第六章连续介质力学方法

连续介质力学方法的出发点是支护结构与围岩相互作用，组成一个共同承载体系，其中围岩是主要的承载结构，支护结构是镶嵌在无限或半无限介质孔洞上的加劲环。它的特点能反映出隧道开挖后围岩的应力状态。

解析法：即根据所给定的边界条件，对问题的平衡方程、几何方程和物理方程直接求解。由于数学上的困难，现在还只能对少数问题求解。

数值法：主要是指有限元法。它把围岩和支护结构都划分为若干单元，然后根据能量原理建立单元刚度矩阵，并形成整个系统的总体刚度矩阵，从而求出系统上各个节点的位移和单元的应力。它不但可以模拟各种施工过程和各种支护效果，同时可以分析复杂的地层情况(如断层、节理等地质构造以及地下水等)和材料的非线性等。

6.1 解析法

以均匀内压水工隧洞的计算为例，说明解析法计算的基本思路。

(1)衬砌应力的分析

水工隧洞衬砌厚度一般在20 cm以上、故力学分析中可将其视为厚壁圆筒。如图6.1.1 （a）所示。在均匀内水压力作用下，厚壁圆筒的内力分析是轴对称问题。

衬砌的径向应变为：

近似按平面应变问题分析衬砌，则由平面问题极坐标解的物理方程可写为：

作用在单元体上的外荷载为零，且在轴对称情况下单元体内力分量中的剪应力也为零，故根据平面问题极坐标解的静力平衡力程式，有：

(2)洞室围岩应力

分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。

由式(6.1.16)可知：内水压力使围岩产生的切向应力σt是拉应力。若σt 的量值大于围岩中原来存在的压应力，且差值超过岩体的抗拉强度，则当衬砌抗拉强度不足时岩体将与衬砌一起发生开裂。将式(6.1.16)中的r0理解为毛洞半径，Pa理解为内压力，则该式就成为无衬砌圆形水工隧洞围岩应力的计算式。

(3)衬砌与围岩共同作用的计算

分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。

求得λ值以后，由式(6.1.11)、( 6.1.16 )即可算出衬砌与围岩的应力。

6.2 数值法

由于岩体材料的复杂性〔非均质、各向异性、非连续、时间相关性等)以及结构几何形状和围岩初始应力状态的复杂性，使得在地下工程的应力应变分析中，难以采用解析

法。即使采用也必须进行大大简化，得出的结果难以满足工程需要。至于模拟复杂的地下工程的施工过程，考虑各种开挖方案和支护措施等因素，解析方法更无能为力。数值法可以模拟岩体材料和构造的各种特性及施工过程，易于改变参数、重复计算，在地下工程分析中得到越来越广泛的应用。

(1) 围岩材料的力学模型

连续介质力学包含有弹性力学和塑性力学分支。弹性力学研究介质在弹性工作阶段的应力一应变关系，塑性力学则研究介质在塑性工作阶段的应力－应变的关系。介质材料在弹性工作:阶段，应力一应变关系是线形的，服从虎克定律:在塑性工作阶段，应力－应变的关系是非线性的。材料在弹性阶段，荷载卸除后其变形可以全部恢复，然而进人塑性工作阶段后，其变形在卸载后不能完全恢复，其中不能恢复的残余变形部分称为塑性变形。

①理想的弹塑性材料

②应变硬化材料

③应变软化材料

为了表述变形与时间、岩石性质之间的数学、力学关系，要确定流变构造模式，这是由弹性的、粘性的和塑性的基本单元构成的。用不同的组合关系来模拟与此相适应的

应力-应变关系，形成围岩的力学模型。

①基本单元

a.弹性单元(又称虎克单元)

b.粘性单元(又称牛顿单元)

C.塑性单元(又称用摩擦板表示的圣维南单元)

②组合模型

a、弹塑性模型

b、弹粘塑性(宾哈姆(Bingham))模型

c、弹粘性模型〔马克斯威尔模型)

d、弹粘性模型(凯尔文一弗盖特模型)

e、Kelvin-Hooke串联(广义凯尔文)力学模型

《连续介质力学》期末复习提纲-总

<连续介质力学> QM 复习提纲(2010.12) 一、基本要求 1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开； 2、掌握ij 与ijk e 的定义、性质及相互关系； 3、掌握二阶张量坐标转换的计算； 4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法； 5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算； 6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算； 7、掌握正应变的计算； 8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算； 9、掌握应力张量与应变张量的对称性； 10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算； 11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式； 12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系； 13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数； 14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导； 15、掌握从质点的运动方程推导Navier 方程的过程； 16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程； 17、掌握地震波速度与泊松比的关系； 18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征； 19、掌握P 波、SV 波入射到自由界面上的传播特征； 20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法； 21、掌握Reilaygh 波和Stonely 波的传播特征； 22、掌握P 波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法；二、复习题简答论述题 1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。 2、简述弹性动力学基本假设。 3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。 4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。 5、简述小变形应变张量的几何解释。

