三角函数听课
听课正文-第三单元-三角函数、解三角形
第三单元三角函数、解三角形第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数课前双击巩固1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= .2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.(2)公式:①1°=rad,②1 rad=°弧长l=3.任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α=,cosα=,tan α=(x≠0).(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的、和.图3-16-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一常识题1.[教材改编]终边在射线y=-x(x<0)上的角的集合是.2.[教材改编] (1)67°30'= rad;(2)=°.3.[教材改编]半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是.4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α=.题组二常错题◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.5.在△ABC中,若sin A=,则A= .6.已知点P(sin α-cos α,tan α)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围是.7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则-= .8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为cm2.课堂考点探究探究点一角的集合表示及象限角的判定1 (1)设集合M=x x=·180°+45°,k∈Z,N=x x=·180°+45°,k∈Z,那么()A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N=⌀(2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是.图3-16-2[总结反思] 把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限.式题(1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=. (2)若角α的终边在x轴的上方,则是第象限角.探究点二扇形的弧长、面积公式2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是.(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是.[总结反思] 应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.式题(1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()A.B.C.- D.-(2)圆内接矩形的长宽之比为2∶1,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所对圆心角的弧度数为.探究点三三角函数的定义考向1三角函数定义的应用3 (1)[2017·西安一模]函数y=log a(x-3)+2(a>0且a≠1)的图像过定点P,且角α的终边过点P,则sin α+cos α的值为()A.B.C.D.(2)[2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=,则sin β=.[总结反思] 三角函数定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.考向2三角函数值的符号判定4 (1)使lg(sin θ·cos θ)+-有意义的θ为()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)若角α的终边落在直线y=-x上,则+= .[总结反思] 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.考向3三角函数线的应用5 函数f(x)=+ln sin x-的定义域为.[总结反思] 利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x≥b,cos x≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.强化演练1.【考向1】点P从点,-出发,沿单位圆按逆时针方向运动后到达Q点,若α的始边在x轴的正方向上,终边在射线OQ上,则sin α=()A.1B.-1C.D.-2.【考向2】已知角α的终边在第一象限,点P(1-2a,2+3a)是其终边上的一点,若cos α>sin α,则实数a的取值范围是.3.【考向3】满足cos α≤-的角α的集合为.第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课前双击巩固1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:.(2)商数关系:.2.诱导公式常用结论1.sin(kπ+α)=(-1)k sin α.2.在△ABC中:(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C;(2)sin =cos ,cos =sin .题组一常识题1.[教材改编]已知cos α=,且α是第四象限角,则sin α的值为.2.[教材改编]已知-=-5,那么tan α的值为.3.[教材改编]已知sin α=,则cos= .4.[教材改编]求值:sin(-1200°)·cos 1290°= .题组二常错题◆索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;kπ±α形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错.5.已知△ABC中,=-,则cos A等于.6.已知cosπ+α=-,且α是第四象限角,则cos(-3π+α)= .7.已知-=5,则sin2α-sin αcos α=.8.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是.课堂考点探究探究点一三角函数的诱导公式1 (1)已知f(α)=--,则f=()A.B.C.D.-(2)[2017·邢台一中月考]已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是()A.B.C.-D.-[总结反思] (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.式题(1)[2017·龙岩六校联考] sin 300°+tan 600°的值是()A.-B.C.-+D.+(2)若sin-α=,则cos+α= .探究点二同角三角函数的基本关系考向1切弦互化2 (1)[2017·亳州三模]已知x∈,π,tan x=-,则cos-x-等于()A.B.-C.-D.(2)[2017·江西重点中学一联]设0<α<π,且sinα+=,则tanα+的值是()A.B.-C.D.-[总结反思] 同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系tan α=和平方关系1=sin2α+cos2α.考向2“1”的变换3 (1)[2017·常德一中期中]已知tan x=2,则2sin2x-sin x cos x+cos2x的值为. (2)[2017·桂林模拟]已知sin x-cos x=,x∈0,,则tan x= .[总结反思] 对于含有sin2x,cos2x,sin x cos x的三角函数求值题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子,从而求解.考向3和积转换4 若sin α+cos α=-,0<α<π,则sin+α·cos-α的值为.[总结反思] 对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α可以达到转换、知一求二的目的.强化演练1.【考向1】已知cos x+sin x=,x∈(0,π),则tan x等于()A.-B.-C.2D.-22.【考向2】若tan α=2,则4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=.3.【考向3】若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为.第18讲三角函数的图像与性质课前双击巩固正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质(下表中k∈Z)图像x x∈R,且x≠kπ+,k∈Z单调性2kπ-,2kπ+上为增函数;上为减函数[2上为增函数kπ-,kπ+上为增函数对称kπ+,0,0常用结论1.函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.3.三角函数中奇函数一般可化为y=A sin ωx或y=A tan ωx的形式,偶函数一般可化为y=A cos ωx+b的形式.题组一常识题1.[教材改编]函数y=2sin(2x-1)的最小正周期是.2.[教材改编]若函数y=A sin x+1(A>0)的最大值是3,则它的最小值是.3.[教材改编]函数y=2cos x在[-π,0]上是函数,在[0,π]上是函数.4.[教材改编]函数f(x)的定义域为[0,1],则f(cos x)的定义域为.题组二常错题◆索引:忽视y=A sin x(或y=A cos x)中A对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视限制条件.5.函数y=1-2cos x的单调递减区间是.6.函数y=cos x tan x的值域是.7.函数y=-cos2x+3cos x-1的最大值为.8.设sin x+sin y=,则M=sin x+sin2y-1的最大值与最小值分别为.课堂考点探究探究点一三角函数的定义域1 (1)函数f(x)=+tan x+的定义域是.(2)函数y=lg(sin x)+-的定义域为.[总结反思] 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式(组), 借助三角函数线或三角函数图像来求解.式题(1)函数y=-的定义域为.(2)函数f(x)=-2tan2x+的定义域是.探究点二三角函数的值域或最值2 (1)函数y=2sin-(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 ()A.2-B.0C.-1D.-1-(2)函数y=cos 2x+2cos x的值域是()A.[-1,3]B.-C.--D.[总结反思] 常见三角函数值域(最值)问题的求解方法:①形如y=a sin x+b cos x+c的三角函数,化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=a sin2x+b sin x+c的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数求值域(最值);③形如y=a sin x cos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).式题(1)函数y=|sin x|+sin x的值域为()A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,0]D.[0,2](2)函数y=cos x-sin x+4sin x cos x的最大值是.探究点三三角函数的性质考向1三角函数的周期性3 (1)[2017·淮北一中期中]函数f(x)=sin3x+的最小正周期是.(2)下列函数中,周期为的偶函数为()A.y=sin 4xB.y=cos 2xC.y=tan 2xD.y=sin-4x[总结反思] 对于函数y=A sin(ωx+φ)+k或y=A cos(ωx+φ)+k,其最小正周期T=.考向2三角函数的对称性4 (1)函数y=2sin2x+的图像()A.关于原点对称B.关于点-,0对称C.关于y轴对称D.关于直线x=对称(2)[2017·潍坊三模]若直线x=π和x=π是函数y=cos(ωx+φ)(ω>0)图像的两条相邻对称轴,则φ的一个可能取值为()A. B.C.D.[总结反思] (1)对于函数y=A sin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数图像的对称性与周期T之间有如下结论:①若函数图像相邻两条对称轴分别为x=a与x=b,则周期T=2|b-a|;②若函数图像相邻两对称中心分别为(a,0),(b,0),则周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为(a,0)与x=b,则周期T=4|b-a|.考向3三角函数的单调性5 (1)[2017·衡阳八中期中]在下列给出的函数中,以π为周期且在0,上是减函数的是()A.y=cosB.y=cos(-2x)C.y=sinD.y=tan-(2)已知ω>0,函数f(x)=cosωx-在,π上单调递减,则ω的取值范围是()A.B.C.D.(0,2][总结反思] (1)形如y=A sin(ωx+φ)的函数的单调性问题,一般是将ωx+φ看成一个整体,再结合图像利用y=sin x的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性.强化演练1.【考向2】[2017·三明质检]已知函数f(x)=sin(x+φ)-cos(x+φ)|φ|<的图像关于直线x=π对称,则cos 2φ=()A.-B.-C.D.2.【考向1】函数f(x)=2cos2x--1是()A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为的奇函数 D .最小正周期为 的偶函数3.【考向2】如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点,0中心对称,那么|φ|的最小值为( )A .B .C .D .4.【考向3】函数f (x )=sin -2x+的单调递减区间为 .第19讲 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课前双击巩固1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:3.函数y=sin x的图像经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin,则原函数的解析式是.3.[教材改编]若函数f(x)=sin ωx(0<ω<2)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则ω=.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sin x+φ的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=sin cos 在区间-上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f-,且f=-3,则实数m= .8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-2所示,则φ=.图3-19-2课堂考点探究探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换1 (1)[2016·全国卷Ⅰ]将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+B.y=2sin2x+C.y=2sin2x-D.y=2sin2x-(2)[2018·安徽江南十校联考]函数y=cos 2x的图像可以由函数y=sin 2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度[总结反思] 由y=sin x的图像变换到y=A sin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.式题(1)[2017·雅安三诊]把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,所得图像的函数解析式为()A.y=sin-B.y=sin-C.y=sin-D.y=sin-(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式2 (1)[2017·马鞍山三模]已知函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3(2)已知函数f(x)=M sin(ωx+φ)M>0,|φ|<的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A 为图像的一个最高点),B-,0,则函数f(x)= .图3-19-4[总结反思] 利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且A,1,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质3 (1)[2017·惠州模拟]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后所得图像过点P(0,1),则函数f(x)=sin(ωx+φ) ()A.在区间-上单调递减B.在区间-上单调递增C.