球形重力场中内部压强分布的计算思考

圆柱体积为：
V
圆柱
r h
2
3 2 2 2 2
1 2 3 n
h 、h 、h h
处的密度分别为：
1
2
Baidu Nhomakorabea
3
n
n
压强，计算起来相对比较繁琐。 此处需要注意的是：计算针对不同深度的密度产生的压强贡献，需要注 意深度
h 、地球半径 R 、地球平均密度 地球 的取值变化。
※（7）圆柱和圆台的体积和压强差异 圆柱压强的这种计算结果在大尺度的地球内部压强计算中，是和真实值 存在误差的。误差为：
3
地球
[ R ( R x) ] ( R x)
3 3 2
球壳
带入下式，得到深度 h 处压强为：
h
P g m
圆台 0
4 R [R (R x) ] R x G ( ) x 3 (R x) Rh 4 1 3R h h G h( ) [R ( Rh )] 3 Rh 2 4
h
P 液 g x
0
4 R 3 地球 [ R 3 ( R x)3 ] 球壳 液 G x 2 3 ( R x) 0
h
4 R2h ( ) h(2R h) G [ ] 3 Rh 2
地球 球壳 液 球壳
※（5）密度均匀球体的重力场的内部压强 如果我们把地球假设为密度均匀的物质构成的球体，那么在上式中，就 会有：

液
h
地球

球壳
。
因此，上式可变换为：
P
h
g m
0


0
4 R [R (R x) ] Rx G ( ) x 3 ( R x) Rh
3 3 3 2 2
4 3R h h G (R h Rh ) 3 (R h) 2 4
2 2 4 3 3 2
2
※（6）密度非均匀球体的重力场的内部压强的分步计算 由于地球密度的不均匀性，地球密度是由地表向地心，随着深度的增加 逐渐增加的。那么，要想估算地球内部压强，就必须清楚密度随深度变化之间 的关系。 因估算地球内部压强，
球形重力场中内部压强分布的计算思考
作者：张斌 电话：13825238619
摘要：本文主要讨论了重力场中压强计算的方法，认为在深度为 H 处液体压强 是倒圆台内的体积微元内质点的重力在深度为 H 上的积分；在相对于地球半径 而言，H 为大尺度（近地心）时，比现在能获得的资料估算出的结果要大。 关键词：大尺度 重力场 地球 内部压强 圆台 深度 计算 1、日常计算液体在重力场中压强公式................................ 2 2、大尺度上重力场产生的压强分析 ................................. 2 ※（1）重力加速度随深度变化之间的关系 ...................... 2 ※（2）重力加速度发生变化时的临界球心密度 .................. 4 ※（3）均匀重力场中液体压强................................ 6 ※（4）在球形重力场中液体压强 .............................. 8 ※（5）密度均匀球体的重力场的内部压强 ..................... 10 ※（6）密度非均匀球体的重力场的内部压强的分步计算 ......... 10 ※（7）圆柱和圆台的体积和压强差异 ......................... 11 ※（8）实际应用 .......................................... 13 3、大尺度大压强下由密度变化产生的压强误差 ....................... 14 4、关于本文计算结果的延展思考 .................................. 15 附录：利用 EXCEL 制作的公式计算器................................ 15 参考文献： ..................................................... 15
S g P x g x S
h h 液 液 0 0
S 为深度为x处时底面积
取
h
则：
P
0
m S x S g g
液
h 液
S
x
0
S
m
因
S 1，则单位圆上的压强为：
h
P g m
0
即：压强是重力加速度和密度的乘积在深度 h 上的积分。 也可认为是单位圆上承载的物质重量在深度 h 上的积分。 如果我们考虑重力加速度 g 的变化， 将 g 随 h 之间的函数关系带入上式， 那么 h 处的压强为：
5000 6000
5314.42 5499.32
25637.02 94738.75
其他深度的临界密度，可参考附录中我制作的 EXCEL 计算工具。
※（3）均匀重力场中液体压强 在相对于地球半径来说，高度不是太大的情况下，在地表重力场的方向 我们可以近似认为是均匀的，垂直于下平面的。
对于质量分布均匀的液体来说，我们在沿重力方向上取一竖直高为 h 的 液柱，柱底为单位圆，面积为 S，S=1 如果我们认为重力加速度 g 是常量 （不随深度变化） ， 液柱产生的压强可 表示为：

地球 的乘积替换，地球质量
M
可表示为：
4 M R 3
3
地球
带入[1]式，得：
4 g G ( R h) 3 4 R [ R ( R h) ] G 3 ( R h)
球心 3 3 3 地球 2
球壳
此式中，地球质量 M、万有引力常数 G、地球半径 R 都为常数。如果假 定球壳密度已知，重力加速度 g 为从地表向下深度 h 的函数。 或者也可以描述为，深度 h 处的重力加速度 g 仅与球心部分平均密度
我们可以看出单位圆 S 承载的是一个倒放的圆台。 我认为：单位圆承载的圆台的体积微元的重量在 h 上的积分应为 h 处的 近似压强。 针对此圆台，从地表下降高度为
x 时 ( x h) ， x 处圆台底面积为： Rx S ( r) Rh
2 x
体积微元为：
已知密度为

