第四章-正态分布与中心极限定理
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P{-2 <X<+2}=(2)-(-2)=2(2)-
1=95.44﹪，
P{-3 <X<+3}=(3)-(-3)=2(3)-
1=99.74﹪，
可见，服从正态分布的随机变量虽然取值在
(-∞，+∞),但其值落在(-3，+3)内几乎是 可以肯定的.这就是“3 ”法则.
19
正态随机变量的线性组合—再生性
定理2 设(1)X1
第四章 正态分布与中心极限定理
❖正态分布 ❖中心极限定理
1
4.1 正态分布
➢正态分布的密度与分布函数 ➢期望与方差 ➢标准正态分布的上分位点 ➢正态随机变量的线性组合
2
正态分布 —密度函数
若连续型随机变量X的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
,
2
其中， ( 0)为常数.
则称X 服从参数为，的正态分布，或高斯
(Gauss)分布. 记为 X N (, 2 ).
3
f (x)
正态分布 —密度函数图
性质(1)曲线关于x=对称.
(2)当x=时取到最大值.
(3)固定,改变，曲线沿 Ox轴平移；固定,改变,曲 线变得越尖，因而X落在附
近的概率越大.
o
x
4
正态分布 —分布函数
分布函数 F(x)
F(x)
1
x
(t )2
0.1,
x
500 60
0.9
1.282 ,
由 x的单调性知，
x 500 1.282, 60
即
x 576.92.
即当x 676.92时，才能使PX x 0.1.
16
例2
将一温度调节器放置在存储着某种液体的容
器内，调节器定在d℃，液体的温度X（以℃计） 是一个随机变量，且X～N(d,0.52). (1)若d=90，求X<89的概率；
同理可证：z 2 z1 2.
12
正态分布 —有关概率的计算问题
若X N , 2 , 则
(1)F
x
PX
x
P
X
x
x
.
(2)
f
x
F
x
1
x
.
(3)对任意的区间(x1, x2 ]
Px1
X
x2
P
xx21
Xx1
x，2
13
例1
某种器件的寿命X (以小时计)服从 500， 60的正态分布.
设X N 0,1, 则E X 0, D X 1.
因为
E Z t t dt 1
tet2 2dt
1
et2 2
0,
2
2
D Z E Z 2 t2 t dt 1 t2et2 2dt
2
1
tet2 2
1
et2 2dt 1.
2
2
8
正态分布 —期望与方差
1 P200 X 500 200
1
P
200 60
X
500 60
200
60
1
200 60
200 60
1
2
200 60
1
2
1
10 3
21 0.9996 0.0008.
15
(3)要求 PX x 0.1, 即要求 1 PX x 0.1,
即需
1
x
500 60
0.4 0.3 0.2
/2 0.1
-z-2 -1
/2
/2 z1 /22
11
标准正态分布—上α分位点的性质
（1） z 1.
(2) z1 z ,
事实上，
z 2 z1 2.
z1 PX z1 1 PX z1 ,
又因为，
z 1 z 1 PX z PX z . 由 x的单调性知：z1 z .
e 2 2 dt,
x R.
2
1
0.5
o
x
5
标准正态分布 —N(0,1)
密度函数
x
1
x2
e 2,
2
x .
分布函数
x 1 x et2 2dt, x .
2
性质 x 1 x, x R.
6
正态分布与标准正态分布的关系
定理1 若X ~ N (, 2 )，则Z X ~ N (0,1).
X d 0.5
80 d 0.5
1
P
X d 0.5
80 d 0.5
1
80 d 0.5
即
80 d 0.5
1
0.99
1
(2.327)
(2.327)，
亦即 80 d 2.327， 0.5
故需 d 81.1635.
18
例3 设X～N(,2)，
由(x)的函数表得到：
P{- <X<+}=(1)-(-1)=2(1)-1=68.26﹪，
N
1
,
2 1
, X2
N
2
,
2 2
,
(2) X1, X 2 相互独立.
则
X1 X 2
N
1
2
,
2 1
2 2
.
20
正态随机变量的线性组合
定理3 设(1)XiNFra biblioteki,
2 i
,
i 1, 2,
(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于
0.99，问d至少为多少？ 解 （1）所求概率为
P{X
89}
P
X 90 0.5
89 90
0.5
89 90 0.5
17
(2) 1 (2) 1 0.9772 0.0228.
(2)按题意需求d 满足
0.99
P{X
80}
P
(1)求PX 560,(2)求P X 500 200,
(3)若PX x 0.1,求x. 解 (1)PX 560 1 PX 560
1
P
X
500 60
560 500
60
1
560 500 60
14
1 1 1 0.8413 0.1587.
(2)P X 500 200 1 P X 500 200
称满足条件
PX
z
z
x dx
的点z 为标准正态分布的上 分位点.
常用的分位点
α 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10
z 3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282
10
标准正态分布 —上α 分位点
0.4 0.3 0.2 0.1
-2 -1
z1
2
设X N , 2 , 则E X , D X 2.
事实上，随机变量Z X N 0,1, 所以 E Z 0, D Z 1.
由 X Z,得
EX E Z , D X D Z 2DZ 2.
9
标准正态分布—上α分位点
设X N 0,1 . 对于给定的数(0 1),
证 Z X 的分布函数为
P{Z x} P X x P{X x}
1
2
e dt, x
(t )2 2 2
令t u，得 P{Z x} 1
x u2
e 2 du (x),
2
由此可知Z X ~ N (0,1).
