常见曲面

4
其中对于 t 的每一个值,由(1.4)确定的点(x,y,z)在Г上， 而Г上任一点的坐标都可由 t 的某个值通过(1.4)表示。
5
例1：求以 x0, y0, z0 为球心,R为半径的球面方程。
解:球面上任一点(x,y,z)到球心的距离为R,因此它
满足方程 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 , (1.5)
反之,满足(1.5)的任何点 x, y, z 到 x0, y0, z0 的距离为
R,因此属于球面。因而,(1.5)是球面方程。 下面建立球面的参数方程。设球心在原点,半径为
R,在球面上任取一点M(x,y,z),从M作xOy面的垂线,垂足
为N,连OM,ON。设x轴到ON 的角度(逆时针方向)为 , ON 到 OM 的角度为 (M在xOy面上方时, 为正,反之
柱面,而曲线

F1
(
x,
y)

0,
z 0.
称为空间曲线C在xOy面上的投影曲线。 利用（2.3）
中的两个投影柱面来讨论曲线C，有时比利用(2.2)要容
易且清楚些。 例3:讨论曲线
x2

x
2

y2 y2

z2 1

1
的图形。
将方程化简为等价的方程组
x2 y2 1, z 0. 由此可知,它是xOy面上以原点为圆心的单位圆。
20
例1：方程
x2 a2
y2
b2
1 表示母线平行于z轴的柱面,
它与xOy面的交线是椭圆
x2 y2

a
2

b2
1,
z 0.
因而这个柱面称为椭圆柱面 (如图3.4)。
21
图3.4
22
例2:方程
x2 a2

y2 b2
1, x2
2 py
分别表示母线平行
于z轴的双曲柱面、抛物柱面(如图3.5,图3.6(p>0))。 设空间曲线C的方程为
2
如 果 曲 面 S 上 点 的 坐 标 表 示 成 两 个 参 数 (u,v) 的
函u I1,v I2, I1, I2
数,
都是区间由它们给出的方程组
x f1 (u, v),

y

f2 (u, v),
u I1,v I2
(1.2)
z f3 (u, v),
称为曲面S的参数方程,其中对于(u,v)的每一对值,由 (1.2)确定的点(x,y,z)在S上;而S上任一点的坐标都可
点M(x,y,z)在此柱面上当且仅当C上有一点
M0 ( x0 , y0 , z0 ),使M在过 M0且方向为 v (0,0,1) 的母线上,
18
即有
f ( x0 , y0 ) 0,

z0 x

0, x0 ,

y

y0 ,
z z 0 u.
消去 x0 , y0 , z0 , 得 f ( x, y) 0, z u.
由于参数u可取任意值,所以,柱面方程为
f ( x, y) 0.
19
反之,任给一个不含z的三元方程g(x,y)=0,我们考虑
以曲线 C ' ：
g( x, y) 0, z 0.
为准线,以 v (0, 0,1) 为母线方向的柱面,由上述讨论
知道,这个柱面的方程为g(x,y)=0,因此,方程g(x,y)=0 表示一个母线平行于z轴的柱面。
第三章 常见曲面
§1 空间曲面和空间曲线的方程 §2 柱面和锥面 §3 旋转面 §4 二次曲面 §5 直纹面 §6 作简图 返回
1
§1 空间曲面和空间曲线的方程
设空间中有曲面S。如果曲面S上每一点的坐
标都满足方程
F( x, y, z) 0,
(1.1)
反之,任何满足方程(1.1)的数组(x,y,z)一定是曲面S 上的某个点的坐标,那么方程(1.1)就称为曲面S的一般 方程，曲面S称为方程(1.1)对应的曲面.
3.7所示。
27
z
y
O
x 图3.7
28
2.锥面 定义2.2:空间中过一定点 M0 且与定曲线C相交的
动直线 l 所产生的曲面叫做锥面,定点M0 称为锥面的 顶
点,定曲线C叫准线,动M0直 x线0, yl0称, z0为 母线。
设锥面的顶F点1( x, y, z) 0,, 准线C的方程为 F2 ( x, y, z) 0.
v (1.7)
z v,
这是圆柱面的参数方程。
10
z
o
y
u M
x
图3.2 11
消去参数u,v,得到圆柱面的一般方程
x2 y2 R2.
空间中任一点M(x,y,z)必在以R x2 y2为半 径,以z轴为对称轴的圆柱面上,由圆柱面的参数方
程(1.7)知,圆柱面上的点被数偶(u,v)所确定,从而点
的坐标,那么称(1.3)为曲线Г的一般方程，曲线Г称为
方程组(1.3)对应的曲线。空间曲线可视为两曲面的交
线。
如果曲线Г上点的坐标是某个参数 t I的函数, I是
区间,由它们给出的方程组

