2.2.2对数函数及其性质 第二课时

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实际应用题 【例 5】 一片森林的面积为 a，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等， 则砍伐到原面积的一半时，所用时间是 T 年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积 2 的 25%.已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 . 2 (1)问到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (2)问今后最多还能砍伐多少年？
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(3)由图得函数 f(x)的单调递减区间是(－∞，0)． 证明：设 x1、x2∈(－∞，0)，且 x1<x2， |x1| x1 则 f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg ＝lg| |， |x2| x2 ∵x1、x2∈(－∞，0)，且 x1<x2， ∴|x1|>|x2|>0. x1 ∴| |>1. x2 x1 ∴lg| |>0. x2 ∴f(x1)>f(x2)． ∴函数 f(x)在(－∞，0)上是减函数， 即函数的单调递减区间是(－∞，0)．
)
解析：①当 a>1 时，y＝logat 为增函数，t＝(a－1)x＋1 为增函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x ＋1]为增函数 ②当 0<a<1 时，y＝logat 为减函数，t＝(a－1)x＋1 为减函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1] 为增函数， 综上 f(x)＝loga[(a－1)x＋1]是定义域上的增函数，答案选 A.
函数 y＝logaf(x)的单调性与函数 u＝f(x)(f(x)＞0)的单调性： ①a＞1 时相同；②0＜a＜1 时相反．
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变式训练 21：函数 f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上( (A)是增函数 (B)是减函数 (C)先增后减 (D)先减后增
由本题我们看到了指数、对数函数在学科间的广泛应用．就本题而言，我们 还能进一步体会到对数在简化运算上的重要意义．
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变式训练 51：2005 年 10 月 12 日，我国成功发射了“神州六号”载人飞船，这标志着 中国人民又迈出了具有历史意义的一步． 已知火箭的起飞重量 M 是箭体(包括搭载的飞行器) 的重量 m 和燃料重量 x 之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度 y 关于 x 的函数关系式为：y＝k[ln(m＋x)－ln( 2m)]＋4ln 2(其中 k≠0)．当燃料重量为( e－1)m 吨 (e 为自然对数的底数，e≈2.72)时，该火箭的最大速度为 4(km/s)． (1)求火箭的最大速度 y(km/s)与燃料重量 x 吨之间的函数关系式 y＝f(x)； (2)已知该火箭的起飞重量是 544 吨，则应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速 度达到 8 km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？
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做一做： 1．若 a＞1,0＜x＜1，则 logax 的值属于( (A)(0,1) (B)(－∞，0) (C)(0，＋∞) (D)(1，＋∞)
B
)
解析：由对数函数 y＝logax 的图象知，当 a＞1,0＜x＜1 时，logax＜0.故选 B.
1 答案：[ ，3] 3
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知识要点：y＝logaf(x)型或 y＝f(logax)型的函数 1．要注意变量的取值范围，例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则 f(g(x))＝log2(x2＋x)中 需有 g(x)>0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x 中需有 x>0. 2．判断 y＝logaf(x)型或 y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再 利用奇偶性定义判断． 3．由对数函数和其他简单初等函数复合而成的简单复合函数，在讨论其单调性时，先 求定义域，利用图象观察出单调区间，再用定义法证明，或利用复合函数的单调性口诀“同 增异减”直接得到．
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求 y＝logaf(x)型函数的最值 【例 3】 求函数 y＝log3(2x－1)，x∈[2,14]的最值．
思路点拨：由 x 的范围求出 2x－1 的范围，进而求函数的最值．
解：因为 2≤x≤14，所以 3≤2x－1≤27，令 t＝2x－1 因为函数 y＝log3t 在区间[3,27]内是增函数， 所以 log33≤log3t≤log327，即 1≤y≤3. 故此函数在区间[2,14]上的最小值为 1，最大值为 3.
思路点拨：建立砍伐年数与砍伐面积百分比间的关系式，再取对数解之．
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解：设每年砍伐面积的百分比为 b(0<b<1)， 1 则 a(1－b)T＝ a， 2 1 lg 2 1 ∴(1－b)T＝ ，lg(1－b)＝ . 2 T (1)设到今年为止，该森林已砍伐了 x 年， 2 ∴a(1－b)x＝ a， 2 2 得 xlg(1－b)＝lg ， 2 1 lg 2 2 于是 x· ＝lg ， T 2 T T 即 x＝ ，即已砍伐了 年． 2 2
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变式训练 11：已知函数 f(x)＝log2x，则 y＝|f(x＋1)|的图象是(
)
解析：将 f(x)＝log2x 向左平移 1 个单位，得 y＝log2(x＋1)的图象，再将 y＝log2(x＋1) 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，即得 y＝|log2(x＋1)|的图象，故答案选 B.
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1 3．设 a＞0，且 a≠1，函数 y＝logax 的反函数和 y＝loga 的反函数的图象关于( B x (A)x 轴对称 (B)y 轴对称 (C)y＝x 对称 (D)原点对称
1 解析：y＝logax 的反函数为 y＝ax，y＝loga 的反函数为 x － y＝a x，因此，它们关于 y 轴对称，故选 B.