7
标准正态分布—期望与方差
1=95.44﹪，
P{-3 <X<+3}=(3)-(-3)=2(3)-
1=99.74﹪，
可见，服从正态分布的随机变量虽然取值在
(-∞，+∞),但其值落在(-3，+3)内几乎是 可以肯定的.这就是“3 ”法则.
19
正态随机变量的线性组合—再生性
定理2 设(1)X1
第四章 正态分布与中心极限定理
❖正态分布 ❖中心极限定理
1
4.1 正态分布
➢正态分布的密度与分布函数 ➢期望与方差 ➢标准正态分布的上分位点 ➢正态随机变量的线性组合
2
正态分布 —密度函数
若连续型随机变量X的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
,
2
其中， ( 0)为常数.
则称X 服从参数为，的正态分布，或高斯
(Gauss)分布. 记为 X N (, 2 ).
3
f (x)
正态分布 —密度函数图
性质(1)曲线关于x=对称.
(2)当x=时取到最大值.
(3)固定,改变，曲线沿 Ox轴平移；固定,改变,曲 线变得越尖，因而X落在附
近的概率越大.
o
x
4
正态分布 —分布函数
分布函数 F(x)
F(x)
1
x
(t )2
0.1,
x
500 60
0.9
1.282 ,
由 x的单调性知，
x 500 1.282, 60
即
x 576.92.
即当x 676.92时，才能使PX x 0.1.
16
例2
将一温度调节器放置在存储着某种液体的容
器内，调节器定在d℃，液体的温度X（以℃计） 是一个随机变量，且X～N(d,0.52). (1)若d=90，求X<89的概率；
同理可证：z 2 z1 2.
12
正态分布 —有关概率的计算问题
若X N , 2 , 则
(1)F
x
PX
x
P
X
x
x
.
(2)
f
x
F
x
1
x
.
(3)对任意的区间(x1, x2 ]
Px1
X
x2
P
xx21
Xx1
x，2
13
例1
某种器件的寿命X (以小时计)服从 500， 60的正态分布.
设X N 0,1, 则E X 0, D X 1.
因为
E Z t t dt 1
tet2 2dt
1
et2 2
0,
2
2
D Z E Z 2 t2 t dt 1 t2et2 2dt
2
1
tet2 2
1
et2 2dt 1.
2
2
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正态分布 —期望与方差
1 P200 X 500 200
1
P
200 60
X
500 60
200
60
1
200 60
200 60
1
2
200 60
1
2
1
10 3
21 0.9996 0.0008.
15
(3)要求 PX x 0.1, 即要求 1 PX x 0.1,
即需
1
x
500 60
0.4 0.3 0.2
/2 0.1
-z-2 -1
/2
/2 z1 /22
11
标准正态分布—上α分位点的性质
（1） z 1.
(2) z1 z ,
事实上，
z 2 z1 2.
z1 PX z1 1 PX z1 ,
又因为，
z 1 z 1 PX z PX z . 由 x的单调性知：z1 z .
e 2 2 dt,
x R.
2
1
0.5
o
x
5
标准正态分布 —N(0,1)
密度函数
x
1
x2
e 2,
2
x .
分布函数
x 1 x et2 2dt, x .
2
性质 x 1 x, x R.
6
正态分布与标准正态分布的关系
定理1 若X ~ N (, 2 )，则Z X ~ N (0,1).
X d 0.5
80 d 0.5
1
P
X d 0.5
80 d 0.5
1
80 d 0.5
即
80 d 0.5
1
0.99
1
(2.327)
(2.327)，
亦即 80 d 2.327， 0.5
故需 d 81.1635.
18
例3 设X～N(,2)，
由(x)的函数表得到：
P{- <X<+}=(1)-(-1)=2(1)-1=68.26﹪，
N
1
,
2 1
, X2
N
2
,
2 2
,
(2) X1, X 2 相互独立.
则
X1 X 2
N
1
2
,
2 1
2 2
.
20
正态随机变量的线性组合
定理3 设(1)XiNFra biblioteki,
2 i
,
i 1, 2,
(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于
0.99，问d至少为多少？ 解 （1）所求概率为
P{X
89}
P
X 90 0.5
89 90
0.5
89 90 0.5
17
(2) 1 (2) 1 0.9772 0.0228.
(2)按题意需求d 满足
0.99
P{X
80}
P
(1)求PX 560,(2)求P X 500 200,
(3)若PX x 0.1,求x. 解 (1)PX 560 1 PX 560
1
P
X
500 60
560 500
60
1
560 500 60
14
1 1 1 0.8413 0.1587.
(2)P X 500 200 1 P X 500 200
称满足条件
PX
z
z
x dx
的点z 为标准正态分布的上 分位点.
常用的分位点
α 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10
z 3.090 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282
10
标准正态分布 —上α 分位点
0.4 0.3 0.2 0.1
-2 -1
z1
2
设X N , 2 , 则E X , D X 2.
事实上，随机变量Z X N 0,1, 所以 E Z 0, D Z 1.
由 X Z,得
EX E Z , D X D Z 2DZ 2.
9
标准正态分布—上α分位点
设X N 0,1 . 对于给定的数(0 1),
证 Z X 的分布函数为
P{Z x} P X x P{X x}
1
2
e dt, x
(t )2 2 2
令t u，得 P{Z x} 1
x u2
e 2 du (x),
2
由此可知Z X ~ N (0,1).
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标准正态分布—期望与方差