山东省齐河县第一中学2019_2020讲评用高三数学自主招生讲义(无答案)

第一讲：集合、函数、导数、不等式

知识梳理

1.元素与集合，集合与集合之间的关系

2.重视数形结合对解决问题的优势

3.重视应用集合元素间的对应关系解决问题的方法 先从一道北大自招题谈起:

方程333()333

x x x x

x +++=的所有实根的平方和等于( ) A.0 B.2 C.4 D.前三个答案都不对 例1.设集合}.))(({},)({x x f f x N x x f x M ====

(1)求证:N M ⊆;

(2)若)(x f 是一个在R 上单调递增函数,是否有?N M =若有,请证明.

例2.已知函数2()(0),f x ax bx c a =++≠且()f x x =没有实数根,那么 (())f f x x =是否有实数根?证明你的结论.

例3．设Q 是有理数集，集合},0,,,2{≠∈+==x Q b a b a x x A 在下列集合中，

①

},2{A x x ∈②},22

{

A x x ∈③},1{A x x

∈④},{2A x x ∈和A 相等的集合有 个. 例 4.,

},221),{(},5

4

)2()1(),{(22B A a y x y x B y x y x A ⊆≤-+-=≤-+-=则a 的取值范围是.________

例5.()f x 的反函数是1(),()f x g x -的反函数为1().g x - （1）求证：(())f g x 的反函数为11(());g f x --

（2）1()(),()(),F x f x G x f x -=-=-若()F x 是()G x 的反函数，求证()f x 是奇函数.

知识梳理

1.函数的性质是重点：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性

2.重视处理抽象函数问题的一般方法

3.重视利用导数研究函数的一般方法

4.重视利用函数思想解决方程、不等式问题的方法 例6.对于定义域为R 的函数()f x ，给出下列命题： ①若函数()f x 满足条件(1)(1)2f x f x -+-=，则函数()f x 的图象关于点（0，1）对称；

②若函数()f x 满足条件(1)(1)f x f x -=-，则函数()f x 的图象关于y 轴对称； ③在同一坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-其图象关于直线1x =对称； ④在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-其图象关于y 轴对称. 其中，真命题的个数是 （ ）

A ．1 B. 2 C. 3 D. 4

例7.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )

(A)()f x 是偶函数 (B)()f x 是奇函数 (C)()(2)f x f x =+ (D)(3)f x +是奇函数

例8．已知函数()()()

22

sin 122

x

f x x x x π=+-+. （1）那么方程()0f x =在区间[100,100]-上的根的个数是__________． （2）对于下列命题：

①函数()f x 是周期函数；

②函数()f x 既有最大值又有最小值；

③函数()f x 的定义域是R ，且其图象有对称轴； ④函数()f x 在)0,1(-∈x 上单调递减.

其中真命题的序号是 ．（填写出所有真命题的序号）

例9.将{1,2,,100}分为三组,各组之和分别是102、203、304的倍数，共有多少种分法？

例10.实数,,x y z 满足11112016,

,2016

x y z x y z ++=++= 求(2016)(2016)(2016)x y z ---的值.

例11.实数,,a b c 满足33323,2(),a b c abc a b c --==+这样的a 有 个.

例12.若方程21x ax b ++=有两个不同的非零整数根,则22a b +可能为( ) A.素数 B.2的非负整数次幂 C.3的非负整数次幂 D.前三个答案都不对 例

13．设正实数,,a b c

满足222222

3,

4,7,

a b a c ac b c ⎧+=⎪++=⎨

⎪+=⎩求,,a b c 的值.

例14.若存在,M 使任意D D t (∈为函数)(x f 的定义域），都有,)(M x f ≤则称函

数)(x f 有界。问函数x x x f 1sin 1)(=在)2

1

,0(∈x 上是否有界？

例15.已知,,133221133221321321b b b b b b a a a a a a b b b a a a ++=++++=++若已知

},,,m in{},,m in{321321b b b a a a ≤求证：}.,,m ax {},,m ax {321321b b b a a a ≤

例16.是否存在实数,x 使3tan +x 与3cot +x 为有理数。

例17.实函数(),()f x g x 都是二次函数,3()()0,()()0f x g x f x g x +=-=两个方程都只有一对重根,已知()0f x =有两个不等实根,证明:()0g x =没有实根.

例18．已知函数,1

)(2bx

ax x f +=

其中a 是非零实数, .0>b (1)求)(x f 的单调区间;

(2)若,0>a 设,3,2,1,1

=>i a

x i 且.0,0,0133221>+>+>+x x x x x x 求证: ;2)()()(321b

a

x f x f x f >++ (3)若)(x f 有极小值,m i n

f 且.2)1(min ==f f 求证:

).(,22)()(*∈-≥-N n x f x f n n n

例19．已知函数.0)1(,ln 2)(=--=f x x

b

ax x f （1）若函数)(x f 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；

（2）若函数)(x f 的图像在1=x 处的切线的斜率为0，且

,1)1

1

(2'1+-+-=+n n a f a n n 已知,41=a 求证：;22+≥n a n

（3）在（2）的条件下，试比较n a a a a ++++++++11111111321 与5

2

的大小，并说明你的理由.