Rx V ( r ) x Rh
球壳 球心 2 2
3 3 3
[1]
如果我们知道球壳部分平均密度 则球壳和球心的质量可分别表示为：

球壳
，或球心部分平均密度

球心
，
4 M [ R ( R h) ] 3 4 M (R h) 3
3 3 球壳
3 球心 球心
球壳
如果我们将地球质量用体积和平均密度

液
球壳 ，式中原来的

2
球壳 应该是球壳的
平均密度，用 球壳 表示，将圆台压强表达式变换为：
4 P G 3
圆台
球壳
1 h( ) [R Rh
2 3
地球
3R h h ( Rh )] 2 4
3 2 球壳
如果地球内部密度是阶梯状跳跃式增加的，比如深度为：
、 、 则可分别根据其密度计算出不同位置的压强值。 然后对其求和， 计算出 h 处的

球心
相关。
※（2）重力加速度发生变化时的临界球心密度 根据重力加速度 g 随地表向下深度 h 变化表达式：
4 g G ( R h) 3
和地表重力加速度表达式：
球心
4 g G R 3
地球
如果深度 h 重力加速度 g 和地表重力加速度一致，有：
4 G ( R h) 3
我把这个计算结果叫圆柱压强。 如果估算地球内部压强，则

液
球壳
如果我们把地球假设为密度均匀的物质构成的球体，那么在上式中，就 会有：

液
地球

球壳
。
2
因此上式结果可表示为：
2 P G h(2 R h) 3
（当然，估算地球重力场中大尺度，不能用此公式。 ） 我在网上查到的相关资料，所估算的地球内部压强大致和以下公式：
2、大尺度上重力场产生的压强分析 压强产生的原因，是由于重力场的存在。没有重力，就不存在压强。下 面我们详细分析重力加速度、重力场分布对压强的影响。
※（1）重力加速度随深度变化之间的关系 在公式 P=ρgh 中， 我们是将液体的密度 ρ 和重力加速度 g 作为常量考虑 的。但是，我们通过万有引力公式，在不考虑地球自转的情况下，重力加速度 可用下式表示：
M 表示，距地表深度为 h 的球壳质量以 M
球壳 表示，
M
球心 表示，那么，在不考虑地球自转前提下，海平面以下深度为
h 的重力加速度可表示为：
G ( M M ) GM g ( R h) ( R h) 4 球壳部分体积为：V [ R ( R h) ] 3 4 球心部分体积为：V ( R h) 3
P % 1 P
误差越大。见下图（红色部分为误差部分） ：
圆柱
圆台
这种误差是由于圆台和圆柱的形状差异造成的。在越靠近球心处，这种
在 h 深度圆柱体积为，圆台体积为：
V
圆台
r
2
h

0
Rx r h ( ) x ( ) (R h h R ) Rh Rh 3
3 2 2 2 2
GM g R
2
从上式中不难看出，g 是受地球质量 M 和地球半径 R 共同影响的。 在球体内部，质点在进入大球体内部时，这个质点和这个大球体之间的 万有引力大小取决于：①该质点到大球体球心的距离、②质点的质量、③质点 到大物体球心为半径的大球内核的质量。 质点上面的大球球壳质量可不用考虑。 如果地球质量以 球心质量以
4 R h ( ) P G [ 3 Rh
2 地球 球壳 球壳
球壳
h(2 R h) ] 2
的计算结果相当。
※（4）在球形重力场中液体压强 实际的重力场是放射状的，见示意图
从图中我们可以看出，如果 h 相对于地球半径来说不可忽略，我们在 h 处水平取一单位圆 S ，面积为 S=1, 半径为 r。
球心
4 G R 3
地球
则据此可求出深度 h 处球心部分平均密度：

当
球心
R ( R h)
地球
地球

球心
R ( R h) R ( R h)
深度 h 处重力加速度较地表是下降的。
当
球心
地球
深度 h 处重力加速度较地表是上升的。
因此，表达式：
R ( R h)
h 3 3 3 地球 球壳 2 2 液 0
2 3 2 3 2
液 地球 球壳
如果估算地球内部压强，则

液
球壳
我把这个计算结果叫圆台压强。 利用此公式可估算地球内部不同深度的压强。
正是重力场在大尺度上具有球形放射性特点，在不考虑密度随压力变化 情况下，我认为用此公式来估算地球内部压强才是大致正确的。
2
液 ，则质量微元为：
Rx m V ( r ) x Rh Rx 因 h 处底面 S r 1，有： m ( ) x Rh 根据上面讨论结果，重力加速度是深度 x 的函数，在 x 处重力加速度为：
2 液 液
2
2
液
4 R g G 3
地球
可看作是重力加速度发生变化时的该深度 h 处的临界球心平均密度值。 根据上式，可计算出距地表不同深度，重力加速度发生改变时的临界球 壳、球心平均密度要求，见下表： 距地表深度 （千米） 1 10 100 1000 临界密度值（千克/立方米） 球壳 3678.25 3680.85 3706.98 3981.57 球心 5517.81 5525.61 5604.92 6544.11
1、日常计算液体在重力场中压强公式 我们在计算液体压强的时候都是利用公式：
P P + gH
0
P : 为液体在距液面深度为H 处的压强 P : 为液体在液面处的压强
0
: 液体的密度
g : 重力加速度 H :距 液 面 深 度
所以在不太深的液体我们可以近似地用此公式计算。 对于一定的液体而言，压强和深度之间可看作线性关系。 我们在实际生活中也正是利用此公式， 很方便的知道不同深度液体所产生的 压强的。