箱式约束下的广义几何规划问题的一种有效算法

的； 这样我们就很容易得到函数 （ ） ［， ］ 的非负上界 和下界线性 逼近函数 ， ｙ在 】 ～， 上 分别记作 （ ） ｙ 和墨 （ ）则 ： Ｙ，
Ｌ ， ：ＫＹ＋（ｘ （ 一ＫＹ ） （） ， ｅ ｐＪ ） ，
…
（） ３
】｛（ ，Ｏｎ，；， ，ｊ １＋ｅ１ ０ Ｋ） —Ｋ ≥ ｅ ＋】ｘ ） ｘ Ｙ， ｐ） ｐ ｙ 一Ｉ Ｋ（
凸问题 Ｇ Ｐ等价地 转化 为求解一系列线性规划问题 Ｒ Ｐ， Ｇ Ｌ 并通过对可行域的连续细分 以及一系列线性规 划问题 的解 ， 而给 出问题 Ｇ Ｐ的一个新的分支定界算法 ， 从 Ｇ 并最后证明 了这个算法具有全局 收敛性。 关键词 ： 广义几何规划； 线性规 划； 支定界算法 ； 分 全局收敛
ｉｊ ｅ， ／
『 『 ≤
Ｉ （） Ｊ １
（） ２
ｍｘ ，．ｎ ≤ｎ， ａ∑丫，，， 『 ． ｆ Ｉ ｉ ； “
设 ， 分别是 问题 （ ） （ ） １ ，２ 的最优值 ， √＝Ｏ １ ， 埏 ，… ｍ。 显然 函数 Ｙ ）＝ｅ （ 在 （一。 ＋∞） 凸函数且 是严 格单调 增 函数 ， 据指 数 函数 的性 质证 明是 显然 ｘ １ ｐ ） 。， 是 根
箱 式约 束下 的广 义几 何 规划 问题 的一 种有 效 算 法
山文绪 ， 书杰 景
（ 南理 工 大 学 数 学 与信 息 科 学 学 院 ， 南 焦 作 ４ ４０ ） 河 河 ５ ０３ 摘 要 ：通过 指 数 函数 变 换 ， 用 正定 目标 函数 和 约束 函数 的线 性 下 界 估 计 ， 立 Ｇ Ｐ的松 弛 线 性 规 划 ， 利 建 Ｇ 将原 来 非
７
月
Ｇ Ｐ ｆ） Ｇ （２
．
Ｃ（ ： ，ｘ（ ｐｙ ∑ ，ｐ ｊ） ｅ Ｅ ） １ ≤，
１ ｉ ：１
∈ ｛ Ｉ／ Ｙ≤ｎ，∈ ） １ 。 Ｑ＝ ： ， ， Ｉ ， Ｎ ， ， ｎ≤ ｉ ＝ …，
收 稿 日期 ： ０ ０ ０ ． １ ２ １ －９２
作者 简介： 山文绪 （９ ８ ） 男， １７ － ， 河南南阳人， 硕士研究生 ， 主要从事最优化理论与方法研究。
中 图 分 类号 ： ２ １ ０ ２ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ８ ０ ３ ２ ０ ０ ０４ ０ １０ —２９ （ ）６— ０ ２— ４
ｍ
１ 引 言
本 文考虑下 面 的广 义几何 规划 Ｇ Ｐ问题 ： Ｇ
‰
ｌ ｌ
＝
∑
％
ＧＧＰ （ ） ： Ｑｏ
１ 上述 Ｇ Ｐ问题 已广泛应 用于实 际应 用 中 ， ） Ｇ 特别 在 任务 管 理 ， 生产 管理 及 化 学平 衡 等 ¨ 都有 广 泛 的应 用 ， 由于 Ｇ Ｐ问题在 表示式 中 出现非 凸项 以及 存在 多 个局 部极 值 和可 能 出现 的非 凸 可行 域 ， 目前 为止 ， 但 Ｇ 到 求全局性 判定 准则 十分缺乏 ， 使得求解 起来 十分 困难 ， 目前 求解 Ｇ Ｐ局 部优 化方法有 多种 Ｊ而 已有 的全 而 Ｇ ， 局优化算 法都是 针对 Ｇ Ｐ的特 殊形式进行 讨论 的 ， 二次规划 ， Ｇ 如 双线性规 划等 Ｊ这 些方法 采用不 同的线 性 ，