岩石力学-2014东北大学试卷及答案

岩石力学复习题B 一、选择题 1、岩石与岩体的关系是（ B ）。（A）岩石就是岩体（B）岩体是由岩石和结构面组成的（C）岩石是岩体的主要组成部分 2、大部分岩体属于（ C ）。（A）均质连续材料（B）非均质材料（C）非均质、非连接、各向异性材料 3、比较岩石抗压强度、抗剪强度和抗拉强度的大小为（ C ）。（A）抗压强度<抗剪强度<抗拉强度（B）抗压强度>抗拉强度>抗剪强度（C）抗压强度>抗剪强度>抗拉强度 4、影响岩体力学性质各向异性的主要因素为（ B ）。（A）地下水（B）结构面（C）构造应力场 5、巴西试验是一种间接测定岩石（ B ）强度的试验方法。（A）抗压（B）抗拉（C）抗剪 6、蠕变是指介质在大小和方向均不改变的外力作用下，介质的（ B ）随时间的变化而增大的现象。（A）应力（B）应变（C）粘性 7、下列参数不是岩石强度指标的为（ A ）。（A）弹性模量（B）内聚力（C）摩擦角 8、格里菲斯准则认为岩石的破坏是由于（ A ）。（A）拉应力引起的拉裂破坏（B）压应力引起的剪切破坏（C）压应力引起的拉裂破坏 9、按照库仑—莫尔强度理论，若岩石强度曲线是一条直线，则岩石破坏时破裂面与最大主应力作用方向的夹角为（ C ）。（A）45°（B）45 2 ? ?+ （C） 45 2 ? ?- （D）60° 10、岩石质量指标RQD是（A ）以上岩芯累计长度和钻孔长度的百分比。A

（A ）10cm （B ）20cm （C ）30cm 11、下列关于岩石长期强度S ∞和瞬间强度S 0的关系正确的是（D ）。（A ）S ∞＞S 0 （B ）S ∞≤S 0 （C ）S ∞≥S 0 （D ）S ∞＜S 0 12 A 13 C 二、填空题１．就破坏机理而言，岩石材料破坏的主要形式有（断裂破坏）和（流变破坏）两种。２．岩石的弹性变形特性常用（弹性模量）和（泊松比）两个常数来表示。３．岩石变形性质按卸载后变形是否可以恢复可分为（弹性变形）和（塑性变形）两类。４．岩石的剪切模量G 可用岩石的弹性模量E 和泊松比μ计算，其计算公式为（ 2(1)E μ+ ）；同样岩石的拉梅常数λ也可以用岩石的弹性模量 E 和泊松比μ计算，其公式为（ (1)(12)E μ μμ+- ）。５．岩体基本质量应由受（岩石坚硬程度）和（岩体完整程度）。６．巴西劈裂试验中，P 为劈裂破坏时最大压力，D 为岩石圆盘的直径，T 为岩石圆盘厚度，则岩石抗拉强度的公式为（ 2t P DT σπ= ）。 7本构关系，强度准则 8 松动和蠕动