1＋x>0 解：∵ 1－x>0
∴－1<x<1 又∵f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x) ＝－[lg(1＋x)－lg(1－x)] ＝－f(x) ∴f(x)为奇函数．
利用奇偶性的定义判断．
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考题赏析 演练广场 典例精析 2 变式训练 41：设定义在(－1,1)上的函数 f(x)＝lg( ＋a)是奇函数，则使 f(x)<0 的 x 的 1－x 取值范围是( ) (A)(－1,0) (B)(0,1) (C)(－∞，0) (D)(－∞，0)∪(1，＋∞)
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解析：∵f(x)是奇函数 ∴f(0)＝0， 2 即 lg( ＋a)＝0， 1－0 ∴2＋a＝1， ∴a＝－1， 1＋x 2 f(x)＝lg( －1)＝lg . 1－x 1－x 令 f(x)<0， 1＋x 则 0< <1， 1－x ∴－1<x<0， 故选 A.
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1－x 2．已知函数 f(x)＝lg ，若 f(a)＝b，则 f(－a)等于( 1＋x 1 1 (A)b (B)－b (C) (D)－ b b
B
)
1－a 1＋a 解析：f(a)＝lg ＝b，f(－a)＝lg 1＋a 1－a 1－a 1＋a ∴f(a)＋f(－a)＝lg( · )＝lg 1＝0 1＋a 1－a ∴f(－a)＝－f(a)＝－b. 故选 B.
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(2)当 a＞1 时，函数 y＝ax 是增函数． ∴x＞2.即定义域为(2，＋∞)． 由于 u＝ax－a2 在 x∈(2，＋∞)时递增， y＝logau 在 u∈(0，＋∞)时递增， ∴函数 y＝loga(ax－a2)在 x∈(2，＋∞)时单调递增．
思路点拨：(1)确定函数的定义域，判断 f(x)和 f(－x)的关系；(2)函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，利用变换作图画出草图；(3)由图象观察出单调递减区间，再用定义证明．
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解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x|>0， 解得 x≠0， 即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)． ∴函数 f(x)是偶函数． (2)由于函数 f(x)是偶函数，则其图象关于 y 轴对称，草图如图所示．
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想一想： 1．对数函数的单调性：当 a＞1 时，y＝logax 为增函数，当 0＜a＜1 时，为减函数． 2．对于 y＝logax，若 a＞1，当 x＞1 时，y＞0，当 0＜x＜1 时，y＜0；若 0＜a＜1，当 0＜x＜1 时，y＞0，当 x＞1 时，y＜0. 3．复合函数 y＝logaf(x)，x∈D 的单调性：设集合 M⊆D，若 a＞1，且 u＝f(x)在 x∈M 上单调递增(减)， 集合 M 对应的区间是函数 y＝logaf(x)的增(减)区间； 0＜a＜1， u＝f(x) 若 且 在 x∈M 上单调递增(减)，集合 M 对应的区间是函数 y＝logaf(x)的减(增)区间． 4．函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)与 y＝ax(a＞0，且 a≠1)互为反函数，其图象关于直线 y＝x 对称．
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y＝logaf(x)型函数的单调性 【例 2】 求函数 y＝loga(ax－a2)(a＞0，且 a≠1)的单调区间．
思路点拨：先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性规律在其定义域内研究其单 调性，进而确定单调区间．
解：由 ax－a2＞0，得 ax＞a2， (1)当 0＜a＜1 时，函数 y＝ax 是减函数． ∴x＜2.即定义域为(－∞，2)． 由于 u＝ax－a2 在 x∈(－∞，2)时递减， y＝logau 在 u∈(0，＋∞)时递减， ∴函数 y＝loga(ax－a2)在 x∈(－∞，2)时单调递增；
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(2)设从开始砍伐到至少保留到原面积的 25%，需 y 年， 1 则 a(1－b)y≥ a， 4 1 得 ylg(1－b)≥lg ， 4 1 lg 2 1 ∴y· ≥lg ， T 4 解得 y≤2T. T 3T 因此今后最多还能砍伐的年数为 2T－ ＝ . 2 2
求函数的最值，研究函数的单调性、奇偶性等都离不开函数的定义域，这点 务必牢记．
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y＝logaf(x)型或 y＝f(logax)型函数的奇偶性 【例 4】 判断函数 f(x)＝lg(1＋x)－lg(1－x)的奇偶性．
思路点拨：先求定义域，再利用奇偶性的定义判断．
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y＝logaf(x)型函数的图象及应用 【例 1】 已知函数 f(x)＝lg|x|. (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)画出函数 f(x)的草图； (3)求函数 f(x)的单调递减区间，并加以证明．
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4．已知 f(x)＝log3x 的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为__________．
解析：∵－1≤log3x≤1， 1 ∴log3 ≤log3x≤log33， 3 1 ∴ ≤x≤3， 3 1 ∴y＝log3x 的定义域是[ ，3] 3 1 ∴y＝log3x 的反函数的值域是[ ，3]． 3