）由已知，以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，
又易证得DAM EBM ∠=∠． ·············· （1分） 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①ADN BEM ∠=∠；②
ADB BME ∠=∠．
①当ADN BEM ∠=∠时，AD BE ∥，ADN DBE ∴∠=∠．DBE BEM ∴∠=∠．
DB DE ∴=，易得2BE AD =．得8BE =；
········· （2分） ②当ADB BME ∠=∠时，AD BE ∥，ADB DBE ∴∠=∠．
DBE BME ∴∠=∠．又BED MEB ∠=∠，BED MEB ∴△∽△．
DE BE
BE EM ∴
=，即2BE EM DE =，得2x = 解得12x =，210x =-（舍去）．即线段BE 的长为2． ··· （2分） 综上所述，所求线段BE 的长为8或2．
2009年上海市初中毕业统一学业考试
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，
第（3）小题满分5分）
已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q
在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB
=（如图8所示）． （1）当2AD =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段PC 的长；
（2）在图8中，联结AP ．当32
AD =，且点Q 在线段AB 上时，设点B Q
、之间的距离为x ，APQ
PBC S y S =△△，其中APQ S △表示APQ △的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图10所示），
求
QPC ∠的大小．
（2009年上海25题解析） 解：（1）AD=2，且Q 点与B 点重合，根
据题意，∠PBC=∠PDA ，因为∠A=90。

PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC
为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,
（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2，高分别是H，h，
则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2
S2=3*h/2 因为两S1/S2=y，消去H,h,得：
Y=-(1/4)*x+(1/2),
定义域：当点P运动到与D点重合时，X的取值就是最大值，当PC 垂直BD时，这时X=0，连接DC,作QD垂直DC，由已知条件得：B、Q、D、C四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC相似于三角形ABD
QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得：
直角三角形AQD中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2
直角三角形QBC中：3^2+x^2=(5t)^2
整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0
得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数:
Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8]
(3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ不垂直PC，则可以作一条直线PQ′
垂直于PC，与AB交于Q′点，
则：B，Q′，P，C四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：
PQ′/PC=AD/AB,
又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q′与点Q重合，所以角∠QPC=90。

2010年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A 与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.
（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE
的长；
（2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值；
（3）若1tan 3BPD ∠=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x
的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备用)
2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
2011年上海市初中毕业统一学业考试数学卷
25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13
EMP ∠=．
（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设
AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．
图 1 图 2
备用图
25. (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)
[解] (1) 由AE =40，BC =30，AB =50，CP =24，又
sin EMP =13
12
CM =26。

(2) 在Rt △AEP 與Rt △ABC 中，∵ EAP =BAC ，∴ Rt △AEP ~ Rt △ABC ，
∴ AC
BC AP
EP =，即40
30=x
EP ，∴ EP =4
3x ，
又sin EMP =
13
12tg EMP =
5
12=
MP EP 5
12=MP
x 43
，∴
MP =
16
5x =PN ，
BN =AB AP PN =50x
16
5x =50
16
21
x (0<x <32)。

(3) 當E 在線段AC 上時，由(2)知，1213
=
EP
EM
，即12
134
3=x EM ，EM =16
13x =EN ，
又AM =AP MP =x
16
5x =16
11x ，
由題設△AME ~ △ENB ，∴ NB
ME
EN
AM
=
，x x 16131611=x
x 16
21501613-，解得x =22=AP 。

當E 在線段BC 上時，由題設△AME ~ △ENB ，∴
AEM =EBN 。

由
外
角
定
理
，
AEC =EAB EBN =EAB AEM =EMP ，
∴ Rt △ACE ~ Rt △EPM ，
PM
EP
CE AC =，即x x
CE 16
54340
=，
CE =3
50…。

設AP =z ，∴ PB =50z ， 由Rt △BEP ~ Rt △BAC ，
BC
BA
PB BE =，即
z
BE -50=30
50，
BE =3
5(50z )，
∴CE =BC BE =303
5
(50z )…。

由
，，解350=30
3
5
(50z )，得z =42=AP 。