在区间-上单调递减D.在区间-上单调递增(2)[2017·西宁二模]函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A,B分别为最高点与最低点,且|AB|=2则该函数图像的一条对称轴为()图3-19-6A.x=B.x=-C.x=2D.x=1[总结反思] 求y=A sin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式的一般步骤.(1)求A,B.确定函数的最大值M和最小值m,则A=-,B=.(2)求ω.确定函数的周期T,则ω=.(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题[2017·长安一中质检]已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-19-7所示,若f(0)=,且·=-8,B,C分别为最高点与最低点.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若将f(x)的图像向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O距离水面2 m,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P从水中浮现(即到达图中点P0)时开始计时.(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P距水面的高度超过4 m.图3-19-8[总结反思] (1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=A sin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)把实际问题“翻译”为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,最后把数学结论“翻译”为实际问题的答案.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为℃.第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切课前双击巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式S(α±β):sin(α±β)= .(2)公式C(α±β):cos(α±β)=.(3)公式T(α±β):tan(α±β)= .常用结论1.两角和与差的正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.二倍角余弦公式的变形:sin2α=,cos2α=.3.一般地,函数f(α)=a sin α+b cos α(a,b为常数)可以化为f(α)=α+φ)其中或f(α)=cos(α-φ)其中.题组一常识题1.[教材改编] sin 75°的值为.2.[教材改编]已知cos α=-,α∈,则sinα+的值是.3.[教材改编] cos 65°cos115°-cos 25°·sin 115°= .4.[教材改编]已知tan α=,tan β=-2,则tan(α-β)的值为.题组二常错题◆索引:忽略角的范围,用错公式的结构;用错两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.5.已知tan+α=,α∈,π,则cos α的值是.6.化简:sin x-cos x= .7.计算:= .8.若α+β=,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为.课堂考点探究探究点一两角和与差的三角函数公式1 (1)若sin(α+β)=2sin(α-β)=,则sin αcos β的值为()A.B.-C.D.-(2)[2017·惠州模拟]已知α∈0,,cosα+=-,则cos α=.[总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.式题(1)[2017·德州二模]已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,那么β=()A. B.C.D.(2)[2017·肇庆二模]已知tan α,tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)= .探究点二两角和与差公式的逆用与变形2 (1)[2017·常德一中期中]已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,则sin(α-β)= .(2)[2017·长沙三模]已知α-β=,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为.[总结反思] 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);(2) a sin α+b cos α=sin(α+φ)tan φ=.式题(1)[2017·淮北一中期中] sin 42°cos18°-cos 138°cos72°= .(2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)= .探究点三角的变换问题的值为()3 (1)[2017·宜春四校联考]已知tan(α+β)=,tanβ-=,则-A. B.C. D.(2)[2017·龙岩六校联考]已知<α<,0<β<,cos+α=-,sin+β=,则sin(α+β)的值为.[总结反思] 常见的角变换:±2α=2±α,2α=(α+β)+(α-β),α=+-,+α=--α等.式题(1)已知tan α=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值为()A.-B.C.-D.(2)[2017·运城模拟]已知α为锐角,若sinα-=,则cosα-=()A.B.C.D.-第21讲二倍角公式与简单的三角恒等变换课前双击巩固1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin 2α=.(2)公式C2α:cos 2α== = .(3)公式T2α:tan 2α=.2.常用的部分三角公式(1)1-cos α=,1+cos α=.(升幂公式)(2)1±sin α=.(升幂公式)(3)sin2α=,cos2α=,tan2α=.(降幂公式)(4)sin α=,cos α=,tan α=.(万能公式)(5)a sin α+b cos α=,其中sin φ=,cos φ=.(辅助角公式) 3.三角恒等变换的基本技巧(1)变换函数名称:使用诱导公式.(2)升幂、降幂:使用倍角公式.(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan.(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.常用结论半角公式:sin =±,cos =±,tan =±==.题组一常识题1.[教材改编] sin 15°-cos 15°的值是.2.[教材改编]已知f(x)=sin2x-(x∈R),则f(x)的最小正周期是.3.[教材改编]已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β的值为.4.[教材改编]已知sin θ=,θ为第二象限角,则sin 2θ的值为.题组二常错题◆索引:求三角函数值时符号的选取(根据求解目标的符号确定);已知三角函数值时求角的范围;a sin α+b cos α=sin(α+φ)中φ值的确定.5.sin 112.5°= .6.已知α,β均为锐角,且tan α=7,tan β=,则α+β=.7.化简sin α-cos α=α+φ)中的φ=.8.已知sin 2α=,2α∈0,,则sin α-cos α=.课堂考点探究探究点一三角函数式的化简1 (1)+=()A.2sin 3B.-2sin 3C.2cos 3D.-2cos 3(2)[2017·重庆一中段考]已知α∈R,则函数f(x)=1-sin2(x+α)+cos(x+α)sin(x+α)的最大值为.[总结反思] (1)化简标准:函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升幂的作用.(3)当角α的终边在直线y=x的上方区域时,sin α>cos α;当角α的终边在直线y=x的下方区域时,sin α<cos α.式题[2017·合肥一模]已知sin 2α-2=2cos 2α,则sin2α+sin 2α=.探究点二三角函数式的求值考向1给值求值2 (1)[2017·厦门一中模拟]已知cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos= .(2)已知cos x-=,则cos2x-+sin2-x的值为()A.-B.C.D.-[总结反思] 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.考向2给角求值3 求值:=()A.1B.2C.D.[总结反思] 该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.考向3给值求角4 已知<α<π,-π<β<0,tan α=-,tan β=-,求2α+β的值.[总结反思] 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:①已知正切函数值,则选正切函数.②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是0,,则选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为-,,则选正弦较好.强化演练1.【考向1】[2017·郑州质量预测]已知cosπ-2θ=-,则sin+θ的值等于()A.B.±C.- D.2.【考向3】[2018·六安一中月考]若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,π,β∈π,则α+β的值是()A. B. C.或 D.或=,则tan 2α等于.3.【考向1】[2017·黄冈期末]若-4.【考向2】[2017·淮北第一中学期中]= .探究点三三角恒等变换的综合应用5 [2017·赣州二模]已知函数f(x)=sin ωx cos ωx-cos2ωx+(ω>0)图像的两条相邻对称轴之间的距离为.(1)求函数y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若函数y=f(x)-在(0,π)上的零点为x1,x2,求cos(x1-x2)的值.[总结反思] (1)求三角函数解析式y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)时要注意φ的取值范围.(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注意开方后三角函数值的符号.式题已知函数f(x)=2sin x(cos x-sin x).(1)求函数f (x )在-,上的值域;(2)在△ABC 中,f (C )=0,且sin B=sin A sin C ,求tan A 的值.第22讲 正弦定理和余弦定理课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理2.在△ABC 中,已知a ,b 和A 时,解的情况如下:3.三角形面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高);(2)S=bc sin A=ac sin B=ab sin C;(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;变形:=-.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin =cos ;(4)cos =sin .3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=b cos A+a cos B.题组一常识题1.[教材改编]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于.2.[教材改编]在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°,则c= .3.[教材改编]在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.4.[教材改编]在△ABC中,已知a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为.题组二常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为;若sin A>sin B,则A,B的关系为.6.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B等于.7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积等于.8.在△ABC中,角A,B,C满足sin A cos C-sin B cos C=0,则三角形的形状为.课堂考点探究探究点一利用正弦﹑余弦定理解三角形1 [2017·成都三诊]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2b cos A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求a+c的最大值.[总结反思] (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题(1)[2017·合肥二模]在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=,则b2+c2的取值范围是()A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)[2017·天津南开区三模]如图3-22-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为.图3-22-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2 [2017·襄阳五中一模]如图3-22-2所示,图3-22-2在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.[总结反思] 判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题在△ABC中,若sin A=2cos B sin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3 [2017·山西吕梁一模]已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin A sin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.[总结反思] (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.第23讲正弦定理和余弦定理的应用课前双击巩固1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的叫仰角,目标视线在水平视线的叫俯角,如图3-23-1(a)所示.2.方位角:指从顺时针转到目标方向线的水平角,如图3-23-1(b)中B点的方位角为α.图3-23-13.方向角:相对于某正方向的,如北偏东α,即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3-23-1(c)),其他方向角类似.4.坡角:坡面与所成的二面角的度数(如图3-23-1(d)所示,坡角为θ).坡比:坡面的铅直高度与之比(如图3-23-1(d)所示,i为坡比).题组一常识题。
听课答案-第三单元-三角函数、解三角形
