一元二次方程重点难点习题

例1】2010，西城，一模 已知：关于x 的方程

23(1)230

mx m x m --+-=．

()032132

=-+--m x m mx

⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；

解：（1）分两种情况：

当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =， （不要遗漏）

∴当0m =，原方程有实数根.

当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程， ∵

()()()2

2

2

[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.

∴原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）

综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根.

$

（2010年广东省广州市）已知关于x 的一元二次方程

)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求

4

)2(2

22

-+-b a ab 的值。

【关键词】分式化简，一元二次方程根的判别式 【答案】解：∵)0(012

≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，

∴⊿＝240b ac -=，即240b a -=． ∵

2

2

22222222244444)2(a ab

b a a ab b a a ab b a ab =+-=-++-=-+-∵0a ≠，∴42

22==a b

a ab

1.(2010年浙江省绍兴市)某公司投资新建了一商场,

共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出

商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年

交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.

（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间

（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的

年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元

`

【答案】（1）∵ 30 000÷5 000＝6, ∴ 能租

出24间.

（2）设每间商铺的年租金增加x 万元,则 （30－5.0x ）×（10＋x ）－（30－5

.0x

）×1－

5

.0x

×＝275， 2 x 2－11x ＋5＝0， ∴ x ＝5或，

∴ 每间商铺的年租金定为万元或15万元.

2010年安徽中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/2

m 下降到5月份的12600元/2

m

⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少（参考数据：95.09.0≈）

⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2

m 请说明理由。

【关键词】一元二次方程的应用

【答案】

,

（1）解：设4、5月份平均每月降价的百分率为x ，根据题意得

214000(1)12600x -=

化简得2

(1)0.9x -=

解得120.05, 1.95(x x =≈不合题意,舍去) 因此4、5月份平均每月降价的百分率为5%。 （2）解：如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为

212600(1)126000.91134010000x -=⨯=>

由此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m 2

(2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376

亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．

（1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1%）

—

（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总

值多少亿元（精确到1亿元）

【关键词】一元二次方程的应用

【答案】（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为

x ，

根据题意，得：1726)1(13762

=+x ∴

25

.1)1(2≈+x ，∴1.11±≈+x ，∴

%101.01=≈x ，1.21-≈x （不合题意，舍去）．

答：全市国民生产总值的年平均增长率约为10%． (2) 1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=+1726+≈

5138(亿)

答：2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值约为5138亿元

【例2】1x 、2x 是方程05322

=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）2

22

1x x + （2）21x x - （3）

22

22133x x x -+

！

略解：（1）2

22

1x x +＝212

212)(x x x x -+＝417

（2）21x x -＝212214)(x x x x -+＝2

1

3

（3）原式＝)32()(22

22221x x x x -++＝

5417

+＝4

112

【例

3】已知关于

x

的方程

05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个

根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

分析：有实数根，则△≥0，且16212

22

1+=+x x x x ，联立解得m 的值。

略解：依题意有：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥--+=∆+=+-=+-=+0)5(4)2(416

5)

2(222212

2212

2121m m x x x x m x x m x x 由①②③解得：1-=m 或15-=m ，又由④可知m ≥4

9

-

∴15-=m 舍去，故1-=m

…

探索与创新：

【问题一】已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程

0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与

2x 能否同号若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不

能同号，请说明理由。

略解：由1632+-=∆m ≥0得m ≤

2

1

。121+-=+m x x ，2

214

1m x x =

≥0 ∴1x 与2x 可能同号，分两种情况讨论：

（1）若1x ＞0，2x ＞0，则⎩⎨⎧>>+0

2121x x x x ，解得m ＜

1且m ≠0