如何学习《连续介质力学》

发信人: Rubik (韦小宝@好事多磨), 信区: Mathematics 标题: 个人体会－如何学习《连续介质力学》－基本概念zz 发信站: 吉林大学牡丹园站(2008年04月07日00:04:04 星期一), 站内信件作者为baibing@SimWe 连续介质力学，也叫连续统理论，或者叫理性力学。叫连续介质力学，是因为他的框架内一个最重要得假设是“介质是宏观连续的”，可以用连续的数学理论来处理，显然这种命名方法带有物理，力学的的痕迹。叫连续统理论，实际上是借用了数学上的概念。学数学的人都知道，数学中就有“连续统”的概念，比如，连续的线段，连续的曲面，和连续的体。由于数学上这些概念都是抽象出来的，没有物理意义的，可以叫连续统。很多人不知道连续统，连续介质，我想实际上可以理解为不同学科的不同称呼。但是，说连续介质，实际上表示考虑了具体物理特性的连续统。叫理性力学，实际上是从力学研究的方法论上来命名的。以那种理性的，数学化的，公理化的思维和方法来研究力学。看过连续介质力学书籍的人应该是深有体会的。里面到处充满这理性的思维的魅力。说明：本人2004年在中国科学院研究生院学习了王文标教授的《连续介质力学基础》课程。这是本人一年后的感悟，欢迎我得同学一同加入进来讨论。不知道从什么时候开始，我养成了一个习惯，那就是每接触一个新的学科，总是希望获得这门学科最权威而且是最经典，最全面的书籍。当然这样的书籍是找不到的。但是，相对而样比较好的书籍还是有的，力学更是这样。《非线性连续统力学》，北航出版社，李松年，黄执中的作品，80年代中期写的。这本书我第一次看到的时候，惊为天人所写，前半部分写的是张量分析，后面是连续统力学，两方面都比一般的连续介质力学全面，而且讲解浅显易懂。特别是其前言和结语写的尤为出色，不仅概括了这门学科的梗概，而且指出了这门学科的前景，真是绝佳的资料。 A.C.ERIGEN的《连续统力学》，这是我目前见到的最经典的书，实际上前面一本书很大一部分是参考了这本书编写的，当然，加入了自己的内容（这是我读后才知道的）。这一点都不奇怪， A.C.ERIGEN是连续统力学的鼻祖人物，也是集大成者。和钱伟长先生关系很好。英国东英格兰大学的查德威克先生写的《连续介质力学简明理论和例题》，虽然这本书只有短短一百多页，但是用逼一般力学书籍夺得数学，比数学书籍少得多的数学非常准确地阐释了连续介质力学理论，尤其是和数学地结合方面，能够让你从本质上，从数学的角度认识和理解连续介质力学。而且有大量的习题。陈志达先生的《理性力学》。大家都知道陈志达先生吧，中国矿业大学的老师，98年

第六章-连续介质力学基础

连续介质力学基础物质坐标和空间坐标对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；表示空间中几何点的坐标312(,,)x x x 则称为欧拉坐标。两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξξ占据空间位置312(,,)x x x ，则二者之间具有函数关系： 123(,,,)k k x x t ξξξ= 由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一： 123(,,,) k k x x x t ξξ= 因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述： (,)((),)t t =r ξr ξx 当我们采用物质坐标时，相应的基矢量： i i ?ξ ?=?r g 当我们采用空间（Euler ）坐标时，相应的基矢量： i i x ?= ?r g 两者之间具有转换关系： k k i k i k i i x x ?x ξξξ ????===????r r g g j j m m ?x ξ?=?g g k k i k i i k i ?x x x ξξξ????===????r r g g j j m m x ?ξ ?=?g g 物质导数质点的速度： D D k k k k (,t )()x (,t )v t t x t ???==???r r ξr x ξv g 算子D D t 称为物质导数（全导数）。它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变

化率。 Euler 坐标基底矢量的物质导数： k k m i i ik m k D v v Dt x ?==Γ?g g g i i k k i m mk k D v v Dt x ?==-Γ?g g g 物质坐标（Langrange ）基底矢量的物质导数： ?(,)()i i D t Dt t ξ ??=??g r ξ 欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此 ?(,)()i i i D t Dt t ξξ ???==???g r ξv 利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到： () m i i i m ?D ????Dt ξ ?=??=???g v g g v g () m i i i m ?D ????Dt ξ ?=??=???g v g g g v Langrange 逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式 j j i i ??δ?=g g 求得。显而易见： ??()0i m D Dt ?=g g 因此 i m i i m m ??D D ???Dt Dt ξ ??=-?=-??g g v g g g 该式左端是逆变基物质导数在协变基下的分量，因而 ????()???i i m i m m i i m D Dt ξ ξ ?=-??=-????=-??=-???g v g g g v v g g v g （物质坐标基底矢量的物质导数可表示为速度梯度与基矢量的点积；协变基的导数与哈密顿算子相邻；逆变基的导数与负的速度矢量相邻）

连续介质力学几个定律汇总情况

第二章连续介质力学的基本定律在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 应力矢量与应力张量在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之对应的接触面S上的单位法矢量n，表面力的存在形式为 ()n t X t t,, =(2.101) 通常，我们规定()n t X t t,, =指向接触面S的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X和S面与S'面的曲率相差多少。为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S截断成两部分A和B，如图2.3所示。此时S面就是A和B相互作用的接触面，B部分对A部分一点的作用，便可以用A部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A部分对B部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量 t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即 t t n n =-(2.102) 对于物体内部的一点P，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P的附近任意给定一个单位法矢量为

