现代数学简介

Sergei Lvovich Sobolev (Russian, 6 October 1908 – 3 January 1989)
Charles Bradfield Morrey (23 July 1907 – 29 April 1984)
Johann Carl Friedrich Gauss (30 April 1777 – 23 February 1855)
非欧几何
1826年，罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧 几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存 在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几 何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前 奏和准备。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学 一片更广阔的领域——黎曼几何学。非欧几何学 的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以 作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相 容性和独立性等问题。
邱成桐
Hilbert的23个问题
伟大的数学家Hilbert 希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.23～1943.2.14）是二十世纪上半叶德 国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年 的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的 思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派 的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各 地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世 时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一 位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是 数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名 字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的 问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个 问题"。
不可交换代数
在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立
的代数——四元数代数。不可交换代数的出现，
改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代
数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代
代数的大门。
另一方面，由于一元方程
根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪
20～30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学
Newton(25 December 1642 – 20 March 1727 )
Leibnitz(July 1, 1646 – November 14, 1716)
Hilbert(January 23, 1862 – February 14, 1943)
Karl Weierstrass (German, 31 October 1815 – 19 February 1897)
的研究。古典代数的内容是以讨论方程的解法为
中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、
布尔代数、线性空间等)被建立。
数学的严格化
1）分析的算术化（19世纪）。Newton 和Leibnitz 创立 了微积分. 但是不严格。1874年威尔斯特拉斯提出了 一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻 的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的著名设 想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概 念应该由此数系导出。今天的全部分析可以从表明实 数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。欧几里得 几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中；如果 欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实 数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使 大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上， 可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也 是相容的。
特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能
解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。
Hilbert的23个问题
1． 连续统假设 1874年，康托猜测在可列集 基数和实数基数之间没有别的基数，这就是 著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了 连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔 Zermelo-Fraenkel集合论公理系统的无矛盾性。 1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策 梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此， 连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系 内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这 个意义上已获解决。
3）19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺 的工作，这些数学基础已经建立在更简单、 更基础的自然数系之上。即他们证明了实数 系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公 设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可 用集合论概念来定义，因而各种数学能以集 合论为基础来讲述。
数学的严格化
4) 拓扑学开始是几何学的一个分支，但是 直到20地定义为对于连续性的 数学研究。科学家们认识到：任何事物的集 合，不管是点的集合、数的集合、代数实体 的集合、函数的集合或非数学对象的集合， 都能在某种意义上构成拓扑空间。
现代数学简介
复旦大学数学科学学院 刘宪高
现代数学的主要内容
现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这 一时期数学主要研究的是最一般的数量关系 和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情 形，通常的一维、二维、三维空间的几何形 象也仅仅是特殊情形。分析学，几何学和拓 扑学、代数学是整个现代数学科学的主体部 分。它们是大学数学专业的课程。
数学的严格化
2）欧几里得几何通过其分析的解释（解析几 何），也可以放在实数系中；如果欧氏几何 是相容的，则几何的多数分支是相容的。实 数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支； 可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容 性。事实上，可以说：如果实数系是相容的， 则现存的全部数学也是相容的。
数学的严格化
Augustin-Louis Cauchy (French, 21 August 1789 – 23 May 1857)
Bernhard Riemann(September 17, 1826 – July 20, 1866)
Euler( 15 April 1707 – 18 September 1783)
Hilbert的23个问题
• 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国 际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世 纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当 时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半 的大多数也都有重大进展。
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1976年，在美国数学家评选的自1940年以
来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