全品高考复习方案数学(理科) RJA 第三单元三角函数、解三角形1.编写意图三角恒等变换公式是解决三角函数问题的主要工具,本单元把教材中的三角函数和简单三角恒等变换进行了整合.在编写中注意到如下的几个问题:(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习的力度,控制了选题的难度;(2)考虑到三角函数知识的工具性,适当加入了三角函数在各个方面应用的一些题目;(3)在第22讲中强化了正弦定理和余弦定理解三角形的技巧和方法,以基本的选题讲解如何应用这两个定理解三角形,并在第23讲中着重讲解对其的应用,以培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.2.教学建议鉴于该部分知识的重要性,以及该部分在高考中的考查特点是重视基础知识和基本方法,教师在引导学生复习该部分时,要注意如下几个问题:(1)进行考情思路分析,使学生明白该部分在高考中的考查特点是重视基础,在复习中不要追求难题、偏题和怪题,只要把基础题复习透彻即可.(2)由于该部分的选题以基础为主,其中绝大多数问题学生都能独立完成,在教学中要充分发挥学生的主体地位,尽量让学生独立完成包括例题在内的题目,教师的职责在于对方法和规律的总结,在于引导.(3)在复习中要对照考试说明,关注一些公式的导出过程,如“能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角和差的余2弦公式”等.(4)正弦定理、余弦定理是考试说明要求掌握的内容,是最高级别的要求,在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌握这两个定理的证明,然后通过例题讲解和变式训练使学生牢固掌握这两个定理,并能利用其解有关三角形的题目.(5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化,在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思想,教师在引导学生复习时,要注重引导学生寻求合理的边角互化的方向.正弦定理、余弦定理本身就是一个方程,在三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题.(6)解三角形的实际应用题也常出现在高考中.解三角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度和距离,通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理,把求解目标纳入到一个新的可解三角形中,再根据正弦定理和余弦定理加以解决,教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生,这是解三角形实际应用问题的本质所在.3.课时安排该部分共8讲,2个小题必刷卷,1个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,必刷卷建议1课时完成,建议共9课时完成复习任务.第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数考试说明 1.任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念. (2)能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.考情分析考点 考查方向考例热度 任意角的三角函数 任意角、任意角的三角函数定义的应用 2014全国卷Ⅰ6 ★★☆ 弧度制、三角函数线 弧度制与角度制的互化、三角函数线的应用 ★☆☆ 扇形的弧长、面积公式 使用公式进行相关的计算☆☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2014·全国卷Ⅰ] 如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y=f (x )在[0,π]上的图像大致为 ( )A BC D[解析] C 根据三角函数的定义,点M (cos x ,0),△OPM 的面积为12|sin x cos x|,在直角三角形OPM 中,根据等积关系得点M 到直线OP 的距离f (x )=|sin x cos x|=12|sin 2x|,且当x=π2时上述关系也成立,故函数f (x )的图像为选项C 中的图像. ■ [2017-2016]其他省份类似高考真题 【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)端点 (2)正角 负角 象限角 (3){β|β=α+k ·360°,k ∈Z }2.(1)半径长 (2)|α|r3.(1)y x (2)余弦线 正弦线 正切线 对点演练1.{α|α=k ·360°+120°,k ∈Z } [解析] 终边在射线y=-√3x (x<0)上的最小正角为120°,所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k ·360°+120°,k ∈Z }.2.(1)38π (2)15 [解析] (1)67°30'=67.5×π180=3π8(rad );(2)π12=π12×(180π)°=15°.3.1.2 [解析] 根据圆心角弧度数的计算公式得,α=144120=1.2.4.3√5-105[解析] r=√(-1)2+22=√5,所以sin α=√5=2√55,cos α=-√5=-√55,tan α=2-1=-2,所以sinα-cos α+tan α=3√5-105. 5.π4或34π [解析] 因为0<A<π且sin A=√22,所以A=π4或A=34π. 6.(0,π4)∪(5π4,3π2) [解析] 由题意得{sinα-cosα<0,tanα>0⇒在[0,2π]内α的取值范围为(0,π4)∪(5π4,3π2).7.±2 [解析] ∵角α的终边落在直线y=-3x 上,在角α的终边上取一点P (x 0,-3x 0).当x 0<0时,P 在第二象限,∴|sinα|sinα-|cosα|cosα=sinαsinα--cosαcosα=1+1=2. 当x 0>0时,P 在第四象限,∴|sinα|sinα-|cosα|cosα=-sinαsinα-cosαcosα=-1-1=-2.8.80π [解析] 72°=2π5 rad ,∴S 扇形=12αr 2=12×2π5×202=80π(cm 2). 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)观察集合M 与N 即可,关键是比较集合M 中的k2与集合N 中的k4的取值情况;(2)分别写出两块阴影部分对应的角的集合,再求它们的并集. (1)B (2){α|k ·180°+45°<α<k ·180°+135°,k ∈Z } [解析] (1)M 中,x=k2·180°+45°=k ·90°+45°=45°·(2k+1),k ∈Z ,2k+1是奇数;N中,x=k 4·180°+45°=k ·45°+45°=45°·(k+1),k ∈Z ,k+1是整数.综上知必有M ⊆N. (2)由题意可得所求集合为{α|k ·360°+45°<α<k ·360°+135°,k ∈Z }∪{α|k ·360°+225°<α<k ·360°+315°,k ∈Z }={α|k ·180°+45°<α<k ·180°+135°,k ∈Z }.变式题 (1)-30°+k ·360°,k ∈Z (2)一或三 [解析] (1)因为角α的终边与-30°角的终边关于直线x+y=0对称,所以β=-30°+k ·360°,k ∈Z . (2)∵角α的终边落在x 轴的上方,∴k ·360°<α<180°+k ·360°,k ∈Z ,∴k ·180°<α2<90°+k ·180°,k ∈Z .当k=2n (n ∈Z )时,有n ·360°<α2<90°+n ·360°,可知α2为第一象限角;当k=2n+1(n ∈Z )时,有n ·360°+180°<α2<270°+n ·360°,可知α2为第三象限角.例2 [思路点拨] (1)找出弧长与半径,用弧度制公式求解;(2)将面积用半径r 表示出来,用二次函数法求最大值,找出面积取得最大值时的弧长和半径,求得圆心角的弧度数.(1)2+2√2 (2)2 [解析] (1)设圆的半径为r ,则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r ,一条直角边长为√2r ,所以周长为2r+2√2r ,所以圆弧所对圆心角的弧度数是2r+2√2rr =2+2√2. (2)设扇形的半径为r ,弧长为l ,则l+2r=18,即l=18-2r ,所以扇形面积S=12l ·r=12(18-2r )·r=-r 2+9r ,当r=92时,S 取得最大值,此时l=18-2r=9,所以圆心角的弧度数是l r =992=2.变式题 (1)C (2)2√55[解析] (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故选项A ,B不正确;又因为拨快10分钟,故应转过的角的绝对值大小为周角的16,即为-16×2π=-π3. (2)设圆的半径为r ,则矩形的对角线长为2r ,设矩形的宽为x ,则(2x )2+x 2=(2r )2,所以x=2√5r5,所以,所求圆心角的弧度数为x r =2√55.例3 [思路点拨] (1)依据对数函数的图像特征确定所经过的定点,再利用正弦、余弦函数的定义求解;(2)依据sin α=13可设角α终边上的某一符合条件的点,巧用定义求解. (1)D (2)13 [解析] (1)∵函数y=log a (x-3)+2的图像过定点P (4,2),且角α的终边过点P ,∴x=4,y=2,r=2√5,∴sin α=√55,cos α=2√55,∴sin α+cos α=√55+2√55=35√5. (2)根据三角函数的定义不妨设角α的终边上一点P (x ,1),|OP|=3,因为角α与角β的终边关于y 轴对称,所以角β的终边一定经过点P'(-x ,1),|OP'|=3,所以sin β=13.例4 [思路点拨] (1)根据题意列出有关不等式,依据角在不同象限的符号情况进行分析;(2)分别对角在第二和第四象限进行讨论求解.(1)C (2)0 [解析] (1)由题意知sin θ·cos θ>0且-cos θ≥0,由sin θ·cos θ>0,知θ为第一、三象限角,又由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二、三象限角或θ在x 轴的负半轴上,所以可知θ为第三象限角.所以选C .(2)∵角α的终边落在直线y=-x 上,∴角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα-cosα+sinαcosα=0;当角α的终边位于第四象限时,sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinαcosα+-sinαcosα=0.∴sinα|cosα|+|sinα|cosα=0.例5 [思路点拨] 利用单位圆上的三角函数线分别作出cos x=12及sin x=√22对应的三角函数线,再结合函数的意义求定义域.x 2k π+π3≤x<2k π+3π4,k ∈Z [解析] 由题意得,自变量x 应满足{1-2cosx ≥0,sinx -√22>0,即{cosx ≤12,sinx >√22,则如图中阴影部分所示,不等式组的解集为x 2k π+π3≤x<2k π+3π4,k ∈Z .强化演练1.A [解析] 依题意,点Q 在y 轴正方向上,所以α=π2+2k π,k ∈Z ,所以sin α=1.故选A . 2.-23<a<-15[解析] 由cos α>sin α得1-2a |OP|>2+3a|OP|,解得a<-15.又因为P (1-2a ,2+3a )在第一象限,所以{1-2a >0,2+3a >0,解得-23<a<12.综上知-23<a<-15.3.α2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z [解析] 作出直线x=-12,交单位圆于C ,D 两点,连接OC ,OD ,则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为α2k π+23π≤α≤2k π+43π,k ∈Z .【备选理由】例1为角的集合表示;例2为三角函数定义的应用,重点是旋转后点B 的坐标的确定;例3为利用三角函数线求解不等式.1 [配合例1使用] 如图,写出终边落在直线y=√3x 上的角的集合(用弧度制表示).解:在0°~360°范围内,终边落在直线y=√3x 上的角有两个,分别是60°和240°,即在[0,2π)内终边落在该直线上的角是π3,43π.因此,所有与π3终边相同的角的集合是S=αα=2k π+π3,k ∈Z , 所有与43π终边相同的角的集合是T=αα=2k π+4π3,k ∈Z .所以,终边落在直线y=√3x 上的角的集合为S ∪T=αα=2k π+π3,k ∈Z ∪αα=2k π+4π3,k ∈Z =αα=2k π+π3,k ∈Z ∪αα=(2k+1)π+π3,k ∈Z =αα=k π+π3,k ∈Z .2 [配合例3使用] 已知A (x A ,y A )是单位圆(圆心为坐标原点O ,半径为1)上任一点,将射线OA 绕点O 逆时针旋转π3到OB ,OB 交单位圆于点B (x B ,y B ),已知m>0,若my A -2y B 的最大值为3,则m= . [答案] √6+1[解析] 设∠xOA=α,由三角函数的定义,得y A =sin α,y B =sin α+π3,则my A -2y B =m sin α-2sinα+π3=(m-1)sin α-√3cos α,其最大值为√(m -1)2+3=3,又m>0,∴m=√6+1.3 [配合例5使用] 在(0,2π)内,使得sin x>cos x 成立的x 的取值范围是 ( )A .(π4,π2)∪(π,5π4)B .(π4,π)C .(π4,5π4)D .(π4,π)∪(5π4,3π2)[解析] C 当x ∈π2,π时,sin x>0,cos x ≤,显然sin x>cos x 成立;当x ∈0,π4时,如图,OA 为x的终边,此时sin x=|MA|,cos x=|OM|,sin x ≤cos x ;当x ∈π4,π2时,如图,OB 为x 的终边,此时sinx=|NB|,cos x=|ON|,sin x>cos x.同理当x ∈π,5π4时,sin x>cos x ;当x ∈5π4,2π时,sin x ≤cos x.故选C .第17讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试说明 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sinx cosx=tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考情分析考点 考查方向 考例 热度 诱导公式 求值、变换 三角函数式 2016全国卷Ⅰ14 ★☆☆ 同角三角函数关系 求值、变换 三角函数式 2016全国卷Ⅲ5, 2013全国卷Ⅱ15 ★★☆三角形中的诱导公式、 同角三角函数关系在三角形中 的求值、化简2017全国卷Ⅰ11 2017全国卷Ⅱ16★☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅲ] 若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α= ( ) A .6425 B .4825C .1D .1625[解析] A cos 2α+2sin 2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×341+(34)2=6425.2.[2013·全国卷Ⅱ] 设θ为第二象限角,若tan θ+π4=12,则sin θ+cos θ= .[答案] -√105[解析] 由tan (θ+π4)=12得1+tanθ1-tanθ=12⇒tan θ=-13⇒cos θ=-3sin θ,由sin 2θ+cos 2θ=1⇒10sin 2θ=1,θ在第二象限⇒sin θ=√1010,cos θ=-3√1010,∴sin θ+cos θ=-√105.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷] 在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= . [答案] 13[解析] 由题意可知角α在第一或第二象限,若角α与角β的终边关于y 轴对称,则β=2k π+π-α(k ∈Z ),所以sin β=sin (π-α)=sin α=13.2.[2016·江苏卷] 在锐角三角形ABC 中,若sin A=2sin B sin C ,则tan A tan B tan C 的最小值是 . [答案] 8[解析] 方法一:∵sin A=2sin B sin C ,sin A=sin (B+C )=sin B cos C+cos B sin C ,∴sin B cosC+cos B sin C=2sin B sin C ,两边同除以cos B cos C ,可得tan B+tan C=2tan B tan C ,tan A tan B tan C=-tan (B+C )tan B tan C=-tanB+tanC1-tanBtanC ·tan B tan C=2(tanBtanC)2tanBtanC -1,由三角形为锐角三角形得tan B>0,tan C>0,tan A=tanB+tanCtanBtanC -1>0,即tan B tan C-1>0.令tanB tan C-1=t (t>0),则tan A tan B tan C=2(t+1)2t=2t+1t +2≥8,当t=1,即tan B tan C=2时取等号.方法二:同方法一可得tan B+tan C=2tan B tan C ,又tan A+tan B+tan C=tan A+(1-tan B tan C )·tan (B+C )=tan A-tan A+tan A tan B tan C=tanA ·tanB tanC ,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C ≥2√2tanAtanBtanC ⇒tan A tan B tan C ≥8,当且仅当tan A=2tan B tan C=4时取等号. 【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)sin 2α+cos 2α=1 (2)sinαcosα=tan α,α≠k π+π2(k ∈Z ) 2.-sin α -sin α -cos α -cos α -sin α tan α -tan α 对点演练1.-513 [解析] 由于α是第四象限角,故sin α=-√1-cos 2α=-513. 2.-2316 [解析] 由sinα-2cosα3sinα+5cosα=-5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α可得,tanα-23tanα+5=-5,得tan α=-2316. 3.√33[解析] cos (3π2+α)=cos (π+π2+α)=-cos (π2+α)=sin α=√33.4.34 [解析] 原式=-sin (120°+3×360°)cos (210°+3×360°)=-sin 120°·cos 210°=-sin (180°-60°)·cos (180°+30°)=sin 60°·cos 30°=√32×√32=34.5.-1213 [解析] ∵cosAsinA =-125,∴sin A=-512cos A ,∵A 为△ABC 的内角,∴sin A>0,∴cos A<0.又sin 2A+cos 2A=1,∴求得cos A=-1213.6.