尔雅选修课《从“愚昧”到“科学“科学技术简史》期末试题及答案

尔雅选修课《从“愚昧”到“科学“-科学技术简史》期末试题及答案一、单选题
1
达尔文进化和演化的思想一定程度上受到了（）的着作《地质学原理》影响。 ? A、
赫顿
? B、
拉塞尔
? C、
赖尔
? D、
马尔萨斯
我的答案：C
2
产业革命最早开始于（）。 ? A、
农业
? B、
服装业
? C、
纺织业
? D、
采矿业
我的答案：C
3
通过对星星位置的观察，印度人确定了 27 宿，和中国 28 宿对应起来少了（）宿。

? A、
井
? B、
参
? C、
危
? D、
牛
我的答案：D
4
科学体制化的标志不包括（）。 ? A、
专门的机构
? B、
资金的来源
? C、
社会的认同
? D、
学术的交流
我的答案：C
5
在生长发育和繁殖的角度看，细胞分裂的方式是（）。 ? A、
有丝分裂
? B、
无丝分裂

? C、
减数分裂
? D、
不对称细胞分裂
我的答案：C
6
1606 年，（）和利玛窦合作翻译出了《几何原本》的前六卷。 ? A、
汤若望
? B、
南怀仁
? C、
徐光启
? D、
李之藻
我的答案：C
7
《几何原本》最早于（）传到了中国。 ? A、
13 世纪
? B、
14 世纪
? C、
15 世纪
? D、
16 世纪
我的答案：A

力学学科分类---力学是从物理学中独立出来的一个分支学科

力学学科分类---力学是从物理学中独立出来的一个分支学科力学分类力学是研究物质机械运动的科学。机械运动亦即力学运动,是物质在时间、空间中的集团变化,包括移动、转动、流动、变形、振动、波动、扩散等。力学原是物理学的一个分支学科,当物理学摆脱了机械(力学) 的自然观而获得进一步发展时,力学则在人类生产和工程技术的推动下按自身逻辑进一步演化和发展,而从物理学中独立出来。它既是探索自然界一般规律的基础科学,又是一门为工程服务的技术科学,担负认识自然和改造自然的任务。力学的研究对象是以天然的或人工的宏观的物质机械运动为主。但由于本学科自身的发展和完善以及现代科技发展所促成的学科的相互渗透,有时力学也涉及微观各层次中的对象及其运动规律的研究。机械运动是物质的最基本的运动形式,但还不能脱离其他运动(热、电磁、原子、分子运动及化学运动等) 形式而独立存在,只是在研究力学问题时突出地甚至单独地考虑机械运动形式而已。如果需要考虑不同运动之间的相互作用,则力学与其他学科之间形成交叉学科或边缘学科。力学产生很早, 古希腊的阿基米德(约公元前287 —212) 是静力学的奠基人。在欧洲文艺复兴运动以后,人们对力和运动之间的关系逐渐有了正确的认识。英国科学家牛顿继承和发展了前人的研究成果,提出了物体运动三定律,标志着力学开始成为一门科学。到了20 世纪,力学更得到蓬勃的发展。到目前为止,已形成了几十个分支学科,诸如一般力学、固体力学、结构力学、物理力学、流体力学、空气动力学、流变学、爆炸力学、计算力学、连续介质力学、应用力学、岩土力学、电磁流体力学、生物力学,等等。为了充分发挥这些力学文献的作用,必须对其进行科学的分类。本文拟对力学文献的分类标准、分类体系和分类方法进行研究。一、力学文献的分类标准根据力学文献的属性,其分类标准很多,但根据读者(用户) 的检索需求和文献分类法的立类列类原则,主要采用以下9 种标准: 1.1 根据研究对象分根据研究各种物体不同的运动,力学就形成了不同的分类。例如:当物体是液体或气体时,就是流体力学;当物体是固体时,就是固体力学;当研究固体在外界加力影响下,内部的变形和应力状态,以及它受力的性能时,就是弹塑性力学;当研究物体的整体运动的时候,而不去仔细考虑物体每一部分的情况便是一般力学。 1.2 根据研究方法分根据研究方法,力学可以分为实验力学、理论力学、物理力学、理性力学和计算力学等。1.3 根据研究的时代分根据研究的时代,力学可以分为经典力学和近代力学。从牛顿至哈密顿的理论体系称为经典