x y

1(t ), 2 (t ),
t I,
(1.4)

z


3
(t
),
称为曲线Г的参数方程。
9
例2:求以Oz为对称轴,到对称轴的距离为R
的圆柱面方程,其中，R称为圆柱面的半径。
Байду номын сангаас
解:设点(x,y,z)为柱面上的点，取参数u,v,
其中，z=v，u 为过z轴及点(x,y,z)的平面与xOz
面所成的角(图3.2)，于是得到
x Rcos u, 0 u 2 ,

y

R sin
u,
所产生的曲面称为柱面。l 称为母线,C称为准线。
对于一个柱面,它的准线和母线都不唯一,但母线方
向是唯一的(平面除外)。与每一条母线都相交的曲线均
可作为准线。
设柱面的准线C为

F1 F2
( (
x, x,
y, y,
z) z)

0, 0.
母线方向为v (l, m, n) ,我们来求柱面的方程。
14
点M(x,y,z)在此柱面上当且仅当M在某一条母线上,
即准线C上有一点 M0 ( x 0 , y0 , z0 ),使M在过M0且方向为 v 的
直线上(如图3.3)。因此,有
F1( x0 , y0 , z0 ) 0,

F2 ( x
x0 , x0
y0 , z0 lu,
)

0,
(2.1)

y

y0

mu,
z z 0 nu.
15
M0 (x0, y0, z0 )
C
v
M (x, y, z)
图3.3
16
消去 x0 , y0 , z0 ,得
FF12
( (
x x

lu, lu,
y y

mu, mu,
z z

nu) nu)

0, 0.
(1.2)
再消去参数u,得到x,y,z的一个方程,就是所求柱面
cos(OM,e3) cos
于是得
x2 y2 z2 tan2 0. (2.4)
33
一个函数F(x,y,z)称为k次齐次函数,如果以tx, ty, tz
代替x,y,z时,有 F (tx, ty, tz) t kF ( x, y, z).
26
例4：讨论曲线
2 x 2

2
x
2

z2 4y 4z 3z2 4 y 12z
的图形。
解:消去y得 x2 z2 4z 0, 消去z得 x2 4 y 0，
因此方程组等价于 x2 ( z 2)2 4,

x
2

4
y

0.
第一个方程表示圆柱面,第二个方程表示抛物柱面,如图
R= OM 为半径的球面上,而球面上的点(除去它与z轴的
交点外)又由参数( , )唯一确定,因此,除去z轴外,空间
中的点M由有序三数组( R, , )唯一确定,我们把
(R, , )称为空间中点M的球面坐标,其中,
R

