线性代数行列式基本概念

目录

一、行列式 (2)

二、矩阵特征值 (2)

三、正定矩阵 (2)

四、幺模矩阵 (3)

五、顺序主子阵 (4)

六、正定二次型 (6)

七、矩阵的秩 (6)

八、初等变换（elementary transformation） (7)

一、行列式

见ppt。

二、矩阵特征值

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

求矩阵特征值的方法

Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。

|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。

如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。

三、正定矩阵

设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量

X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

正定矩阵的性质：

1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩

2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。

四、幺模矩阵

英文名称

Unimodular Matrix

定义

数学上，幺模矩阵是所有项都是整数而且行列式为1或-1的方阵。而幺模矩阵的逆还是幺模矩阵，所以所有的幺模矩阵构成一个乘法群。

特殊的幺模矩阵

单位矩阵是一个特殊的幺模矩阵

矩阵的行初等变换对应于一个方阵，而其中交换两行的初等变换对于于左乘一个行列式为-1的幺模矩阵，将一行的k倍(k为整数)累加到另外一行对于与一个行列式为-1的幺模矩阵。

不定方程中的作用

对于二次型，我们可以将它写成矩阵形式f(x)=x'Ax，其中A是一个整系数对称方阵。如果T是一个幺模矩阵，那么二次型x'T'ATx和上面的二次型有相同的值域，也就是说不定方程x'Ax=c有解的充分必要条件是对某个幺模矩阵，不定方程x'T'ATx=c有解。

特别的，如果A是二阶或三阶的整系数正定对称矩阵，如果其行列式为1，那么存在幺模矩阵T使得A关于T合同与单位阵I,即A=T'T.

比如，利用这个结论，我们可以证明，任意一个正整数不能够表示成三个整数平方和的充分必要条件是它形如4^a(8k+7).为此，对于不是上面形式的整数n,我们只需要构造一个行列式为1的三阶整系数对称正定阵，其值域能够取到n即可。

计算机科学中的用途

在编译器优化中，幺模矩阵在对于循环语句的优化有着非常重要的作用。其中，关于循环语句的最常用的优化变换比如循环交换，循环倒置和循环扭曲都可以统一通过幺模矩阵来表示，以至于编译器中将这一类变换称为幺模变换。

五、顺序主子阵

概念

n 阶行列式的i 阶顺序主子式是i 阶主

顺序主子式一般形式

子式的特殊情况。

n 阶行列式的i 阶顺序主子式是在i 阶主子式的定义中，由1—i 行和1—i 列所确定的子式。

例如：

1阶时：

取第1行，第1列。

2阶时

：取第1、2行，第1、2列。

3阶时：

取第1、2、3行，第1、2、3列。

4阶时：

取第1、2、3、4行，第1、2、3、4列。

以此类推。

举例

对一个三阶（3x3）矩阵

顺序主子式

对于矩阵： a b c

d e f

g h i

一阶顺序主子阵

a

二阶顺序主子阵

a b

d e

三阶顺序主子阵

a b c

d e f

g h i

n阶矩阵A，顺序取A的前k行前k列构成的矩阵称为A的k阶顺序主子阵，其行列式称为A的k阶顺序主子式。

比如，有顺序138264 则此排列的顺序主子式（按从大到小或从小到大）为123468 或864321

应用

判断二次型正定

n元二次型是正定二次型的充分必要条件是二次型矩阵的顺序主子式全大于零。

矩阵的三角分解

n*n方阵A可以唯一分解为A=LDU的充分必要条件是A的前n-1个顺序主子式皆不为零，其中L是单位下三角矩阵，U是单位上三角矩阵，D=diag（d1，d2,...,dn),而d1=Δ1，dk=Δk/Δk-1（k=1，2，...，n），Δk为A的第k个顺序主子式。

六、正定二次型

见ppt。

七、矩阵的秩

概述

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k 阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA，或rankA 或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)¹ 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

例1. 计算下面矩阵的秩，

而A的所有的三阶子式，或有一行为零；或有两行成比例，因而所有的三阶子式全为零，所以rA=2。

矩阵的秩