有限元考试试题及答案

江西理工大学研究生考试试卷一、简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。二、计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = 4.45 N 。（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 20__12__—20__13__ 学年第___一___学期课程名称：_____有限元及数值模拟________ 考试时间:___2012___ 年__11__月___3___日考试性质（正考、补考或其它）：[ 正考 ] 考试方式(开卷、闭卷)：[ 开卷 ] 试卷类别(A 、B):[ A ] 共九大题温馨提示请考生自觉遵守考试纪律，争做文明诚信的大学生。如有违犯考试纪律，将严格按照《江西理工大学学生违纪处分规定》（试行）处理。学院专业学号姓名题号一二三四五六七八九十十一十二总分得分 p y A1 A2 L1 L2 图1

2. 如图2所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m，载荷F=20KN/m，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E，试求它的应力分布。（15分）图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。图3

(完整版)张量分析中文翻译

张量张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩）表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示，所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个向量之间的关系，如右图所示。因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其精确形式决定了张量的类型或者是值。张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。历史现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。

连续介质力学复习题a20121210

连续介质力学复习题（1）1.10， 1.19 答： 120 122 22m 32 ()()()()11( )|1211 () 12 1 (1)(2)M(x)k 1=x =const D C (1)(2)2-2m=0.m=1. m x x m m m x m m m M x x kD d x k d kC x m m kC x x m m kC x m m m m ξξξξξ ξξ+++++-=-=-=-++=-++=++++????令D(x)=Cx Cx 所以：

（2）2.13，考察一个被约束在圆形轨道上作匀速运动的质点。设v 是任意时刻的速度，质点的加速度是多少，即力量dv/dt 是多少？ 2.19，两个矢量123u=,,u u u （）和123v=,,v v v （）的矢量积是矢量w=u v ?，其分量为证明上式可以简写为 =i ijk j k u v ωε 证明：反证法：有 =i ijk j k u v ωε 所以有11=jk j k u v ωε 22=jk j k u v ωε 33=jk j k u v ωε 1111111121211313123231212113232122221313113333=++++++++u v u v u v u v u v u v u v u v u v ωεεεεεεεεε 2211112121221312221212222222323231312323223333 3311113121231313321213222232323331313323233333 =++++++++=++++++++u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v ωεεεεεεεεεωεεεεεεεεε

连续介质力学复习题20121210

连续介质力学复习题 1.10 答： 1.19 答： 120 122 22m 32 ()()()()11( )|1211 () 12 1 (1)(2)M(x)k 1 =x =const D C (1)(2)2-2m=0.m=1. m x x m m m x m m m M x x kD d x k d kC x m m kC x x m m kC x m m m m ξξξξξ ξξ+++++-=-=-=-++=-++=++++????令D(x)=Cx Cx 所以：

2.13，考察一个被约束在圆形轨道上作匀速运动的质点。设v 是任意时刻的速度，质点的加速度是多少，即力量dv/dt 是多少？ 2.19，答： 2.37将下列方程写出展开的形式2 ,,21 ()12i i kk k ki i u G u u X v t ρ?++=-? 答：2 ,111,122 ,222,22 2 ,333,32 1 ();121 ()121 ()12i i i i i i i i i i i i u G u u X v t u G u u X v t u G u u X v t ρρρ?++=-??+ +=-??++=-? i=1、2、3.

3.9，在无体力情况下，如下应力分布是否处于平衡状态：答：根据 0i j ij X x σ?+=?得到处于平衡状态。 3.22库埃特流动。两个同心圆筒间的空间中充满了流体，如图P3.22。令内筒静止，外筒以每秒w 弧度的角速度旋转。若测得内筒的扭矩为T ，作用在外筒的扭矩是多少？为什么？答：T 。内外筒之间缝隙很小，内外筒半径近似相等。 4.12用锤子打击一个无限大的弹性体，应该设置什么样的边界条件？答：

