含参数的一元二次不等式的解法 - 副本

含参一元二次不等式的讨论级别如下框架进行 当a=0时，不等式就成为一次不 0 结论 等式或更低次数的不等式，解集 结论 很显然的，但是这种情况容易丢 a 0 0
x1 x2 结论 0 失，所以在解题时 x1 x2 结论
a 0
优先考虑
结论
0 结论 0 结论 x1 x2 结论 0 x1 x2 结论
新课探究：
对于含有参数的不等式，由于参数的取值 范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进 行讨论，即要产生一个划分参数的标准。
思考：
（1）含参一元二次不等式的分类需要讨 论，那么如何讨论呢？ （2）我们应该从哪几个方面对含参一元 二次不等式的的参数进行讨论？
一、对x 项的系数a的符号讨论，即a 0, a 0, a 0
变式训练1：
分析：
解不等式 ax2 5ax 6a 0 a 0
因为不等式可变形为a x 2 x 3 0，所以我们只要讨论二次项系数
当a 0时，解集为 x | x 2或x 3； 当a 0时，解集为 x | 2 x 3
例2、解不等式x ax 4 0
2
2 ax 例1 解关于 x 不等式： a 2 x 1 0
分析：
2 a 2 4 a a 40 本题二次项系数含有参数， ， 2
故只需对二次项系数进行分类讨论。
综上所述 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 或x 1 当a 0时，解集为 x | x 2a 2a 1 2 当a 0时，不等式的解集为 x | x ； 2 2 a 2 a 2 4 a 2 a 4 x 3 当a 0时，解集为 x | 2 a 2 a
含参一元二次不等式 的解法
授课教师：
解题回顾
解不等式： x 5 x 6 思考：解一元二次不等式的步骤
2
解：原不等式可变形为：x 5x 6 0
2
有哪些？
2
方程x 5x 6 0的两个根为：
x1＝2，x2＝3 ∴ 不等式的解集为{x│ x <2或x>3}.
解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲” （1）转化为不等式的“标准”形式； （2）计算△,解相应一元二次方程的根； （3）根据二次函数的图象以及不等号的方向， 写出不等式的解集. （需考虑两根的大小）
所以当 0，即m 3或m 3时，解集为R.
1 当 0，即m 3时，解集为 x | x ； 2
2 3 m2 2 3 m2 当 0，即 3 m 3时，解集为 x x 或 x ； 2 2 m 1 m 1
2 2
分析：
此不等式 5a 24a 2 a 2 0，且可以分解 为：
2
x 2a ( x 3a) 0故对应的方程必有两解.
所以本题只需讨论两根的大小即可
小结：
1、讨论二次项 系数，确定不等 式类型
2、讨论判别式 的正负，确定根 的情况
3、讨论根的大 小，确定解集
三、对方程的根x1, x2的大小讨论，即x1 x2 , x1 x2 , x1 x2
1 例3、解不等式x (a ) x 1 0 ( a 0) a
2
分析：
1 此不等式可以分解为： x a ( x ) 0故对应的方程必有两解. a 本题只需讨论两根的大小即可.
终上所述：……
变式训练2：
解不等式 m 2 1 x 2 4 x 1 0 m R
分析：
由于x 2前的系数 m 2 1 大于0很成立，所以只需考虑 与跟的情况
因m 2 1 0, (4) 2 4 m 2 1 4 3 m 2
2
a a 2 16 当 0即a 4或a 4, 此时两根分别为x1 ， 2 a a 2 16 x2 ，显然x1 x2 , 2 a a 2 16 a a 2 16 不等式的解集为 x x 或 〈 x 2 2
1 当a 1或0 a 1时，原不等式的解集为 x | a x a 当a 1或a -1时，原不等式的解集为 1 当 1 a 0或a 1时，原不等式的解集为 x | x a a
变式训练3：
Hale Waihona Puke Baidu
解不等式x 5ax 6a 0，a 0
2
分析：
本题中由于的x 系数大于0, 故只需考虑 与 根 的情况。 解：
2
a 2 16
当 0即a 4,4 时，解集为R
当＝0即a 4时，解集为 x x R且x a ； 2
二、对判别式的符号讨论，即 0, 0, 0; 例2、解不等式x ax 4 0
a 0
练习：
（ 1）解关于x的不等式：x ( a 2) x a 0.
2
（2）解关于x的不等式：ax (a 1) x 1 0.
2
（3）解关于x的不等式：ax ax 1 0.
2