导与练2016高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.2平面与平面垂直的判定课时作业新人教A版必修2

2.3.2 平面与平面垂直的判定

【选题明细表】

知识点、方法题号

二面角的概念及求解3、6、7、8面面垂直的定义及判定定理的理解1、2

面面垂直的判定4、5、10

综合问题9、11、12

基础巩固

1.(2015唐山高二期中)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( B )

(A)若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥n

(B)若m⊥α,n⊥β且m⊥n,则α⊥β

(C)若α⊥β,m∥n且n⊥β,则m∥α

(D)若m⊂α,n⊂β且m∥n,则α∥β

解:若m∥α,n⊥β且α⊥β,则m与n相交、平行或异面,故A错误;若m⊥α,n⊥β且m⊥n,则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β,故B正确;若α⊥β,m∥n且n⊥β,则m∥α或m⊂α,故C错误;若m⊂α,n⊂β且m∥n,则α与β相交或平行,故D错误.故选B.

2.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是( C )

(A)平面ABCD

(B)平面PBC

(C)平面PAD

(D)平面PBC

解析:由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,从而有CD⊥平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.

3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A、B)且PA=AC,则二面角P BC A的大小为( C )

(A)60°(B)30°

(C)45°(D)15°

解析:易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角P BC A的平面角,在Rt△PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.

故选C.

4.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有( D )

(A)2对 (B)3对

(C)4对(D)5对

解析:由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD 知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对.选D.

5.如图所示,在三棱锥D ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论中正确的是( C )

(A)平面ABC⊥平面ABD

(B)平面ABD⊥平面BDC

(C)平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE

(D)平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE

解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故选C.

6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B AD C的大小为( C )

(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°

解析:由已知得,BD=2CD.

翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,

而AD⊥BD,CD⊥AD,

故∠BDC是二面角B AD C的平面角,其大小为60°.

故选C.

7.过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD,且AP=AB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是.

解析:设平面ABP与平面CDP的交线为l,如图.

因为AB∥CD,AB⊂平面PAB,CD⊄平面PAB.

所以CD∥平面PAB.

又CD⊂平面PCD,

所以CD∥l,

所以l∥AB.

AP⊥平面ABCD,

所以AP⊥AB,

又AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,

所以l⊥平面PAD,所以l⊥PA,l⊥PD,

所以∠APD即是所求二面角的平面角,易知∠APD=45°.

答案:45°

8.如图所示,在三棱锥S ABC中,△SBC,△ABC都是等边三角形,且BC=1,SA=,则二面角

S AB A的大小为.

解析:取BC中点为E,连接AE,SE.

因为△SBC,△ABC是等边三角形.

所以AE⊥BC,SE⊥BC,

所以∠SEA即为二面角S BC A的平面角.

因为BC=1,所以SE=AE=.

又SA=,所以△SAE为正三角形.

所以∠SEA=60°,即二面角的大小为60°.

答案:60°

能力提升

9.(2015蚌埠一中高二期中)如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,则下列结论中错误的是( D )

(A)D1O∥平面A1BC1

(B)MO⊥平面A1BC1

(C)异面直线BC1与AC所成的角等于60°

(D)二面角M AC B等于90°

解:对于选项A,连接B1D1,BO,交A1C1于E,则四边形D1OBE为平行四边形,所以D1O∥BE,因为D1O⊄平面A1BC1,BE⊂平面A1BC1,所以D1O∥平面A1BC1,故正确;

对于选项B,连接B1D,因为O为底面ABCD的中心,M为棱BB1的中点,所以MO∥B1D,易证B1D ⊥平面A1BC1,所以MO⊥平面A1BC1,故正确;

对于选项C,因为AC∥A1C1,所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角,因为△A1C1B为等边三角形,

所以∠A1C1B=60°,故正确;对于选项D,因为BO⊥AC,MO⊥AC,所以∠MOB为二面角M AC B 的平面角,显然不等于90°,故不正确.综上知,选D.

10.如图所示,在四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上一动点.当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

解析:连接AC,则BD⊥AC.

由PA⊥底面ABCD,可知BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM ⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.

答案:DM⊥PC(或BM⊥PC等)

11.(2015杭州重点中学高二联考)如图多面体中,正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直,且AD=AB=CD=2,AB∥CD,M为CE的中点.