重庆大学学术型硕士研究生培养措施力学

重庆大学学术型硕士研究生培养方案力学专业代码：080100 一、培养目标本学科专业培养能够从事力学方面的教案、科研或相关工程设计工作的高层次人才。学位获得者应具备坚实的力学和数学基础理论和较宽广的专业知识；较为熟练地掌握一门外国语；了解本学科理论研究和工程应用的前沿动态；具有一定的理论分析、实验研究及数值分析能力，能结合与本学科相关的实际问题从事科学研究或工程技术工作，并取得较系统的研究成果。二、学科、专业及研究方向简介重庆大学工程力学专业创建于1978年。1981年获得固体力学硕士学位授权点，是全校最早的硕士授权点之一；1986年获得固体力学博士学位授权点，是原重庆大学八个最早获得博士学位授权点的学科之一；2003年获得力学博士学位授权一级学科；2007年力学一级学科被确立为重庆市重点学科。重庆大学力学博士学位授权一级学科包括固体力学、工程力学、流体力学和一般力学与基础力学四个二级学科博士学位授权点；固体力学、工程力学、流体力学和一般力学与基础力学四个硕士学位授权点。本学科拥有先进的MTS材料实验机和并行计算机系统等一批重要设备，为力学理论、实验和数值研究提供必要的条件。近年来，本学科承担了数十项国家和省部级工程以及大量重点横向合作工程，获得了丰富的科研成果。本学科主要研究领域： 1多场耦合理论与智能材料及结构力学 2生物材料力学与高性能复合材料制备 3材料与结构的强度与破坏 4超常环境下材料及其微结构特性的理论与测试 5纳M材料特性及其微结构机理、多尺度及跨尺度分析 6结构动态特性及失效 7结构运动与变形耦合动力学及控制 8微重力下晶体生长过程的流体动力学、热张力流和浮力流理论、方法及其应用 9输配电装备及系统安全的关键力学问题 10多孔介质力学及其应用 11生物力学 12振动测试理论与技术 13智能与虚拟仪器的研制与开发 14 可压缩流体动力学 15 超音速流和冲击波 16 线性波和非线性波 1 / 8 主要研究方向及其内容： 1材料的强度理论与破坏机理

连续介质力学习题一

1 / 1 连续介质力学习题一一、张量复习 1-1 已知k j i ,,为直角坐标系的基矢量，某斜角坐标系的协变基矢为 j i g k i g k j g +=+=+=321,,，（1）求逆变基矢321,,g g g （用k j i ,.,表示）；（2）求度量张量ij g ；（3）验证公式i ij j g g g =；（4）有两个矢量：,32321g g g u -+=321g g g v +-=，求v u ,的协变分量i i v u ,及两矢量点积v u ?。 1-2 球坐标系，令?θ===321,,x x R x ，求该坐标系的2,,,,ds g g g g ij ij j i 。 1-3 设有一抛物柱面坐标系(由两族抛物柱面及平面构成),令?ηξ===321,,x x x ，若已知抛物柱面坐标系与直角坐标系的关系为：?ξηξη-==-=z y x ,),(2 122，设 321,,i i i 为直角坐标系的基矢量，试求抛物柱面坐标系的协变基矢和逆变基矢及度量张量(用直角坐标系的基矢量表示)。 1-4 设T 为二阶对称张量，S 为二阶反对称张量，u 为任意矢量，试证明：（1）u T T u ?=?；（2）u S S u ?-=?。 1-5 设T 为二阶对称张量，设S 为二阶反对称张量，求证：0:=S T 。 1-6 设S T ,为任意二阶张量，**,S T 为它们的转置，求证：*:**:*::T S S T T S S T ===。 1-7 证明：（1）*)(*)(11--=T T ；（2）对称张量的逆也对称；（3）111)(---?=?A B B A 。 1-8 设)(),(x v x u 为光滑矢量场，试证：（1）v u v u v u ???-???=???)()()( ；（2）v u v u v u v u v u )()()()()(??-??+??-??=??? 。 1-9 证明：对二阶对称张量N ，有N N ??=??。 1-10 证明：对标量函数φ，有i jk i k j kj jk x x x Γ??-???==????2;;。 1-11 利用课上例题及1-2题的结果，根据公式和，计算柱坐标),,(z r θ和球坐标),,(?θR 的第二类Christoffel 符号k ij Γ。 )(21,l ij i jl j il l ij x g x g x g ??-??+??=Γl ij kl k ij g ,Γ=Γ