-45[解析] cos32π+α=sin α=-35,且α是第四象限角,所以cos α=45,所以cos (-3π+α)=-cosα=-45.7.25 [解析] 由sinα+3cosα3cosα-sinα=5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α,得tanα+33-tanα=5,得tanα=2,所以sin 2α-sin αcos α=sin 2α-sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α-tanαtan 2α+1=25.8.{2,-2} [解析] 当k 为偶数时,A=sinαsinα+cosαcosα=2;当k 为奇数时,A=-sinαsinα-cosαcosα=-2. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)根据三角函数的符号和诱导公式求解;(2)整体将α-15°,105°-α转化为含75°+α的角的形式,再利用诱导公式求解. (1)A (2)D [解析] (1)f (α)=sin(2π-α)cos(π2+α)cos(-π2+α)tan(π+α)=-sinα·(-sinα)sinα·tanα=sin 2αsinα·sinαcosα=cos α,则f (π3)=cos π3=12.(2)∵cos (75°+α)=13,∴sin (α-15°)+cos (105°-α)=sin [(α+75°)-90°]+cos [180°-(α+75°)]=-cos (75°+α)-cos (75°+α)=-23.变式题 (1)B (2)13 [解析] (1)sin 300°+tan 600°=sin (-60°)+tan 60°=-sin 60°+tan 60°=-√32+√3=√32.故选B .(2)∵sinπ4-α=13,∴cos π4+α=cos π2-π4-α=sinπ4-α=13.例2 [思路点拨] (1)由tan x=-43及平方关系解出sin x ,再根据诱导公式求解;(2)把α+π4看成一个整体,根据基本关系求解. (1)C (2)B [解析] (1) ∵tan x=sinx cosx =-43,∴cos x=-34sin x ,∴sin 2x+cos 2x=sin 2x+916sin 2x=2516sin 2x=1,∴sin 2x=1625.又x ∈π2,π,∴sin x=45,∴cos -x-π2=cosπ2+x =-sin x=-45. (2)∵0<α<π,且sin α+π4=35∈12,√22,∴α+π4∈3π4,5π6,∴cos α+π4=-√1-sin 2(α+π4)=-45,则tanα+π4=sin(α+π4)cos(α+π4)=-34.例3 [思路点拨] (1)将待求式看成分母为1的分式结构,再将1用“sin 2x+cos 2x ”代替,由弦直接得到正切,进而求解.(2)利用平方关系得到sin x cos x 后,同(1)一样处理,但要注意tan x 的取值.(1)75(2)43[解析] (1)2sin 2x-sin x cos x+cos 2x=2sin 2x -sinxcosx+cos 2x sin 2x+cos 2x =2tan 2x -tanx+1tan 2x+1=75.(2)将sin x-cos x=15两边平方并化简可得sin x cos x=1225,即有sinxcosx sin 2x+cos 2x =tanxtan 2x+1=1225,解得tanx=43或tan x=34,因为x ∈0,π2且sin x>cos x ,所以tan x=43.例4 [思路点拨] 将已知式子两边平方求出sin αcos α的值,再将待求式化简求解.-49 [解析] ∵sin α+cos α=-13,∴sin 2α+cos 2α+2sin αcos α=19,解得sin αcos α=-49,∴sinπ2+αcosπ2-α=cos αsin α=-49. 强化演练1.A [解析] 因为cos x+sin x=15,又sin 2x+cos 2x=1,x ∈(0,π),解得sin x=45,cos x=-35,所以tanx=-43.故选A .2.1[解析] 4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α=4sin 2α-3sinαcosα-5cos 2αsin 2α+cos 2α=4tan 2α-3tanα-5tan 2α+1=4×4-3×2-54+1=1.3.1-√5 [解析] 由题意知sin θ+cos θ=-m2,sin θcos θ=m 4,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以m 24=1+m2,解得m=1±√5.又Δ=4m 2-16m ≥0,所以m ≤0或m ≥4,所以m=1-√5.【备选理由】例1是以角α为变量的函数形式,进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例2是考查诱导公式在三角形中的应用,是对听课例1的很好的补充;例3是平方关系及“1”的巧妙代换;例4是考查sin θ+cos θ与sin θ-cos θ之间的转换. 1 [配合例1使用] [2017·中山一中模拟] 已知f (α)=sin(α-π2)cos(3π2-α)tan(π+α)cos(π2+α)sin(2π-α)tan(-α-π)sin(-α-π).(1)化简f (α); (2)若α=-31π3,求f (α)的值.解:(1)f (α)=-cosα(-sinα)tanα(-sinα)-sinα(-tanα)sinα=-cos α.(2)∵-31π3=-5×2π-π3,∴f (-31π3)=-cos (-31π3)=-cos -5×2π-π3=-cos π3=-12,即f (α)=-12.2 [配合例1使用] 在△ABC 中,若sin 2A=sin 2B ,则该三角形为 ( )A .正三角形B .等腰三角形C .等腰三角形或直角三角形D .钝角三角形[解析] C 因为sin 2A=sin 2B ,所以2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π2,所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.3 [配合例3使用] [2017·亳州涡阳一中月考] 若sin 2α+sin α=1,则cos 4α+cos 2α= .[答案] 1[解析] ∵sin 2α+sin α=1,∴sin α=cos 2α,∴cos 4α+cos 2α=cos 2α (cos 2α+1)=sin α(sin α+1)=1. 4 [配合例4使用] 若sin θ+cos θ=15,且0≤θ≤π,则sin θ-cos θ的值为 .[答案] 75[解析] ∵sin θ+cos θ=15,∴两边平方得sin 2θ+2sin θcos θ+cos 2θ=125,即1+2sin θcos θ=125,∴2sinθcos θ=-2425.又0≤θ≤π,∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ=√(sinθ-cosθ)2=√1-2sinθcosθ=75.第18讲 三角函数的图像与性质考试说明 1.能画出函数y=sin x ,y=cos x ,y=tan x 的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等),理解正切函数在区间-π2,π2内的单调性.考情分析考点 考查方向 考例考查热度 三角函数的定义域、值域(最值)求定义域、值域、最值 2017全国卷Ⅱ13,2014全国卷Ⅱ14,2013全国卷Ⅰ15★★☆三角函数的单调性与周期性确定单调区间、最小正周期,根据单调区间、最小正周期求参数值等2017全国卷Ⅱ3, 2015全国卷Ⅰ8★★★三角函数图像的对称轴、奇偶性 判断奇偶性、确定函数图像的对称轴方程、对称中心坐标,根据奇偶性和函数图像的对称性确定参数值或参数范围等2016全国卷Ⅰ12,2016全国卷Ⅱ7★☆☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin (2x +π3)的最小正周期为 ( )A .4πB .2πC .πD .π2[解析] C 函数f (x )=sin (2x +π3)的最小正周期为T=2π2=π.2.[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=sin (ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f (x )的零点,x=π4为y=f (x )图像的对称轴,且f (x )在π18,5π36单调,则ω的最大值为 ( )A .11B .9C .7D .5[解析] B 由已知可得-π4ω+φ=k π,k ∈Z ,π4ω+φ=m π+π2,m ∈Z ,两式相加,得2φ=(k+m )π+π2.因为|φ|≤π2,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±π4,两式相减得ω=2(m-k )+1,即ω为正奇数. 因为函数f (x )在区间π18,5π36单调,所以只要该区间位于函数f (x )图像的两条相邻对称轴之间即可,且5π36-π18≤12×2πω,即ω≤12.(1)当φ=π4时,f (x )=sin ωx+π4,则k π-π2≤π18ω+π4且5π36ω+π4≤k π+π2,k ∈Z ,解得36k -272≤ω≤36k+95.由于ω≤12,故k 最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-π4时,f (x )=sin ωx -π4,则k π-π2≤π18ω-π4且5π36ω-π4≤k π+π2,k ∈Z ,解得36k -92≤ω≤36k+275.由于ω≤12,故k 最大取0,此时ω≤275,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.3.[2016·全国卷Ⅱ] 若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图像的对称轴为 ( ) A .x=kπ2-π6(k ∈Z ) B .x=kπ2+π6(k ∈Z ) C .x=kπ2-π12(k ∈Z )D .x=kπ2+π12(k ∈Z )[解析] B 平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+π12,令2(x +π12)=k π+π2(k ∈Z ),得对称轴方程为x=kπ2+π6(k ∈Z ).4.[2015·全国卷Ⅰ] 函数f (x )=cos (ωx+φ)的部分图像如图3-18-1所示,则f (x )的单调递减区间为( )A .(kπ-14,kπ+34),k ∈Z B .(2kπ-14,2kπ+34),k ∈ZC .(k -14,k +34),k ∈Z D .(2k -14,2k +34),k ∈Z[解析] D 由图知T 2=54-14=1,所以T=2,即2π|ω|=2,所以ω=±π. 因为函数f (x )的图像过点(14,0), 所以当ω=π时,ω4+φ=π2+2k π,k ∈Z , 解得φ=π4+2k π,k ∈Z ;当ω=-π时,ω4+φ=-π2+2k π,k ∈Z ,解得φ=-π4+2k π,k ∈Z .所以f (x )=cos (πx +π4),由2k π<πx+π4<π+2k π,解得2k-14<x<2k+34,k ∈Z ,故选D . 5.[2017·全国卷Ⅱ] 函数f (x )=2cos x+sin x 的最大值为 . [答案] √5[解析] 因为f (x )=2cos x+sin x=√5sin (x+φ)(其中tan φ=2),所以f (x )max =√5.6.[2014·全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin (x+2φ)-2sin φcos (x+φ)的最大值为 . [答案] 1[解析] 函数f (x )=sin (x+2φ)-2sin φcos (x+φ)=sin [(x+φ)+φ]-2sin φcos (x+φ)=sin (x+φ)cos φ-cos (x+φ)sin φ=sin x ,故其最大值为1.7.[2013·全国卷Ⅰ] 设当x=θ时,函数f (x )=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ= . [答案] -2√55[解析] 因为f (x )=sin x-2cos x=√5sin (x+φ)(tanφ=-2,φ∈(-π2,0)), 所以当x+φ=π2+2k π(k ∈Z ),即x=π2-φ+2k π(k ∈Z )时,y=f (x )取得最大值√5,则cos θ=cos x=cos (π2-φ+2kπ)=sin φ,由{tanφ=sinφcosφ=-2,sin 2φ+cos 2φ=1,φ∈(-π2,0)可得sin φ=-2√55,所以cos θ=-2√55. ■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷] 函数y=√3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为 ( ) A .π2B .2π3C .πD .2π[解析] C 因为y=√3sin 2x+cos 2x=2√32sin 2x+12cos 2x =2sin 2x+π6,所以其最小正周期T=2π2=π,故选C .2.[2016·浙江卷] 设函数f (x )=sin 2x+b sin x+c ,则f (x )的最小正周期( )A .与b 有关,且与c 有关B .与b 有关,但与c 无关C .与b 无关,且与c 无关D .与b 无关,但与c 有关[解析] B 若b=0,则f (x )=sin 2x+c=1-cos2x2+c=-12cos 2x+12+c 的最小正周期是π;若b ≠0,则f (x )=sin 2x+b sin x+c 的最小正周期是2π.故选B .3.[2017·天津卷] 设函数f (x )=2sin (ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则 ( ) A .ω=23,φ=π12 B .ω=23,φ=-11π12 C .ω=13,φ=-11π24D .ω=13,φ=7π24[解析] A ∵f (5π8)=2,f (11π8)=0,∴11π8-5π8=T 4(2m+1),m ∈N ,解得T=3π2m+1,m ∈N .∵f (x )的最小正周期大于2π,∴m=0,∴T=3π,则ω=23.由题意得23×5π8+φ=π2+2k π,k ∈Z ,解得φ=π12+2k π,k ∈Z ,又∵|φ|<π,∴φ=π12.4.[2016·江苏卷] 定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x 的图像与y=cos x 的图像的交点个数是 . [答案] 7[解析] 方法一:令sin 2x=cos x ,即2sin x cos x=cos x ,解得cos x=0或sin x=12, 即x=k π+π2或x=2k π+π6或x=2k π+56π(k ∈Z ),又x ∈[0,3π],故x=π2,3π2,5π2或x=π6,5π6,13π6,17π6,共7个解,故两个函数的图像有7个交点.方法二:在同一个坐标系内画出这两个函数的图像,由图像可得交点有7个.5.[2016·天津卷] 已知函数f (x )=4tan x sin π2-x cos x-π3-√3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期; (2)讨论f (x )在区间-π4,π4上的单调性.解:(1)f (x )的定义域为x x ≠π2+k π,k ∈Z .f (x )=4tan x cos x cos x-π3-√3=4sin x cos x-π3-√3=4sin x12cos x+√32sin x -√3=2sin x cos x+2√3sin 2x-√3=sin 2x+√3(1-cos 2x )-√3=sin 2x-√3cos 2x=2sin 2x-π3,所以f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,函数y=2sin z 的单调递增区间是-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z .由-π2+2k π≤2x-π3≤π2+2k π,得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z .设A=-π4,π4,B=x -π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z ,易知A ∩B=-π12,π4.所以当x ∈-π4,π4时,f (x )在区间-π12,π4上单调递增,在区间-π4,-π12上单调递减. 【课前双基巩固】 知识聚焦1.[-1,1] [-1,1] R 奇函数 偶函数 2k π+π2,2k π+3π2 [2k π-π,2k π] (k π,0) x=k π对点演练1.π [解析] T=2πω=2π2=π.2.-1 [解析] 依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增 减 [解析] 由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x 在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.4.2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ) [解析] 由题意知0≤cos x ≤1,∴2k π-π2≤x ≤2k π+π2(k ∈Z ).5.[2k π-π,2k π](k ∈Z ) [解析] 函数y=1-2cos x 的单调递减区间即函数y=-cos x 的单调递减区间,即函数y=cos x 的单调递增区间,为[2k π-π,2k π](k ∈Z ).6.