第八章第五节

y2 整理得 x － ＝4mn， 3 1 又 mn＝ ， 4
2
y2 ∴P 点的轨迹方程为 x2－ ＝1(x＞0)． 3 它表示以原点为中心，焦点在 x 轴上，实轴长为 2，焦距为 4 的双 y2 曲线 x － ＝1 的右支． 3
2
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做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．
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如图8－5－3所示，一动圆与圆x2＋y2
＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x
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(1)当 λ＝1 时，即|MA|＝|MB|时， 点 M 的轨迹方程是 x＝0，点 M 的轨迹是直线(y 轴)． a1＋λ2 2 2 4a2λ2 (2)当 λ≠1 时，点 M 的轨迹方程是(x＋ ) ＋y ＝ ， 1－λ2 1－λ22 a1＋λ2 2aλ 点 M 的轨迹是以(－ ，0)为圆心，| |为半径的圆． 1－λ2 1－λ2
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→ → → (2)设 P(x，y)(x＞0)，由OP＝OA＋OB， 得(x，y)＝(m， 3m)＋(n，－ 3n)＝(m＋n， 3m－ 3n)．
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【解析】 【答案】
由xy＜0知，曲线在第二、四象限，故选C. C
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3．若M、N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的 轨迹是(
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)
A．圆
C．双曲线
B．椭圆
D．抛物线
→ PN → 【解析】 ∵PM· ＝0， ∴PM⊥PN， ∴点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．
【答案】 A
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－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方 程，并说明它是什么样的曲线？
【解】 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，设已知圆
的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：(x＋3)2＋y2 ＝4，(x－3)2＋y2＝100. 当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|＝R＋2， 当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|＝10－R，
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在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x， y)＝0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上点的坐标都是________________． 这个方程的解
(2)以这个方程的解为坐标的点都是_______________．那么这 曲线上的点 个方程叫做______________，这条曲线叫做____________． 曲线的方程 方程的曲线
【思路点拨】
设抛物线的焦点为F，利用抛物线的定义可得：
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|AF|＋|BF|＝8，从而点F的轨迹是椭圆，又当点F与点A、B在一 条直线上时，不合题意，故应除去两点．
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用定义法求轨迹方程 (2012· 佛山模拟)如图8－5－2，
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圆O：x2＋y2＝16，A(－2,0)，B(2,0)为
两个定点．直线l是圆O的一条动切线， 若经过A、B两点的抛物线以直线l为 准线，求抛物线焦点的轨迹方程．
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1．解答本题时，易忽视点(－4,0)和(4,0)不合要求，致使 答案错误．
2．求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系
满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定 义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫
【思路点拨】 设M(x、y)，P(x1，y1)，用x、y表示出x1，y1代
入双曲线方程求解．
【尝试解答】 设M(x，y)，P(x1，y1)，则 Q(x1，－y1)， ∵A1(－ 2，0)，A2( 2，0)
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→ OB → 【尝试解答】 (1)由 OA · ＝(m， 3 m)· (n，－ 3 n)＝－ 2mn. 1 1 得－2mn＝－ ，∴mn＝ . 2 4
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① ②
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将①②两式相加，得|O1M|＋|O2M|＝12＞|O1O2|， ∴动圆圆心M(x，y)到点O1(－3,0)和O2(3,0)的距离和是常数 12， 所以点M的轨迹是焦点为O1(－3,0)、O2(3,0)， 长轴长等于12的椭圆． ∴2c＝6,2a＝12，∴c＝3，a＝6， ∴b2＝36－9＝27， x2 y2 ∴圆心轨迹方程为 ＋ ＝1，轨迹为椭圆． 36 27
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1．如果曲线与方程只满足第(2)个条件，会出现什么情况？
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【提示】
若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上
的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线 的方程，如分段函数的解析式．
(2)写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；
(3)用坐标表示P(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简．
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝
0，则C1 、C2 的交点坐标即为________________________的实 方程组 数解． 无解 若此方程组_________，则两曲线无交点．
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2．求曲线方程的一般步骤 有序实数对(x，y) (1)建立适当的坐标系，用______________________表示曲线 上任意一点的坐标；
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1．解答本题(2)时，根据
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利用第(1)问的
结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键．
2．如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直线
有关的几何量的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x， y的等式，从而可直接得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法 称为直接法． 3．求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，以免增解， 如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支.
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已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ，求点 M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
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【解】 建立直角坐标系如图所 示，设|AB|＝2a，则A(－a,0)， B(a,0)， 设M(x，y)是轨迹上任意一点， |MA| 则由题设，得 ＝λ(λ＞0)，坐 |MB| x＋a2＋y2 标代入，得 ＝λ，化简得 2 2 x－a ＋y (1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2a(1＋λ2)x＋(1 －λ2)a2＝0.
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，故选D. 【答案】 D
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用直接法求轨迹方程
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如图8－5－1，A(m， 3 m)和 B(n，－ 3n)两点分别在射线OS，OT 1 → OB → 上移动，且OA· ＝－ ，O为坐标原 2 → → → 点，动点P满足OP＝OA＋OB. (1)求mn的值； (2)求动点P的轨迹方程，并说明 它表示什么曲线？
2．轨迹与轨迹方程相同吗？
【提示】 不同．前者为图形包括轨迹的形状、方程、图形等，
而后者仅指方程．
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1．(教材改编题)若动点P到点O(0,0)的距离和到点A(c,0)的距 离的平方差为常数c(c≠0)，则点P的轨迹方程是( ) A．x2＋y2＝c2 B．x2－y2＝c2 c＋1 c C．x＝ D．x＝ 2 2
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②÷ ①整理得xx1＝2， 2 ∴x≠0，x1＝ ， x 2 2y 将x1＝ 代入①得y1＝ ， x x x2 2 ∵点P(x1，y1)在双曲线 －y ＝1上， 2 x2 2 2 2y2 x2 2 1 ∴ －y1＝1，∴ 2－ 2 ＝1，∴ ＋y ＝1， 2 x x 2 x2 故轨迹E的方程为 ＋y2＝1(x≠0，且x≠± 2)． 2
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用代入法(相关点法)求轨迹方程
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x2 已知双曲线 －y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点 2 P、Q是双曲线上不同的两个关于x轴的对称点．求直线A1P与 A2Q交点M的轨迹E的方程．
【解析】 设P(x，y)，由题意知(x2＋y2)－[(x－c)2＋y2]＝c c＋1 化简得x＝ . 2
【答案】 D
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2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是(
)
【尝试解答】 过点A、B、O分别作直线l的垂线，垂足分 别为A′、B′、O′. ∵|AO|＝|BO|， ∴|AA′|＋|BB′|＝2|OO′|＝8， 设抛物线的焦点为F，则|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝8， 又|AB|＝4， ∴点F的轨迹在以点A、B为焦点的椭圆上， x 2 y2 设所求椭圆方程为 2＋ 2＝1， a b 则a2＝42＝16，b2＝42－22＝12， x2 y2 ∴抛物线焦点的轨迹方程为 ＋ ＝1(x≠± 4)． 16 12
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1 1 4．(2012· 河源质检)已知点 F( ，0)，直线 l：x＝－ ，点 B 是 4 4 l 上的动点．若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线 交于点 M，则点 M 的轨迹是( )
A．双曲线 C．圆 【解析】 B．椭圆 D．抛物线 由已知：|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，
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第五节 曲线与方程
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Hale Waihona Puke Baidu
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1．曲线与方程