第一章流体力学基础知识

第一章流体力学基础知识本章先介绍流体力学的基本任务，研究方向和流体力学及空气动力学的发展概述。然后介绍流体介质，气动力系数，矢量积分知识。最后引入控制体，流体微团及物质导数的概念。为流体力学及飞行器空气动力学具体知识的学习做准备。 1.1流体力学的基本任务和研究方法 1.1.1流体力学的基本任务流体力学是研究流体和物体之间相对运动（物体在流体中运动或者物体不动而流体流过物体）时流体运动的基本规律以及流体与物体之间的作用力。而空气动力学则是一门研究运动空气的科学。众所周知，空气动力学是和飞机的发生，发展联系在一起的。在这个意义上，这门科学还要涉及到飞机的飞行性能，稳定性和操纵性能问题。事实上，空气动力学研究的对象还不限于飞机。空气相对物体的运动，可以在物体的外部进行，像空气流过飞机表面，导弹表面和螺旋浆等；也可以在物体的内部进行，像空气在风洞内部和进气道内部的流动。在这些外部或内部流动中，尽管空气的具体运动和研究运动的目的有所不同，但它们都发生一些共同的流动现象和遵循一些共同的流动规律，例如质量守恒，牛顿第二定律，能量守恒和热力学第一定律，第二定律等。研究空气动力学的基本任务，不仅是认识这些流动所发生现象的基本实质，要找出这些共同性的基本规律在空气动力学中的表达，并且研究如何应用这些规律能动地解决飞行器的空气动力学问题和与之相关的工程技术问题，并对流动的新情况、新进展加以预测。 1.1.2空气动力学的研究方法空气动力学研究是航空科学技术研究的重要组成部分，是飞行器研究的“先行官”。其研究方法，如同物理学各个分支的研究方法一样，有实验研究、理论分析和数值计算三种方法。这些不同的方法不是相互排斥，而是相互补充的。通过这些方法以寻求最好的飞行器气动布局形式，确定整个飞行范围作用在飞行器的力和力矩，以得到其最终性能，并保证飞行器操纵的稳定性。实验研究方法在空气动力学中有广泛的应用，其主要手段是依靠风洞、水洞、激波管以及测试设备进行模拟实验或飞行实验。其优点在于，它能在所研究的问题完全相同或大致相同的条件下，进行模拟与观测，因此所得到的结果较为真实、可靠。但是，实验研究的方法往往也受到一定的限制，例如受到模拟尺寸的限制和实验边界的影响。此外实验测量的本身也会影响所得到结果的精度，并且实验往往要耗费大量的人力和物力。因此这种方法亦常常遇到困难。理论分析的方法一般包括以下步骤；（1）通过实验或观察，对问题进行分析研究，找出其影响的主要因素，忽略因素的次要方面，从而抽象出近似的合理的理论模型；（2）运用基本定律，原理和数学分析，建立描写问题的数学方程，以及相应的边界条件和初始条件；（3）利用各种数学方法准确地或近似地解出方程；（4）对所得解答进行分析、判断，并通过必要的实验与之修正。理论分析方法的特点，在于它的科学抽象，能够用数学方法求得理论结果，以及揭示问题的内在规律。然而，往往由于数学发展水平的限制，又由于理论模型抽象的简化，因而无法满足研究复杂的实际问题的需要。上个世纪七十年代以来，随着大型高速计算机的出现，以及一系列有效的近似计算方法（例如有限差分方法、有限元素法和有限体积法等）的发展，使得计算流体力学（CFD）数值方法在空气动力学研究方法中的作用和地位不断提高。与实验方法相比，其研究所需要费用比较少。对有些无法进

塑性力学13年考题解答

1.简述塑性力学的全量理论及其应用于具体问题求解时的基本步骤全量理论认为物体在塑性状态下的变形规律是应力和应变全量之间的关系，假定物体的体积变化是弹性的，应变偏张量和应力偏张量相似且同轴，并且其硬化特性服从单一曲线假定，据此推导出塑性加载过程中应力和应变全量之间的关系。在用于具体问题求解时，应先判断该问题是否满足小变形条件及简单加载定律，然后按如下步骤进行求解：（1）选择恰当的屈服条件()0ij f k σ-= （2）根据弹性力学的知识求出弹性状态下物体内部的应力（即ij σ与外荷载F 的关系）。根据物体内部()max ij f k σ??=??，确定弹性极限荷载F e ，以及最先进入塑性的区域，并假设继续加载时物体内部合理的塑性区分布形状，并用参数y 表示塑性区分布范围（3）根据全量理论建立塑性区内的应力应变关系（4）利用平衡方程、边界条件及物体内部的应力应变关系求出塑性区内部的应力，并建立塑性区范围参数y 与外荷载F 的关系（5）当参数y 表示物体全部进入塑性时，对应的外荷载F 即为塑性极限荷载F p 2.分别简述适合于土和岩石分析的屈服准则（各2种）土的本构模型： ①剑桥模型基于传统位势理论，采用单屈服面和关联流动法则，依据能量理论得出在应力空间中形如子弹头的封闭屈服面。该模型应用广泛，适用于正常及若固结粘土。模型参数少，便于测定。其缺点是受到传统塑性位势理论的限制，且没有充分考虑剪切变形。 ②Lade-Duncan 模型根据对砂土的真三轴试验结果，把土视为加工硬化材料，服从非相关联流动法则及弹塑性功硬化规律，由试验资料拟合得到屈服函数。该模型较好地考虑了剪切屈服，并考虑了应力Lode 角的影响。其缺点是该模型的计算参数过多，且没有充分地考虑体积屈服。岩石的本构模型： ①Hoek-Brown 屈服准则是对几百组岩石三轴实验资料和大量现场实验成果统计分析的基础上，结合岩石性状方面的理论研究成果和实践经验，提出的岩石破坏时极限主应力间的非线性经验关系。该准则反映了结构面、应力状态对强度的影响，并适用于各向异性岩体的描述。缺点是不能考虑中间主应力的影响、参数难以确定、对各向异性明显的节理岩石适用性差。 ②摩尔-库伦屈服准则它认为当材料的某平面上的剪应力达到某一特定值时（该值与截面正应力有关）材料进入屈服，是一种剪应力屈服准则。该准则的优点是反映了岩石材料受压屈服应力大于受拉屈服的特性，参数较少，易于获取。缺点是无法考虑体积屈服，并且在屈服面的棱线上出现奇异点。 3.简述在实际工程分析中如何正确合理地使用岩土弹塑性力学及分析软件在实际工程中使用岩土弹塑性力学，应根据现场岩土体特性选择合理的、比较符合实际的岩土屈服条件和本构关系。为选择合理的本构模型，首先要考虑该模型能否正确的反映实际岩土体的力学行为，其次要考虑模型参数是否便于选取。岩土分析软件在使用前，应根据有解析解的经典弹塑性问题进行试算，评价软件计算结果的