(-1,1) [解析] ∵x ≠π2+k π(k ∈Z ),y=cos x tan x=sin x ,∴y=sin x ∈(-1,1),即函数y=cos x tan x 的值域是(-1,1).7.1 [解析] 设t=cos x ,则-1≤t ≤1,所以y=-t 2+3t-1=-t-322+54, 当t=1时,函数取得最大值1.8.49,-1112 [解析] ∵sin x+sin y=13,∴sin x=13-sin y.∵-1≤sin x ≤1,∴{-1≤13-siny ≤1,-1≤siny ≤1,解得-23≤sin y ≤1.又M=sin 2y-sin y-23=sin y-122-1112,∴当sin y=12,sin x=-16时,M min =-1112;当sin y=-23,sin x=1时,M max =49.故M=sin x+sin 2y-1的最大值为49,最小值为-1112.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数的性质列出关于x 的不等式组求解.(1)x 0<x ≤2,且x ≠π4 (2)x 2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z [解析] (1)依题意得{1+log 12x ≥0,x >0,x +π4≠kπ+π2,k ∈Z,所以0<x ≤2,且x ≠k π+π4(k ∈Z ),所以函数f (x )的定义域是x 0<x ≤2,且x ≠π4.(2)要使函数有意义,必须满足{sinx >0,cosx -12≥0,即{sinx >0,cosx ≥12,即{2kπ<x <π+2kπ(k ∈Z),-π3+2kπ≤x ≤π3+2kπ(k ∈Z),所以2k π<x ≤π3+2k π(k ∈Z ),所以函数的定义域为x 2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z .变式题 (1)x 2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z (2)x x ≠kπ2+π6,k ∈Z [解析] (1)由题意需满足sin x-cos x ≥0.y=sin x 和y=cos x 的部分图像如图所示.在[0,2π]内,满足sin x=cos x 的x 的值为π4,5π4,再结合图像及正弦、余弦函数的周期是2π,可得原函数的定义域为x 2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z .(2)由2x+π6≠π2+k π,k ∈Z ,得x ≠kπ2+π6,k ∈Z ,所以f (x )的定义域为x x ≠kπ2+π6,k ∈Z .例2 [思路点拨] (1)利用正弦函数的单调性求解;(2)先将解析式化为以cos x 为变量的二次函数,再根据二次函数的性质求值域.(1)A (2)B [解析] (1)因为0≤x ≤9,所以-π3≤πx 6-π3≤7π6,所以-√32≤sinπ6x-π3≤1,则-√3≤y ≤2.所以y max +y min =2-√3.(2)y=cos 2x+2cos x=2cos 2x+2cos x-1=2cos x+122-32,因为cos x ∈[-1,1],所以原式的值域为-32,3.变式题 (1)D (2)178 [解析] (1)因为y=|sin x|+sin x={2sinx,sinx >0,0,sinx <0,-1≤sin x ≤1,所以y ∈[0,2],所以函数的值域为[0,2].(2)令t=cos x-sin x ,则t=cos x-sin x=√2cos x+π4∈[-√2,√2],所以t 2=1-2sin x cos x ,即sinx cos x=1-t 22,所以y=t+4×1-t 22=-2t 2+t+2=-2t-142+178,又t ∈[-√2,√2],所以当t=14时,y 取得最大值178.例3 [思路点拨] 依据T=2π|ω|求解最小正周期.(1)2π3 (2)D [解析] (1)函数f (x )=sin 3x+π4的最小正周期T=2π|ω|=2π3. (2)对于A ,y=sin 4x ,∵ω=4,∴T=2π|ω|=π2,该函数为奇函数,故A 不正确;对于B ,y=cos2x ,∵ω=2,∴T=π,故B 不正确;对于C ,y=tan 2x ,∵ω=2,∴T=π2,该函数为奇函数,故C 不正确;对于D ,y=sinπ2-4x =cos 4x ,∵ω=4,∴T=2π|ω|=π2,该函数为偶函数,故D 正确. 例4 [思路点拨] (1)把2x+π3看成整体,利用y=sin x 图像的对称性求解;(2)由对称轴确定函数的周期,得出ω,再结合对称轴通过函数图像的最高点或最低点求解.(1)B (2)A [解析] (1)∵正弦函数y=sin x 的部分图像如图所示,其对称中心必在图像与x 轴的交点处,当x=-π6时,函数值y=2sin -π6×2+π3=0,∴函数图像关于点-π6,0对称.(2)由题意,函数的周期T=2×94π-54π=2π,∴ω=2πT=1,∴y=cos (x+φ).当x=54π时,函数取得最大值或最小值,即cos5π4+φ=±1,可得5π4+φ=k π,k ∈Z ,∴φ=k π-54π,k ∈Z .当k=2时,可得φ=3π4.例5 [思路点拨] (1)依据周期公式可排除A ,其余三项利用y=cos x ,y=sin x 和y=tan x 的单调性分析;(2)把ωx -π4看成整体,依据y=cos x 的单调递减区间求解. (1)B (2)A [解析] (1)对于A ,y=cos x2的周期T=2π12=4π,故A 错误;对于B ,y=cos (-2x )=cos 2x 的周期为π,且在0,π2上是减函数,故B 正确;对于C ,y=sin 2x+π4的周期T=2π2=π,当x ∈0,π2时,2x+π4∈π4,5π4,故y=sin 2x+π4在0,π2内不具有单调性,故C 错误;对于D ,y=tan x-π4,其周期T=π,当x ∈0,π2时,x-π4∈-π4,π4,故y=tan x-π4在0,π2内是增函数,故D 错误.(2)由2k π≤ωx -π4≤π+2k π,k ∈Z ,解得π4ω+2kπω≤x ≤5π4ω+2kπω,k ∈Z ,∴f (x )的单调递减区间为π4ω+2kπω,5π4ω+2kπω,k ∈Z .又f (x )在π2,π上单调递减,∴{π4ω+2kπω≤π2,5π4ω+2kπω≥π,k ∈Z ,解得12+4k ≤ω≤54+2k ,k ∈Z .又ω>0,π2≤T 2=πω,∴0<ω≤2,∴12≤ω≤54. 强化演练1.C [解析] f (x )=sin (x+φ)-√3cos (x+φ)=2sin x+φ-π3,依题意f (π)=±2,即sin π+φ-π3=±1,sin φ-π3=±1,所以φ-π3=k π+π2,k ∈Z ,又|φ|<π2,则可取k=-1,得φ=-π6,所以cos 2φ=cos (-π3)=12.故选C .2.A [解析] 因为f (x )=2cos 2x-π4-1=cos 2x-π4=cos 2x-π2=sin 2x ,所以最小正周期T=2π2=π,f (x )是奇函数,即函数f (x )是最小正周期为π的奇函数.3.A [解析] 由题意得3cos 2×4π3+φ=3cos2π3+φ+2π=3cos 2π3+φ=0,所以2π3+φ=k π+π2,k ∈Z ,所以φ=k π-π6,k ∈Z ,取k=0,得|φ|的最小值为π6.4.k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ) [解析] 已知函数可化为f (x )=-sin 2x-π3,要求函数的单调递减区间,只需求y=sin 2x-π3的单调递增区间.由2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z ,故所给函数的单调递减区间为k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ).【备选理由】例1考查余弦函数有界性、二次函数在指定区间上的最值问题,需要分类讨论求解,可强化学生对数学思想方法的认识与应用;例2为函数对称性与极值的综合问题;例3为利用三角函数的单调性比较大小问题;例4 为函数不单调求参问题.1 [配合例2使用] 若函数y=sin 2x+a cos x+58a-32在闭区间[0,π2]上的最大值是1,则实数a= .[答案] 32[解析] y=-(cosx -12a)2+a 24+58a-12. 当0≤x ≤π2时,0≤cos x ≤1,令t=cos x ,0≤t ≤1,则y=-(t -12a)2+a 24+58a-12,0≤t ≤1.①若0≤a 2≤1,即0≤a ≤2,则当t=a 2,即cos x=a2时,y max =a 24+58a-12=1,解得a=32或a=-4(舍去); ②若a2<0,即a<0,则当t=0,即cos x=0时,y max =58a-12=1,解得a=125,由于a<0,故这种情况不存在满足条件的a 值;③若a2>1,即a>2,则当t=1,即cos x=1时,y max =a+58a-32=1,解得a=2013,由于2013<2,故这种情况下不存在满足条件的a 值.综上知,a=32.2 [配合例4使用] [2017·武汉部分学校调研] 已知函数f (x )=sin x-a cos x 图像的一条对称轴为x=34π,记函数f (x )的两个极值点分别为x 1,x 2,则|x 1+x 2|的最小值为 . [答案] π2[解析] 据题意有sin 34π-a cos 34π=√1+a 2,解得a=1,所以f (x )=sin x-cos x=√2sin x-π4,x 1,x 2为函数的极值点,且|x 1+x 2|最小,则x 1,x 2的符号相反,由x-π4=±π2,可得x 1+x 2=-π4+34π=π2,所以|x 1+x 2|的最小值为π2.3 [配合例5使用] 已知函数f (x )=2cos x+π6,设a=f (π7),b=f (π6),c=f (π4),则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a>b>cB .a>c>bC .c>a>bD .b>a>c[解析] A 易知函数f (x )在0,5π6上是减函数,所以f (π7)>f (π6)>f (π4),所以a>b>c.4 [配合例5使用] [2017·衡阳八中月考] 设ω∈N *且ω≤15,则使函数y=sin ωx 在区间π4,π3上不单调的ω的个数是 ( ) A .6 B .7C .8D .9[解析] C 由ωx=π2+k π(k ∈Z )得函数y=sin ωx 的图像的对称轴为x=π2ω+kπω(k ∈Z ).∵函数y=sinωx 在区间π4,π3上不单调,∴π4<π2ω+kπω<π3(k ∈Z ),解得1.5+3k<ω<2+4k (k ∈Z ).由题意ω∈N *且ω≤15,∴当k=0时,1.5<ω<2,此时ω没有正整数可取;当k=1时,4.5<ω<6,此时ω可以取5;当k=2时,7.5<ω<10,此时ω可以取8,9;当k=3时,10.5<ω<14,此时ω可以取11,12,13;当k=4时,13.5<ω<18,此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个,分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C .第19讲 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用考试说明 1.了解函数y=A sin (ωx+φ)的物理意义;能画出函数y=A sin (ωx+φ)的图像,了解参数A ,ω,φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.考情分析考点 考查方向 考例考查热度 三角函数的图像变换通过变换由一个函数的解析式得出另一个函数的解析式 2016全国卷Ⅲ14,2016全国卷Ⅱ7 ★★☆ 三角函数图像与解析式 给出函数部分图像求解析式★★☆ 三角函数的图像与性质 由图像确定三角函数性质、由性质确定函数图像 2016全国卷Ⅰ12,2015全国卷Ⅱ10 ★★☆ 三角函数模型的简单应用 建立三角函数模型解决简单的应用问题★★☆真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=sin (ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f (x )的零点,x=π4为y=f (x )图像的对称轴,且f (x )在π18,5π36单调,则ω的最大值为 ( )A .11B .9C .7D .5[解析] B 由已知可得-π4ω+φ=k π,k ∈Z ,π4ω+φ=m π+π2,m ∈Z ,两式相加,得2φ=(k+m )π+π2.因为|φ|≤π2,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±π4,两式相减得ω=2(m-k )+1,即ω为正奇数. 因为函数f (x )在区间π18,5π36单调,所以只要该区间位于函数f (x )图像的两条相邻对称轴之间即可,且5π36-π18≤12×2πω,即ω≤12.(1)当φ=π4时,f (x )=sin ωx+π4,则k π-π2≤π18ω+π4且5π36ω+π4≤k π+π2,k ∈Z ,解得36k -272≤ω≤36k+95.由于ω≤12,故k 最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-π4时,f (x )=sin ωx -π4,则k π-π2≤π18ω-π4且5π36ω-π4≤k π+π2,k ∈Z ,解得36k -92≤ω≤36k+275.由于ω≤12,故k 最大取0,此时ω≤275,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.2.[2016·全国卷Ⅱ] 若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图像的对称轴为 ( ) A .x=kπ2-π6(k ∈Z ) B .x=kπ2+π6(k ∈Z )C .x=kπ2-π12(k ∈Z ) D .x=kπ2+π12(k ∈Z )[解析] B 平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+π12,令2(x +π12)=k π+π2(k ∈Z ),得对称轴方程为x=kπ2+π6(k ∈Z ).3.[2015·全国卷Ⅱ] 如图3-19-1,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )的图像大致为 ( )[解析] B 当点P 在BC 上时,|PB |=tan x ,|PA |=√tan 2x +4,|PA |+|PB |=tan x+√tan 2x +4,即f (x )=tan x+√tan 2x +4,x ∈[0,π4],由正切函数的性质可知,函数f (x )在[0,π4]上单调递增,所以其最大值为1+√5,且函数y=f (x )的图像不可能是线段,排除选项A ,C .当点P 在CD 上运动时,我们取P 为CD 的中点,此时x=π2,f (π2)=2√2,由于2√2<1+√5,即f (π2)<f (π4),排除选项D .综上可知,只有选项B 中图像符合题意.4.[2016·全国卷Ⅲ] 函数y=sin x-√3cos x 的图像可由函数y=sin x+√3cos x 的图像至少向右平移 个单位长度得到. [答案]2π3[解析] 函数y=sin x-√3cos x=2sin x-π3的图像可由函数y=sin x+√3cos x=2sin x+π3的图像至少向右平移2π3个单位长度得到.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2016·北京卷] 将函数y=sin 2x-π3图像上的点Pπ4,t 向左平移s (s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x 的图像上,则 ( )A .t=12,s 的最小值为π6B .t=√32,s 的最小值为π6 C .t=12,s 的最小值为π3D .t=√32,s 的最小值为π3 [解析] A 因为Pπ4,t 在函数y=sin 2x-π3的图像上,所以t=sin 2×π4-π3=sin π6=12.因为s>0,y=sin 2x-π3=sin 2x-π6,所以函数y=sin 2x-π3的图像至少向左平移π6个单位长度可以得到函数y=sin 2x 的图像,所以s 的最小值为π6. 2.[2016·四川卷] 为了得到函数y=sin 2x-π3的图像,只需把函数y=sin 2x 的图像上所有的点( )A .向左平行移动π3个单位长度 B .向右平行移动π3个单位长度 C .向左平行移动π6个单位长度。
高中数学《三角函数》听课评课记录
高中数学《三角函数》听课评课记录1. 课程概述1.1 课程目标本节课的目标是让学生掌握三角函数的基本概念、性质和公式，并能够运用三角函数解决一些实际问题。
1.2 课程内容本节课主要讲解了三角函数的定义、周期性、奇偶性、单调性等基本性质，以及正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。
1.3 教学方法教师采用了讲授法、互动提问法和例题讲解法等多种教学方法，引导学生积极参与课堂讨论和练。
2. 听课情况2.1 学生参与度学生们在课堂上表现积极，大部分学生能够认真听讲、做好笔记，并积极参与课堂讨论和练。
2.2 学生理解程度通过教师的讲解和例题演示，学生们对三角函数的基本概念和性质有了较好的理解，但在一些复杂问题的解决上仍需加强。
2.3 教学效果本节课的教学效果较好，学生们能够掌握三角函数的基本概念和性质，并能够运用到实际问题中。
3. 评课意见3.1 教学内容教师在教学内容上讲解清晰，逻辑性强，能够引导学生逐步理解和掌握三角函数的知识。
但在讲解一些复杂问题时，可以更加深入地进行剖析，帮助学生更好地理解和解决问题。
3.2 教学方法教师采用了多种教学方法，能够激发学生的兴趣和积极性，但在课堂互动环节可以进一步加强，引导学生更深入地思考和探讨问题。
3.3 教学效果教师的教学效果总体较好，学生们能够较好地掌握三角函数的知识，但在一些复杂问题的解决上仍需加强，建议教师在教学中注重培养学生的解题能力和思维能力。
4. 建议4.1 教学内容建议教师在讲解复杂问题时，更加深入地进行剖析，帮助学生更好地理解和解决问题。
