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中考数学综合专题训练【几何综合题】精品

专题解析

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键．解几何综合题，还应注意以下几点：

⑴注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造

基本图形．

⑵掌握常规的证题方法和思路．

⑶运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用

数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）．

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】（南充，10分）⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE 的中点．

（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长．

解：（1）证明：连接OD，AD． AC是直径，

∴AD⊥BC．⊿ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．

又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角，

∴∠C＝∠BED．

故∠B＝∠BED，即DE＝DB．

点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径，

即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．

故OD⊥DF ，DF是⊙O的切线．

（2）设BF＝x，BE＝2BF＝2x．

又 BD ＝CD ＝21

BC ＝6， 根据BE AB BD BC ⋅=⋅，2(214)612x x ⋅+=⨯． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）． 则 BF 的长为2．

点拨：过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线，所以要证明一条直线是否是此圆的切线，应满足这两个条件才行．

【例2】（重庆，10分）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD 。

证明：因为∠ABD ＝∠ACD ，∠BDE ＝∠CDE

而∠BDE ＝∠ABD ＋∠BAD ，∠CDE ＝∠ACD ＋∠CAD 所以 ∠BAD ＝∠CAD ，而∠ADB ＝180°－∠BDE ∠ADC ＝180°－∠CDE ，所以∠ADB ＝∠ADC 在△ADB 和△ADC 中，

∠BAD ＝∠CAD AD ＝AD

∠ADB ＝∠ADC

所以 △ADB ≌△ADC 所以 BD ＝CD 。 （注：用“AAS ”证三角形全等，同样给分）

点拨：要想证明BD=CD ，应首先观察它们所在的图形之间有什么联系，经观察可得它们所在的三角形有可能全等．所以应从证明两个三角形全等的角度得出，当然此题还可以采用“AAS ”来证明．

【例3】（内江，10分）如图⊙O 半径为2，弦BD ＝32

，A

为弧

BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。求：四边形ABCD 的

A

B

C

D

E

面积。

解:连结OA 、OB ，OA 交BD 于F 。

⎭

⎬

⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧

1AF 1OF =⇒=⇒ ABD 1

S BD AF 2

∆⇒=

⋅=ADE CDE ABE CBE AE CE S S ,S S ∆∆∆∆=⇒==

322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形

【例4】（博兴模拟，10分）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A 、B 、CD 正好位于一个正方形的四个顶点．现计划在四个村庄联合架一条线路，他们设计了四种架设方案，如图2－4－4中的实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

解：不妨设正方形的边长为1，显然图2－4－4⑴、⑵中的线路总长相等都是3．

图2－4－4⑶中，利用勾股定理可求得线路总长为2 2 ≈2．828． 图2－4－4（4）中，延长EF 交BC 于H ，由 ∠FBH ＝30°，BH=1

2 ，

利用勾股定理，可求得121FH EF FH ∴=-=

所以⑷中线路总长为：

4EF+EF=4(11 2.732.-=+≈

显然图2－4－4⑷线路最短，这种方案最省电线．

点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股未理讲行计算线路长，然后通过比较，得出结论．

【例5】（绍兴）如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F ，AH ⊥BE 于H ，连结EF 。

⑴求证：∠CEF ＝∠BAH,⑵若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。

⑴证明：∵CE 切⊙O 于E ， ∴∠CEF=∠EBC ，

∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90° ∴∠ABE+∠EBC=90°，

∵AH 丄BE ，∴∠ABE+∠BAH=90° ∴∠BAH=∠EBC ，∴∠CEF ＝∠BAH

⑵解： ∵CE 切⊙O 于E ∴CE 2

=CF ·BC ，BC=2CE=6

∴CE 2

=CF ·6，所以CF= 32 ∴BF=BC-CF=6－32 =92

点拨：熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键．

Ⅲ、综合巩固练习：（100分；90分钟） 一、选择题（每题3分，共21分）

1．如图2－4－6所示，是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的

光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1．2米， 桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）

A ．0．036π平方米;

B ．0．81π平方米;

C ．2π平方米;

D 、3．24π平方米

2．某学校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛，同学们设计出正三角形、正方形和圆三种方案，其中使花坛面积最大的 图案是（ ） A ．正三角形; B ．正方形; C ．圆; D ．不能确定

3．下列说法：①如果两个三角形的周长之比是1：2，那么这两个三角形的面积之比是1：4；②平行四边形是中心对称图形；③经过三点有且只有一个圆；④相等的角是对顶角，其