0,




2
,

2

。点M的球面坐标(
R,
,
)
与M直角坐标(x,y,z)的关系由(1.6)给出。
由 (u,v)的某一对值通过(1.2)表示。于是通过曲面的参数 方程(1.2),曲面上的点(可能要除去个别点)便可由数对 (u,v)来确定。
3
设空间中有一条曲线Г,如果曲线Г上每一个点的
坐标都满足方程组
F( x, y, z) 0, G( x, y, z) 0,
(1.3)
反之,任何满足(1.3)的数组(x,y,z)都是曲线Г上某个点
M(z轴上的点除外)被唯一的有序三数组(R,u,v) 确
定。(R,u,v)称为点M的柱面坐标。点M的柱面坐标
与直角坐标的关系是
x Rcos u,

y

Rsin u,
z v,
R 0,
u[0, 2 ),
v (, ).
(1.8)
12
例3:我们用平面x+y+z=0去截圆心在原点、
F( x, y, z) 0,
G( x, y, z) 0.
(2.2)
如果我们可以在方程组(2.2)中分别消去坐标y和z后得 到与之等价的方程组
F1 ( x, y) 0, G1 ( x, z) 0.
(2.3)
23
z
y
x
O
图3.5
24
z
y
o
x
图3.6
25
则由定理2.1,方程组(2.3)中F1( x, y) 0, 表示母线平行于 z轴的柱面,此柱面称为空间曲线C向xOy面投影的投影
17
定理2.1:若一个柱面的母线平行于z轴,则它的方程 中不含z。反之,一个三元方程如果不含z,则它一定表示 一个母线平行于z轴的柱面。
证明：设一个柱面的母线平行于z轴,则此柱面的每 一条母线一定与xOy面相交,从而柱面与xOy面的交线C 可以作为准线,设C的方程为
f ( x, y) 0, z 0.

F2 x1
( x1 , y1 , z1 ) 0, x0 ( x x0 )u,

y1

y0
(y
y0 )u,
z1 z0 ( z z0 )u.
消去 x1 , y1 , z1 , 得
FF12
( (
x0 x0

( (
x x

x0 x0
)u, )u,
为负)(见图3.1),
6
M R
N
图3.1
7
则有
x R cos cos , 0 2

y

R
cos
sin
,

(1.6)
z R sin ,
2
2
就是球心在原点,半径为R的球面的参数方程, 称为经
度,θ称为纬度。
8
因为空间中任一点M(x,y,z)必在以原点为球心,以
的方程。
如果柱面的准线方程用向量参数形式表示为
r1(s) ( x1(s), y1(s), z1(s)), s I1, 则柱面方程的向量参 数形式为 r(s, t) r1(s) tv, s I1, t (, ).
由§1中的例2知道,母线平行于z轴的圆柱面方
程中不含z,这个结论对于一般的柱面也成立。
半径为R的球面，就可得空间中的一个圆，其方
程 为
x2 y2 z2 R2，
x y z 0.
x2 y2 R2
用该平面去截柱面
，就可得空间中的
一椭圆
x2 y2 R2，
x y z 0.
13
§2 柱面和锥面
定义2.1:空间一直线 l 沿着一条曲线C平行移动时
我们来求这个锥面的方程。
29
C
M1 x1, y1, z1
·M x, y, z
M0 x0 , y0 , z0
图3.8
30
点M(x,y,z)在此锥面上当且仅当M在一条母线上,
即准线上有一点 M1( x1, y1, z1 ) 使得 M1在直线 M0 M 上
（如图3.8）。因此有
F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0,
r(s, t ) r0 t(r1(s) r0 ), s I1, t (, ).
32
如果锥面有一对称轴,它的每条母线与对称轴所夹 的锐角都相等,则此锥面称为圆锥面,母线与对称轴夹的 锐角称为圆锥面的半顶角。我们来求圆锥面的方程。
选取圆锥面的顶点O为坐标原点,圆锥面的对称轴 为z轴建立右手直角坐标系。点M(x,y,z)在圆锥面上当 且仅当 OM与z轴的坐标向量 e3 (0, 0,1) 的夹角为半顶 角θ或π-θ,因此,
y y
0 0
( (
y y

y0 y0
)u, )u,
z0 z0

(z (z

z0 z0
)u) )u)

0 0
再消去u,就得到x,y,z的一个方程,它就是锥面的方程。
31
如果准线C的向量式参数方程为 r1(s), s I1 ， M0 的位置向量是 r0 ，则锥面的向量式参数方 程为