4.2 教学方法建议教师在课堂互动环节加强引导，激发学生的思考和探讨，提高学生的效果。
4.3 教学评价建议教师在教学评价中注重学生的解题能力和思维能力的培养，引导学生积极参与课堂讨论和练。
以上是对本节高中数学《三角函数》听课评课记录的详细记录，希望能够对教师的教学和改进有所帮助。
听课28.1锐角三角函数.ppt
结论：在直角三角形中，当锐
角A的度数一定时，不管三角形 的大小如何，∠A的对边与斜边 的比都是一个固定值．
证明
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， BC B' C ' 那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？ AB A' B ' B' B
A
C
A'
C'
C
B
“斜而未倒”
AB=54.5m BC=5.2m
α
A
【学习目标】：
1、在了解认识正弦（sinA）的基础上，通过 探究知道当直角三角形的锐角固定时，它的 对边与斜边的比值也固定（即正弦值不变） 这一事实。 2、能根据正弦的概念正确地进行有关的 计算。 重点：理解并掌握正弦的概念及正弦值不变这 一事实。 难点： 通过引导比较分析出对任意锐角它的 对边和斜边的比值是固定值这一过程。
2
让我试一试
1.认真观察直角三角形ABC中,∠ A=45 ° B 时, 求出∠ A的对边与斜边的比。
B 2 A C B 4 6 A C
A
C
2.上面三幅图中，∠ A的对边与斜边的 比是否有变化？
结论：在直角三角形中，当一个 锐角等于45°时，不管这个直角 三角形的大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于2
┌ D
B
解: ∵∠B=∠ACD ∴sinB=sin∠ACD 在Rt△ACD中，AD= AC2－CD2 = 52－32 =4 AD 4 sin ∠ACD= AC = 5 4 ∴sinB= 5
求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以 转化为求和它相等角的正弦值。
任意角的三角函数听课笔录及随想
《任意角的三角函数》听课笔录及随想[1]课堂回顾一、情境创设师:在初中,我们学习了锐角,通过前面的学习我们已将角推广到任意角了. (板书:锐角任意角.)师:在初中,我们学了锐角之后,接下来研究了什么? 生:锐角的三角函数.师:包括哪几种三角函数? 生:正弦,余弦,正切.师:很好!那么,现在我们有了任意角,接下来该研究什么呢? 众生:任意角的三角函数.(由此引入课题) (点评:从大的框架入手,引入课题比较自然) 二、探究活动1、回顾锐角α的正弦sin α是如何来定义的? 生1到黑板上作图,在角α的一边上取点A,构造三角形OAB,过点A 作OB 的垂线AC,则sin ACAOα=. 师:这里所取点A 有何要求? 生1:任意取.生2:不能与点O 重合.师:对,当点A 与点O 重合时,就不能构造直角三角形了.(点评:(1)从学生熟知的锐角三角形的三角函数出发,力求在最近发展区生长出新的知识.(2)三角形OAB 的构造有点多余,只要构造直角三角形OAC 就可以了.)2、任意角的正弦如何来定义呢?老师用几何画板画了一个任意角,看上去有点象钝角.学生自己讨论后,生3上黑板作图.在角AOB 的一边上任取一点A,由点A 向另一边OB 作垂线,交其反向延长线于点C,定义sin ACAOB AO∠=.(生3一边作图,一边作解说,她一直将角AOB 说成是钝角.)正弦,余弦,正切?αCOAC BAO生4:不是钝角,是任意角. 师:有别的想法吗?(点评:学生的想法如何?对还是不对?有没有道理?缺陷在哪里?老师未作任何评价,这是本节课的一个明显的失误.)生5:建立直角坐标系,将角的顶点O 与坐标原点重合,OB 边与x 轴的正半轴重合.作以原点O 为圆心的单位圆,设圆O 与另一条边相交于点A,由点A 向x 轴引垂线,垂足为C,定义sin ACAOB AO∠=. 生6:我不知道生3与生5的方法有何区别? 师:他们没有区别吗? 部分学生:有区别. 师:还有别的想法吗?(点评:这两种想法究竟有何区别?老师又未明确,这是本节课的又一个明显的失误.)生7:与生5一样,将角放在直角坐标系中,在角的终边上任取一点A(x,y),用该点的坐标来定义角的正弦,即sin yAOB AO∠=,这样就有正负之分了. 师:改变角所在的象限,该定义还成立吗?老师用几何画板演示角的终边在其它象限内的情况,特别地,还演示了角的终边落在坐标轴上的情况.(点评:学生终于说出了老师一直在等待的话,但这位学生是如何想的?可惜这个很关键的一点没能展示出来.)三、数学建构 1、正弦的定义:sin yrα=(详略). 师:与以前的定义相比,它们都是比值,但意义不同,而且新的定义包含了以前的定义.2、余弦与正切的定义又该如何来定义呢?生8:cos ,tan x yr xαα==.生9:在正切的定义中,应该满足0x ≠. 师:0x ≠是什么意思?生10:角的终边不能落在y 轴上. 师:那么角α不能等于哪些角? 生10:()2k k Z παπ≠+∈.师:上述比值与点A 的位置有没有关系? 众生:没有.师:当角α确定时,这几个三角函数值能唯一确定吗? 众生:能.师:这样一来,就与我们前面学习的哪一个知识有关了? 众生:函数.师:对.我们通常称它们为正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数. (点评:这里可顺提一下引入弧度制的目的之一:用实数表示角,使得三角函数符合了一般函数对定义域的要求.)四、数学应用1、已知角α的终边过点P(3,-4),求角α的正弦、余弦、正切值. 处理方法是生说师写.2、已知角α的终边落在直线y x =-上,求角α的正弦、余弦、正切值.处理方法是生说师写.sin tan 122ααα=±=±=-. (点评:这里最好分开写,即按α为第二象限角与α为第四象限角这两种情形分别求解) 五、拓展延伸通过前面的讨论,你发现了什么? 生11:22sin tan ,sin cos 1cos ααααα=+=. 生12: 0cos sin(90)αα=-.生13:以下三角函数在每个象限的符号如下:师: 考虑下列问题: (1)若sin 0,cos 0αα<>,则角α是第_______象限角. (2)若sin cos 0αα⋅<,则角α是第_______象限角. (3)若cos tan 0αα⋅<,则角α是第_______象限角.(点评:(1)“你发现了什么?”式的问题,好处在于不束缚学生的思维,缺点是指向性不明.(2)表格的制作力求规范,最好不好出现“sin ”的写法.)六、课堂小结 略 [2]听后随想1、尽管本节课上有几个明显的失误之处,但我们丝毫不应否定教者的教学思想与设计理念,教者力图通过学生的自主探究自然地建构出任意角的三角函数的定义,而不是将该定义直接强加于学生.2、导致本节课出现败笔的原因是多方面的,其中主要的可能是下面两点: (1)学生认知结构的不足.学生在初中只学习了锐角的三角函数,没有学过钝角的三角函数,因而生3与生5不知道他们给出的定义与已有的知识不符.(2)教者未能将三个函数一起研究.实际上,高一学生在物理中已用过01cos1202=-了,如果将三个函数一起研究,生3与生5可能会发现自己的想法与此结论有冲突了.3、改进的设想:(1)回顾任意角、象限角与轴线角的概念.(2)回顾锐角三角函数的定义,有了任意角之后,原来三角函数的定义有局限性,需要都其重新定义,以适用于任意的三角函数.(3)除了锐角的三角函数外,在其它学科中有没有接触到一些特殊角的三角函数值?(意图是让学生说出01cos1202=-)(4)重新定义的原则有哪些?①和谐的原则,新定义应该包含以前的定义,即当角为锐角时,其定义应与前面边的三角形边的比值等价.由此可以确定,新的定义仍应是比值的形式;②传承的原则,新定义应保留旧定义中的一些做法,如可以用样在角的终边上任取一点来定义,且所得结果应与所取点的位置无关.③相容的原则,新定义不能与一些熟悉的结论相矛盾.如当角为钝角时,其余弦值应为负值.由此可知,新的三角函数的定义应保证所得三角函数值有正负之分;④自然的原则,新定义不能出来得很奇怪,要让人接受必须顺其自然,可在我们前面讨论的象限角的基础上进行,换句话说,老师在给出一个任意角的时候,就可以将角直接放在直角坐标系下,因为前面已讨论过象限角.(5)按上述几个原则让学生自主探究.。
九年级春季数学下册听课笔记：第二十八章锐角三角函数-锐角的余弦、正切
2024九年级春季数学下册听课笔记：第二十八章锐角三角函数- 锐角的余弦、正切一、教师行为1.1 导入•情境导入：教师以“小明想要知道他爬上的山坡有多陡，于是他拿出一个量角器测量了山坡与地面的夹角，并想知道这个角度对应的余弦和正切值能告诉他什么信息”为引子，引导学生思考角度与边长比例之间的关系，从而引出锐角三角函数中的余弦和正切概念。
•复习铺垫：简要回顾正弦函数的定义及其在直角三角形中的应用，为学习余弦和正切做铺垫。
1.2 教学过程•概念讲解：•余弦函数：教师首先明确余弦函数的定义，即“在直角三角形中，锐角的余弦值等于该角的邻边与斜边的比值”。
通过图示和实例，让学生直观理解余弦函数的几何意义。
•正切函数：接着介绍正切函数的定义，即“在直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值”。
同样，通过图示和实例帮助学生理解正切函数的几何意义。
•性质探讨：•引导学生探讨余弦和正切函数的取值范围，特别是当角度从0°增加到90°时，这两个函数值的变化规律。
•强调余弦和正切函数在解决直角三角形问题中的互补作用，以及它们与正弦函数之间的关系。
•例题解析：•给出几个具体的直角三角形问题，要求学生利用余弦和正切函数求解未知边或角。
在解题过程中，教师注重引导学生分析题目条件，选择合适的函数进行求解，并强调解题步骤的规范性和答案的合理性检验。
•互动环节：•设计小组讨论题目，让学生分组讨论如何利用余弦和正切函数解决实际问题，如测量高度、计算坡度等。
鼓励学生分享自己的解题思路和方法。
•进行课堂小测验，检验学生对余弦和正切函数的理解和掌握程度。
板书设计（提纲式）二、学生活动•认真听讲：学生专注于教师的讲解，积极记录关键概念和例题解析步骤。
•参与讨论：在小组讨论中，学生积极发言，分享自己的见解和解题思路，与同伴交流学习心得。
•独立解题：在课堂练习和课后作业中，学生独立完成题目，检验自己对余弦和正切函数的理解和掌握程度。
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《阅读与思考三角学与天文学》
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《阅读与思考三角学与天文学》教学目标（核心素养）1.文化理解与传承：通过“三角学与天文学”的阅读与思考，增进学生对数学文化历史的理解，体会数学与天文学之间的紧密联系，培养对数学文化的兴趣和尊重。
2.信息整合与分析：引导学生从阅读材料中提取关键信息，分析三角学在天文学中的应用实例，提升学生的信息整合与批判性思维能力。
3.跨学科视野：拓宽学生的学术视野，理解数学在自然科学中的重要作用，培养跨学科学习的意识和能力。
导入教师行为：•展示一张古代天文观测的图片或视频片段，简述天文学在人类文明发展史上的重要性。
•提问：“同学们，你们知道数学中的三角学是如何与天文学相结合，共同推动人类认知宇宙的吗？”•引出本节课的主题——《阅读与思考：三角学与天文学》，简要介绍阅读材料的内容和结构。
学生活动：•观看图片或视频，感受古代天文观测的壮丽与神秘。
•思考教师提出的问题，对三角学与天文学的关系产生好奇。
•准备好阅读材料，准备开始阅读与思考。
过程点评：•导入环节通过视觉材料激发学生兴趣，自然引出本节课主题。
•提问设计具有启发性，引导学生主动思考，为后续阅读与思考做铺垫。
教学过程教师行为：•分发阅读材料：确保每位学生手中有阅读材料，并简要说明阅读要求。
•引导阅读：鼓励学生自主阅读，同时提出几个关键问题引导学生深入思考，如“三角学在天文学中的具体应用有哪些？”“这些应用如何促进了天文学的发展？”等。
•小组讨论：将学生分成小组，围绕关键问题展开讨论，分享各自的理解和发现。
•全班分享：邀请几个小组代表在全班范围内分享他们的讨论成果，教师适时点评和补充。
•总结提升：总结三角学与天文学之间的紧密联系，强调数学在自然科学中的重要作用。
学生活动：•认真阅读材料，标记关键信息和疑问点。
•积极参与小组讨论，分享个人见解，听取他人意见。
•在全班分享环节中，勇敢表达自己的观点，与同学们交流碰撞。
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《诱导公式》
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《诱导公式》教学目标（核心素养）1.数学抽象：通过诱导公式的推导过程，培养学生从特殊到一般、从直观到抽象的思维能力。
2.逻辑推理：掌握诱导公式的推导方法及应用，提升学生的逻辑推理能力和问题解决能力。
3.数学运算：熟练运用诱导公式进行三角函数的化简、求值等运算，提高数学运算的准确性和效率。
导入教师行为：•复习上一节课关于三角函数的基本性质和图像，提问：“如果我们知道了一个锐角的三角函数值，如何快速求出其他角度（如终边相同的角、互为补角等）的三角函数值呢？”•引入诱导公式的概念，简要说明其在三角函数计算中的重要性。
学生活动：•回顾三角函数的基本性质和图像，思考教师提出的问题。
•对诱导公式的概念产生好奇心，期待学习其具体应用。
过程点评：•导入环节通过复习旧知引出新知，自然过渡，激发了学生的求知欲。
•提问设计巧妙，引导学生主动思考，为后续学习做了良好铺垫。
教学过程教师行为：•推导诱导公式：•以终边相同的角为例，利用单位圆和三角函数的定义，推导sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα（k∈Z）等公式。
•通过类似方法，引导学生推导其他类型的诱导公式（如互为补角、互为余角等）。
•例题讲解：•选择典型例题，展示如何运用诱导公式进行三角函数的化简和求值。
•强调在解题过程中要注意角度的变换和公式的选择。
•学生练习：•布置几道练习题，让学生分组讨论并尝试解答。
•教师巡回指导，解答疑问，纠正错误。
学生活动：•认真听讲，理解诱导公式的推导过程。
•积极参与例题讲解，学习如何运用诱导公式解题。
•分组讨论练习题，相互帮助，共同解决问题。
过程点评：•推导过程详细且易于理解，有助于学生掌握诱导公式的本质。
•例题讲解与学生练习相结合，增强了学习的互动性和实效性。
•分组讨论促进了学生之间的交流与合作，提高了学习效率。
板书设计•标题：诱导公式•推导过程：•单位圆图示，标注角度α和α+2kπ的终边。
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角恒等变换：简单的三角恒等变换》
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角恒等变换：简单的三角恒等变换》教学目标（核心素养）1.知识与技能：掌握基本的三角恒等变换公式（如和差化积、积化和差、二倍角公式等），并能熟练运用这些公式进行简单的三角恒等变换。
2.数学思维：培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力，通过问题解决过程，提升对数学公式灵活应用的能力。
3.情感态度：激发学生对三角函数的兴趣，培养其严谨的数学态度和勇于探索的精神。
导入教师行为：•展示一个包含复杂三角表达式的题目，如sin(A+B)+sin(A−B)，并提问：“同学们，你们能否将这个表达式简化为更简单的形式？这涉及到我们即将学习的三角恒等变换。
”•简要回顾三角函数的基本定义和性质，为后续学习做铺垫。
学生活动：•思考教师提出的问题，尝试用已有知识解答，但多数学生会感到困难，从而产生学习新知识的欲望。
•聆听教师回顾三角函数的基本内容，为新知识的学习建立基础。
过程点评：•通过实际问题引入，激发学生的好奇心和探索欲，为新课学习营造了良好的氛围。
•回顾旧知，搭建新旧知识之间的桥梁，有助于学生更好地理解和吸收新知识。
教学过程教师行为：•讲解和差化积公式：详细讲解sin(A+B)和sin(A−B)的展开式，引导学生理解公式的推导过程。
•例题示范：通过具体例题，演示如何运用和差化积公式进行化简，强调公式应用的条件和步骤。
•学生练习：布置几道练习题，让学生分组讨论并尝试解答，教师巡回指导。
•积化和差公式及二倍角公式：简要介绍并推导这两个公式，同样通过例题加深理解。
学生活动：•认真听讲，记录公式和推导过程，积极思考教师提出的问题。
•分组合作，讨论并解决练习题，相互帮助，共同进步。
•尝试独立推导和记忆新公式，并在练习中加以应用。
过程点评：•教师讲解清晰，注重公式的推导过程，有助于学生理解公式的本质和来源。
•通过例题示范和学生练习，强化了学生的动手能力和问题解决能力。
特殊角的三角函数初三下册数学听课记录
特殊角的三角函数初三下册数学听课记录特殊角的三角函数初三下册数学听课记录听了初三下册数学的特殊角的三角函数的课程后，我受益匪浅，深深感受到数学知识的奥妙和美妙。
在老师的耐心讲解下，我对特殊角的三角函数有了更加清晰的认识。
以下是我听课记录的总结：一、特殊角特殊角是指一些特殊的角度，如0度、30度、45度、60度和90度的角度，这些角度在几何图形中出现较为频繁，是我们需要掌握的重点。
这些角度所对应的三角函数值在数学计算中也具有特殊性。
二、正弦、余弦、正切等概念在数学中，我们学习到正弦、余弦、正切等概念。
在特殊角度中，这些函数的值都具有特殊性，如正弦函数的值在30度和150度这两个角度相等，都为1/2。
而在45度和135度这两个角度中，它的值为根号2/2。
这些是需要我们记忆和理解的重点。
三、三角函数的应用三角函数的应用在生活中也十分广泛，如测量高楼的高度、设计建筑物的立面图、绘制各种图形等等。
在学习过程中，我们需要了解到如何进行计算和应用，掌握三角函数的概念和公式以及如何完成实际的计算。
四、注意事项在学习过程中，我们需要注意以下几点：1.需透彻理解特殊角的概念，把握三角函数的特殊性质。
2.学好基本的三角函数公式，要注意拆分、整合等计算方法。
3.进行实际生活中的应用计算，如精确测量建筑物高度等，要注意实际情况中的各种因素和计算方式。
在数学学习中，特殊角的三角函数是一个非常重要的知识点，具有广泛应用和研究价值。