第六章连续介质力学方法

第六章连续介质力学方法连续介质力学方法的出发点是支护结构与围岩相互作用，组成一个共同承载体系，其中围岩是主要的承载结构，支护结构是镶嵌在无限或半无限介质孔洞上的加劲环。它的特点能反映出隧道开挖后围岩的应力状态。解析法：即根据所给定的边界条件，对问题的平衡方程、几何方程和物理方程直接求解。由于数学上的困难，现在还只能对少数问题求解。数值法：主要是指有限元法。它把围岩和支护结构都划分为若干单元，然后根据能量原理建立单元刚度矩阵，并形成整个系统的总体刚度矩阵，从而求出系统上各个节点的位移和单元的应力。它不但可以模拟各种施工过程和各种支护效果，同时可以分析复杂的地层情况(如断层、节理等地质构造以及地下水等)和材料的非线性等。 6.1 解析法以均匀内压水工隧洞的计算为例，说明解析法计算的基本思路。 (1)衬砌应力的分析水工隧洞衬砌厚度一般在20 cm以上、故力学分析中可将其视为厚壁圆筒。如图6.1.1 （a）所示。在均匀内水压力作用下，厚壁圆筒的内力分析是轴对称问题。衬砌的径向应变为：近似按平面应变问题分析衬砌，则由平面问题极坐标解的物理方程可写为：作用在单元体上的外荷载为零，且在轴对称情况下单元体内力分量中的剪应力也为零，故根据平面问题极坐标解的静力平衡力程式，有：

(2)洞室围岩应力分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。由式(6.1.16)可知：内水压力使围岩产生的切向应力σt是拉应力。若σt 的量值大于围岩中原来存在的压应力，且差值超过岩体的抗拉强度，则当衬砌抗拉强度不足时岩体将与衬砌一起发生开裂。将式(6.1.16)中的r0理解为毛洞半径，Pa理解为内压力，则该式就成为无衬砌圆形水工隧洞围岩应力的计算式。 (3)衬砌与围岩共同作用的计算分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。

张量分析在连续介质力学中的应用

张量分析在连续介质力学中的应用薛玉洁（中国矿业大学力学与建筑工程学院，桥梁与隧道工程，ZS13030047）摘要：本研究将叙述张量分析在连续介质力学中的应用，Euclid空间上张量场分析、二维曲面(Riemann流形)上的张量场分析的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础等。张量分析是我国著名力学家周培源先生常用的数学及力学分析方法，亦谨以此文表示为前辈诚挚的仰慕之情。关键词：连续介质力学；Euclid空间；二维曲面；涡量与涡动力学 1引言一般连续介质力学的理论体系，引入初始物理构形以及当前物理构形，对二者可再分别引入初始参数构形以及当前参数构形，物理构形与参数构形之间的关系即为一般曲线坐标系，数学上对应为有限维Euclid空间之间二个开集之间的微分同胚。为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响，我们对于当前物理构形引入显含时间的曲线坐标系，表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变化的参数区域。如图l所示，对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场，其当前物理构形显得极其复杂，但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系，使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化。进一步将连续介质运动的控制方程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地，可基于非完整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系(非完整系)下的分量方程，也适用于按时均分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式。以上所述，一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想及方法。本文将叙述Euclid空间上张量场分析、二维曲面(Riemann流形)上的张量场分析的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础。

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