∑
兀
， ｝ ：， Ｑ ： ０ ｌ 誓 ｂｉⅣ ， １ 。 『 ｉ ／ …，
其 中 （＝ ，… ， 表示 ， 中项 指标 的集合 ， ＞０， （ ＝１… ， ， 非零 的实常 数 。 Ｊ ０ １ ｍ） ＿ （ ） ／ ｊ ， ｍ） ’ 是 － ，
第ｌ ８卷 第 ６期
２１ ００年 １ 月 １
河南机电高等专科学校学报
Ｊｕ ａ ｏ ｎｎＭ ｃａｉ ｌ ｎ ｌｃ ｉ ｌ ｎｉｅｒ ｇＣｌ ｇ ｏｒ ｌｆ ｎ Ｈｅａ ｅｈｎｃ ｄＥｅｔｃ ｇｎｅｉ ｏ ｅｅ ａａ ｒａＥ ｎ ｌ
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ６ １１ ． ＮＯ ． ０ｌ Ｖ２ Ｏ
化 技术求 解 问题 ， 随着算法 的进行使 得产生 的松弛 线性 规划 中变 量 的个 数 急剧增 加 ， 以处 理大 规模 问 但 难 题 。本文 给 出一个新 的线性 化技术 ， 用指数 函数变换 以及 对 正定 目标 函数 和约束 函数 的线 性 下界 估计 ， 使 可 将原 非 凸问题 Ｇ Ｐ等价 地转化 为线性规划 问题 Ｒ Ｐ Ｇ Ｌ 。通 过对可行 域 的连 续细分 以及一 系列 线性 规划 问题 的 解 ， 明了若 Ｇ Ｐ的最 优解存在 ， 证 Ｇ 则算 法能 收敛 到 Ｇ Ｐ的全局 最 优解 。该线 性方 法 能处 理 一般 的广 义几 何 Ｇ 规划 问题 ， 产生 松 弛线性规划 的过程 没 有增 加新 的变 量和 约束 ， 且 在计 算上 更 加 简单 和 方便 ， 具 有 实用 价 更 值。 ∈ 那 么原 问题 Ｇ Ｐ可转化 为 ： Ⅳ， Ｇ
，、
，
，
＜ｏ ，
（） ４
其中 ：ｅ— ＇ — ｐＹ ｘ（ ）
－ —
ｅ ｘ
ｐＹ） （＇
—
：
，
】 ， ＋１ ｎ 。 一ｌ
由此 ， 我们很 容易 得 到在 区间 ［ ， ］ 上存 在 ：
（ ） ｘ （ ） （ ） 】 ≤ｅ ｐｙ ≤ 】 ， ， ，
并 且对 于 ≤） ＜ｌｕ ，＝１ … ， 有 ： ， 。 ， ｎ ｉ ， 凡， Ｙ ≤ｌ ￣ ≤ 为 了简便 起见并 不 失一般 性 ， Ｇ Ｐ中 的任 意 函数 ￣ （ ） ＝１ … ， 不 妨假 定 当 ｔ ， ， 时 ＞ 对 Ｇ Ｐ Ｙ（ ｊ ， ｍ） ＝１ … ０，
４ ２
山文绪 等 ： 箱式约束下的广义 几何规划 问题 的一种有 效算 法
下 面我们 只考虑 Ｇ Ｐ（ 的求解 ， 了方便 我们不 妨 仍简 称 为 Ｇ Ｐ， 们 首先 求 以 下 ２￣ ｉ 性规划 Ｇ Ｑ） 为 Ｇ 我 ｏ 个线 Ｔ
ｉ
问题 的最 优值 ：
・
ｍｊ ｎ ， ， ，． ｅ． ，