通过学习，我们不仅可以深入理解数学知识，还可以在生活中运用这些知识解决实际问题。
掌握这些知识，既有助于提高自己的综合素质，也有助于更好地了解这个世界的奥妙和美妙。
任意角的三角函数听课笔录及随想
《任意角的三角函数》听课笔录及随想[1]课堂回顾一、情境创设师:在初中,我们学习了锐角,通过前面的学习我们已将角推广到任意角了. (板书:锐角任意角.)师:在初中,我们学了锐角之后,接下来研究了什么? 生:锐角的三角函数.师:包括哪几种三角函数? 生:正弦,余弦,正切.师:很好!那么,现在我们有了任意角,接下来该研究什么呢? 众生:任意角的三角函数.(由此引入课题) (点评:从大的框架入手,引入课题比较自然) 二、探究活动1、回顾锐角α的正弦sin α是如何来定义的? 生1到黑板上作图,在角α的一边上取点A,构造三角形OAB,过点A 作OB 的垂线AC,则sin ACAOα=. 师:这里所取点A 有何要求? 生1:任意取. 生2:不能与点O 重合.师:对,当点A 与点O 重合时,就不能构造直角三角形了.(点评:(1)从学生熟知的锐角三角形的三角函数出发,力求在最近发展区生长出新的知识.(2)三角形OAB 的构造有点多余,只要构造直角三角形OAC 就可以了.)2、任意角的正弦如何来定义呢?老师用几何画板画了一个任意角,看上去有点象钝角.学生自己讨论后,生3上黑板作图.在角AOB 的一边上任取一点A,由点A 向另一边OB 作垂线,交其反向延长线于点C,定义sin ACAOB AO∠=.(生3一边作图,一边作解说,她一直将角AOB 说成是钝角.)正弦,余弦,正切?αCOAC BAO生4:不是钝角,是任意角. 师:有别的想法吗?(点评:学生的想法如何?对还是不对?有没有道理?缺陷在哪里?老师未作任何评价,这是本节课的一个明显的失误.)生5:建立直角坐标系,将角的顶点O 与坐标原点重合,OB 边与x 轴的正半轴重合.作以原点O 为圆心的单位圆,设圆O 与另一条边相交于点A,由点A 向x 轴引垂线,垂足为C,定义sin ACAOB AO∠=. 生6:我不知道生3与生5的方法有何区别? 师:他们没有区别吗? 部分学生:有区别. 师:还有别的想法吗?(点评:这两种想法究竟有何区别?老师又未明确,这是本节课的又一个明显的失误.)生7:与生5一样,将角放在直角坐标系中,在角的终边上任取一点A(x,y),用该点的坐标来定义角的正弦,即sin yAOB AO∠=,这样就有正负之分了. 师:改变角所在的象限,该定义还成立吗?老师用几何画板演示角的终边在其它象限内的情况,特别地,还演示了角的终边落在坐标轴上的情况.(点评:学生终于说出了老师一直在等待的话,但这位学生是如何想的?可惜这个很关键的一点没能展示出来.)三、数学建构 1、正弦的定义:sin yrα=(详略). 师:与以前的定义相比,它们都是比值,但意义不同,而且新的定义包含了以前的定义.2、余弦与正切的定义又该如何来定义呢?生8:cos ,tan x yr xαα==.生9:在正切的定义中,应该满足0x ≠. 师:0x ≠是什么意思?生10:角的终边不能落在y 轴上. 师:那么角α不能等于哪些角? 生10:()2k k Z παπ≠+∈.师:上述比值与点A 的位置有没有关系? 众生:没有.师:当角α确定时,这几个三角函数值能唯一确定吗? 众生:能.师:这样一来,就与我们前面学习的哪一个知识有关了? 众生:函数.师:对.我们通常称它们为正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数. (点评:这里可顺提一下引入弧度制的目的之一:用实数表示角,使得三角函数符合了一般函数对定义域的要求.)四、数学应用1、已知角α的终边过点P(3,-4),求角α的正弦、余弦、正切值. 处理方法是生说师写.2、已知角α的终边落在直线y x =-上,求角α的正弦、余弦、正切值.处理方法是生说师写.sin tan 122ααα=±=±=-. (点评:这里最好分开写,即按α为第二象限角与α为第四象限角这两种情形分别求解) 五、拓展延伸通过前面的讨论,你发现了什么? 生11:22sin tan ,sin cos 1cos ααααα=+=. 生12: 0cos sin(90)αα=-.生13:以下三角函数在每个象限的符号如下:师: 考虑下列问题: (1)若sin 0,cos 0αα<>,则角α是第_______象限角. (2)若sin cos 0αα⋅<,则角α是第_______象限角. (3)若cos tan 0αα⋅<,则角α是第_______象限角.(点评:(1)“你发现了什么?”式的问题,好处在于不束缚学生的思维,缺点是指向性不明.(2)表格的制作力求规范,最好不好出现“sin ”的写法.)六、课堂小结 略 [2]听后随想1、尽管本节课上有几个明显的失误之处,但我们丝毫不应否定教者的教学思想与设计理念,教者力图通过学生的自主探究自然地建构出任意角的三角函数的定义,而不是将该定义直接强加于学生.2、导致本节课出现败笔的原因是多方面的,其中主要的可能是下面两点: (1)学生认知结构的不足.学生在初中只学习了锐角的三角函数,没有学过钝角的三角函数,因而生3与生5不知道他们给出的定义与已有的知识不符.(2)教者未能将三个函数一起研究.实际上,高一学生在物理中已用过01cos1202=-了,如果将三个函数一起研究,生3与生5可能会发现自己的想法与此结论有冲突了.3、改进的设想:(1)回顾任意角、象限角与轴线角的概念.(2)回顾锐角三角函数的定义,有了任意角之后,原来三角函数的定义有局限性,需要都其重新定义,以适用于任意的三角函数.(3)除了锐角的三角函数外,在其它学科中有没有接触到一些特殊角的三角函数值?(意图是让学生说出01cos1202=-)(4)重新定义的原则有哪些?①和谐的原则,新定义应该包含以前的定义,即当角为锐角时,其定义应与前面边的三角形边的比值等价.由此可以确定,新的定义仍应是比值的形式;②传承的原则,新定义应保留旧定义中的一些做法,如可以用样在角的终边上任取一点来定义,且所得结果应与所取点的位置无关.③相容的原则,新定义不能与一些熟悉的结论相矛盾.如当角为钝角时,其余弦值应为负值.由此可知,新的三角函数的定义应保证所得三角函数值有正负之分;④自然的原则,新定义不能出来得很奇怪,要让人接受必须顺其自然,可在我们前面讨论的象限角的基础上进行,换句话说,老师在给出一个任意角的时候,就可以将角直接放在直角坐标系下,因为前面已讨论过象限角.(5)按上述几个原则让学生自主探究.。
锐角三角函数数学听课记录
锐角三角函数数学听课记录锐角三角函数数学听课记录关注听课者即时的思考和评价。
听课时产生的随感及评价。
授课教师的讲课往往对听课者产生影响，听课者在听课过程中对授课教师的教学方法选用、教学环节的优化、教学语言的特点、教学思想的体现等的思考和评价都应及时记录下来，以利于课后评价。
一些是锐角三角函数数学听课记录，欢迎阅读。
(一)从教学目标上看“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。
从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。
在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。
在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。
无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是三角函数和解斜三角形的重要准备。
本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。
锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。
研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。
正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
绕满远老师在上课时对教学目标的把握比较准确，能以学生的现有水平，重视锐角三角函数概念的复习，从而自然过渡到新知识的传授。
课堂上体现知识与技能、过程与方法、以及情感、态度、价值观等教学目标，有机整合教学资源，努力体现以学生为本的思想。
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角函数的应用》
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角函数的应用》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握三角函数在解决实际问题中的应用，如解三角形、解决物理中的波动和振动问题等。
2.数学建模：通过实际问题的解决过程，培养学生的数学建模能力，学会将实际问题抽象为数学问题并求解。
3.问题解决：提高学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，增强数学应用的意识。
导入教师行为：•展示一幅包含不同角度和边长的三角形图片，提问：“如果我们知道这个三角形的一些边和角的信息，能否求出其他未知的量？”•引导学生思考并讨论，然后引出三角函数在解三角形中的应用。
•接着，可以简述一个物理中的波动或振动问题，如声波的传播，提问：“这些问题中，哪些数学工具可以帮助我们描述和分析？”从而引出三角函数在物理中的应用。
学生活动：•观察图片，思考并尝试回答教师的问题。
•讨论并分享自己的想法，对三角函数在解决实际问题中的应用产生兴趣。
过程点评：•导入环节通过具体实例和提问，有效激发了学生的学习兴趣和求知欲。
•引导学生从已知到未知，自然过渡到新课主题。
教学过程教师行为：•解三角形：•讲解正弦定理、余弦定理的内容及推导过程。
•通过例题演示如何运用正弦定理和余弦定理解决三角形的边、角问题。
•组织学生分组练习，教师巡回指导。
•物理应用：•简述声波、电磁波等波动现象，说明三角函数（如正弦函数）在描述这些波动中的作用。
•引入简谐运动模型，解释振幅、周期、相位等概念，并说明它们与三角函数的关系。
•通过案例分析，展示三角函数在解决物理问题中的应用。
学生活动：•认真听讲，记录正弦定理、余弦定理的内容及解题步骤。
•积极参与例题讨论，尝试独立或合作解决练习题。
•思考并讨论物理中的波动现象，理解三角函数在其中的应用。
过程点评：•教学过程条理清晰，理论讲解与例题演示相结合，有助于学生理解和掌握知识点。
•通过分组练习和案例分析，增强了学生的实践能力和问题解决能力。
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角函数的概念》
听课记录：新2024秋季高一必修数学第一册人教A版第五章三角函数《三角函数的概念》教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解并掌握三角函数（正弦、余弦、正切）的基本定义，以及它们与任意角、单位圆之间的关系。
2.数学思维：培养学生的抽象思维能力，通过角度与边长之间的转换，理解三角函数作为函数概念的特殊性。
3.数学应用：初步了解三角函数在实际问题中的应用，增强数学与生活的联系。
导入教师行为：•通过多媒体展示一幅包含不同角度的直角三角形图片，提问：“在直角三角形中，除了直角边和斜边，我们还能通过什么方式来表示角度的大小？”•引导学生回顾初中学习的锐角三角函数概念，并指出其局限性（仅适用于锐角）。
•引入新课：“今天，我们将学习一个更广泛、更深刻的三角函数概念，它能表示任意角度的大小。
”学生活动：•观察图片，思考教师提出的问题，回顾旧知。
•对教师引入的新概念产生好奇，期待进一步学习。
过程点评：•导入环节紧密联系生活实际和学生已有知识，有效激发了学生的学习兴趣。
•通过提问和回顾，为学生搭建了新旧知识之间的桥梁，为后续学习做了良好铺垫。
教学过程教师行为：•定义讲解：详细讲解三角函数（正弦、余弦、正切）在任意角情况下的定义，强调它们与单位圆的关系。
•图形演示：利用多媒体展示单位圆上不同角度对应的三角函数值，帮助学生直观理解。
•例题分析：选取典型例题，引导学生分析题目中的角度与三角函数值之间的关系，并示范解题过程。
•学生练习：布置相关练习题，让学生分组讨论并尝试解答，教师巡回指导。
学生活动：•认真听讲，记录三角函数的基本定义和单位圆上的表示方法。
•观察图形演示，加深对三角函数直观理解。
•积极参与例题分析，尝试独立解题或小组讨论。
•完成练习题，巩固所学知识。
过程点评：•教师讲解条理清晰，注重理论与实践相结合，有助于学生理解和掌握。
•通过图形演示和例题分析，增强了学生对三角函数概念的直观认识和理解。
•学生练习环节设计合理，既保证了学生的参与度，又便于教师及时发现问题并进行指导。
锐角三角函数(1)听课记录
SinA=∠A的对边/斜边
=a/c
B
斜边
∠A的对边c
a
C A
讲解小结1、2、3
作业习题1
评课记录或体会
思路清晰，课堂氛围热烈，并且环节与环节之间紧扣，学生对知识掌握高。
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听课记录表
学校
执教者
班级
学科
数学
时间
教学内容
锐角三角函数（1）
课堂记录
课堂记录
【复习巩固】问题：直角三角形中边与角之间的关系？
【情景探究】山坡上建水管的相关问题。
【探索新知】
1、锐角三角形正弦函数的定义
《三角函数的概念(一)》示范公开课教学课件【高中数学人教】
新α=y，cosα=x，tanα=
y x
；引入过符号logab表示ax=b中的x．
（2）正弦函数的对应关系：α →点P的纵坐标y；
余弦函数的对应关系：α →点P的横坐标x； 正切函数的对应关系：α→ y ．
x
（3）正弦函数、余弦函数的定义域是R；
正切函数的定义域是{x∈R|x≠
三角函数的概念
三角函数的概念（一）
创设情境
问题1 如图，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向 旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．根据已 有的研究函数的经验，你认为我们需要研究哪些内容？
答案：明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质．
新知探究
1．形成概念
问题2 如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)， 点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点 O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP．
x y =tanα（x≠0）． x
新知探究
1．形成概念
追问3 对于R中的任意一个角α，y是唯一确定的吗？为什么？ y 是α的函
x
x
数吗？
答案：当α= π +kπ（k∈Z）时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标等于 2
0，所以 y =tanα无意义．除此之外，对于确定的角α，点P(x，y)的横坐标和纵 x
坐标都是唯一确定的，所以 y 也是唯一确定的．由此可知，y =tanα（x≠0）也
x
x
是以角α为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，
称为正切函数．
新知探究
1．形成概念
定义 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．通常将 它们记为：
小学数学走进科学《三角函数》听课评课记录
小学数学走进科学《三角函数》听课评课记录背景介绍在小学数学教学中，三角函数是一个相对抽象和难以理解的概念。
为了提高学生对三角函数的理解和应用能力，我们邀请了一位科学家作为特邀讲师，给学生讲解三角函数的应用案例，并进行听课评课。
听课内容讲师首先介绍了三角函数的定义、性质和应用。
通过生动的实例和图表，讲师向学生展示了三角函数在生活中的应用场景，如电视信号的接收、建筑物的测量等。
接着，讲师针对三角函数的常见问题进行了深入讲解。
他通过具体的计算步骤和简单的几何解释，帮助学生理解三角函数的运算规则和图形意义。
最后，讲师与学生进行了互动讨论，鼓励学生提出疑问并解答他们的问题。
这种互动的方式增强了学生对三角函数知识的兴趣和记忆。
听课评价本次听课活动收到了学生和教师的积极反馈。
以下是一些评价和反馈意见：- 学生们对三角函数的应用案例很感兴趣，能够理解三角函数的实际应用。
- 讲师用生动的语言和图表，简单而详细地讲解了三角函数的概念和性质，帮助学生建立了坚实的基础。
- 互动讨论环节增加了学生的参与感，让他们更主动地研究和思考。
- 讲师能够很好地回答学生的问题，提供了有价值的解答和建议。
改进建议尽管本次听课活动取得了很好的效果，但还有一些改进空间：- 在讲解过程中，可以增加更多的练题和例题，以帮助学生巩固所学知识。
- 可以邀请更多的科学家或专业人士来给学生进行讲座，拓宽他们对数学的认识。
结论小学数学走进科学《三角函数》听课评课活动，通过邀请科学家作为特邀讲师，为学生提供了一次难得的研究机会。
学生们通过实际案例和生动的讲解，对三角函数的概念和应用有了更深入的理解。
我们将继续努力，为学生提供更多的科学研究机会，推动数学教学的创新和发展。
参考文献后记此文档为对小学数学走进科学《三角函数》听课评课记录的简要回顾和总结。
详细的内容请参考实际的听课评课记录。
高中数学三角函数的图像与性质实习生听课记录
中学数学听课记录：三角函数的图像与性质
教学过程
一、引入：
让同学们倾听一段音乐——梁祝小提琴协奏曲，同时观看这一段音乐的波形图，展示数学和音乐的交汇，科学和艺术的融合。
介绍傅里叶对音乐的贡献，由此引出课题：三角函数的图象与性质的探讨.
二、新课探究：
问题1：对正弦函数，你知道些什么？你打算如何探讨之？
介绍三种作图方法：即描点法、五点法、几何法。
挖掘数学的文化内涵，体现数学的文化价值，提高学生学习三角函数的爱好。
这是一个总领整个课堂的问题，试图唤醒学生的原认知结构，打通新旧学问的联系。
引导学生说出周期性，实现探讨范围由到的过渡——以性作图。
由此得出的图象——正弦曲线。
由图象得出正弦函数的性质：
围绕定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等绽开。
问题2：你如何作出余弦函数的图象？
（引导学生发觉正余弦函数的关系，得到余弦函数的图象。
）
引导学生“看图说话”——余弦函数的性质.。
三、练习反馈
例：用“五点法”作出下列函数的简图.
①；②。
四、归纳、总结、提高
①学问技能层面：正余弦函数的图像与性质、作图；
②思想方法层面：数形结合思想——以性作图、以图识性、以图记性。
③数学文化层面：与音乐联姻，数学是理性的音乐、音乐是感性的数学。
在奇妙的音乐声中结束！。
三角函数听课
题目：1.1.1 任意角1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法 3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法终边相同的角的表示【复习引入】：1．复习：初中是如何定义角的？角的范围是什么？2．生活中很多实例是不是都在范围]360,0[00内，举例说明，如果不在有什么办法才能推广到任意角？【课前预习】阅读课本第2-3页，填写下列内容：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按_______方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的______，旋转终止的射线OB 叫做角α的______，射线的端点O 叫做角α的______．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做_________，把按_________方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做________．记法：角α或α∠ 可以简记成α2．“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边_______________，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒、390︒、-330︒是第______象限角，300︒、-60︒是第________象限角，585︒、1180︒是第_______象限角，-2000︒是第__________象限角等思考：是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？【合作探究】终边相同的角 :1. 观察：在同一个直角坐标系中观察390︒，-330︒ ，30︒角，它们的终边有什么关系？2. 探究：390︒=30︒+360︒ )1(=k -330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0×360︒ (k=______) 1470︒=30︒+______×360︒ (k=______) -1770︒=____________ (k=______)3.结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：_______________________________________________即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 【讲解范例】例1 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)950-︒︒-︒例2写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在︒︒-720~360间的角写出来：︒60⑴ ︒-21⑵ ︒14363⑶【合作探究二】终边在y 轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.1. 终边在y 正半轴上角的集合______________2. 终边在y 负半轴上角的集合________________ 探究：怎么将二者写成统一表达式？____________________________________________________ 变式：终边在x 轴上的角的集合：_______________________ 例3、写出终边在直线y=x上的角的集合。
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题目：1.1.1 任意角1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相2. 掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法3．体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法终边相同的角的表示【复习引入】：1．复习：初中是如何定义角的？角的范围是什么？2．生活中很多实例是不是都在范围]360,0[00内，举例说明，如果不在有什么办法才能推广到任意角？【课前预习】阅读课本第2-3页，填写下列内容：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按_______方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的______，旋转终止的射线OB叫做角α的______，射线的端点O叫做角α的______．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做_________，把按_________方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做________．记法：角α或α∠可以简记成α2．“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边_______________，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒、390︒、-330︒是第______象限角，300︒、-60︒是第________象限角，585︒、1180︒是第_______象限角，-2000︒是第__________象限角等思考：是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？【合作探究】终边相同的角 :1.观察：在同一个直角坐标系中观察390︒，-330︒，30︒角，它们的终边有什么关系？2.探究：390︒=30︒+360︒)1(=k-330︒=30︒-360︒)1(-=k 30︒=30︒+0×360︒ (k=______) 1470︒=30︒+______×360︒ (k=______)-1770︒=____________ (k=______)3.结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：_______________________________________________即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和【讲解范例】例1在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1)120(2)640(3)950-︒︒-︒例2写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在︒︒-720~360间的角写出来：︒60⑴ ︒-21⑵ '︒14363⑶【合作探究二】终边在y 轴上的角的集合（用0到360度的角表示）.1. 终边在y 正半轴上角的集合______________2. 终边在y 负半轴上角的集合________________ 探究：怎么将二者写成统一表达式？____________________________________________________ 变式：终边在x 轴上的角的集合：_______________________ 例3、写出终边在直线y=x 上的角的集合。
思考：若 是第二象限角时，则 ， 分别是第几象限的角【达标检测】教材第五页练习题。
1．与终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．2．在0o ~360o 范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）－265 （2）－1000o （3）－843o 10’ （4）3900o 3、用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为_________________________________-； 第二象限的角表示为_____________________________________-； 第三象限的角表示为_______________________________________-； 第四象限的角表示为________________________________________-；【归纳小结】本节课重点是学习终边相同的角的表示法．严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90°的角”“第一象限角”“0°到90°的角”和“锐角”的不同意义.牛刀小试 教材第9页A 组1、2、3题。
1、设第一象限的角｝＝锐角｝，的角｝ 小于{G {F 90{o ==E ，，那么有（）．A ．B ．C ．（） D ．2、在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 （1） ； （2）； （3）．3、一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为______________．4、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o ≤β＜360o 的元素写出来：(1)60o (2)－75o (3) －824o 30’ (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0o 5、设，C ＝{α|α= k180o +45o ,k ∈Z} ，则相等的角集合为___________．6、（1）如图，终边落在 位置时的角的集合是____________；终边落在位置，且在内的角的集合是_______ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_________________________________________________--3rr 3rad题目：5.2弧度制学习目标1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数学习重点 使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算 导学过程 【知识回顾】：1．“正角” “负角”“零角”的定义。
2.所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：_______________________________________________；终边在y 轴上的角的集合：________________________________； 终边在x 轴上的角的集合：_______________________； 第一象限的角的集合_________________________________-； 第二象限的角的集合_____________________________________-； 第三象限的角的集合_______________________________________-； 第四象限的角的集合________________________________________-； 【课前预习】阅读课本第196页，填写下列内容：1. 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？规定周角的3601作为1°的角，我们把用度做单位来度量角的制度叫做_______.2. 弧度制——— 另一种度量角的单位制 ； 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于____________的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
【合作探究】 弧度制:（1）平角、周角的弧度数，（平角=______ rad 、周角=_______ rad ）（2）正角的弧度数是_________，负角的弧度数是_________，零角的弧度数是_______（3）角度制与弧度制的换算:360︒=_______rad 180︒=_____rad 1︒=___________ 1rad=________（4）角度与弧度互换角度 0° 45° 90° 120° 135° 150° 弧度 π/6 π/3 π 角度 210° 225° 240° 300° 315° 330° 360° 弧度3π/22πo r C 2rad 1rad r2r o AAB 正角 零角 负角正实数 零 负实数【讲解范例】例1把 30-、 330-化成弧度 ；把π53、π125-、π611-化成度【合作探究二】 弧长与扇形面积公式：（教材第198页）⇒=r l α ___________ 比公式180rn l π=简单 lR S 21==_________________比公式 3602R n S π=扇 要简单 例2、在半径为10cm 的圆中，圆心角大小为60的扇形的面积是多少？【达标检测】 1、计算4sinπ2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式⑴π319⑵ 315-【归纳小结】1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 2.特殊角的弧度数【拓展提高】 用弧度制表示：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合： 终边在y 轴上的角的集合：________________________________ 终边在x 轴上的角的集合：_______________________ 第一象限的角表示为_________________________________-； 第二象限的角表示为_____________________________________-； 第三象限的角表示为_______________________________________-； 第四象限的角表示为________________________________________-；教材第198-199页A 组、B 组。
三河三中高二年级数学导学案 今天太宝贵，不应该为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住今天，它不再回。
制作人：李顺利 审核人：贾连艳 张新宇 题目：1.2.1 任意角的三角函数（一）导学目标1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数教学重点 任意角三角函数的定义. 教学难点 正弦、余弦、正切函数的定义域 导学过程 【复习引入】：1、角度制与弧度制的换算：2、 终边在y 轴上的角的集合：_________________________终边在x 轴上的角的集合：_______________________ 第一象限的角表示为_________________________________-； 第二象限的角表示为_____________________________________-； 第三象限的角表示为_______________________________________-； 第四象限的角表示为________________________________________-； 3、在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:sin α=___________ cos α=__________ tan α=___________ 【课前预习】阅读课本第202页，填写下列内容：1. 单位圆：_____________________________________________________ 2、如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin α=________；（2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos α=__________； （3）yx叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan α=___________( ).【合作探究一】请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中： 三角函数定义域第一象限 第二象限 第三象限 第四象限角度制 弧度制 sin αcos αtan αα 0︒ 30︒ 45︒ 60︒ 90︒ 120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 270︒ 360︒ 弧度αsinαcostan α cot α【讲解范例】 例1.求53π的正弦、余弦和正切值.caαBa 的终边P(x,y )xOy例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.结论：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx rry=αsin cos α=______ tan α=_____例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.【达标检测】1、教材第15页1、2、3、4、6练习题。