信号与系统第4章总结
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第 4 章 连续时间系统的频域分析
1 基本要求
（1）深刻理解频域系统函数 H ( jω ) 的定义、物理意义、求法与应用，并会求解 （2）深刻理解理想低通滤波器的定义、传输特性（冲激响应与阶跃响应）及其上升时间的 意义 （3）了解调制与解调的基本原理与应用 （4）了解信号无失真传输的条件
2 理论提要
ln H ( jω ) 1+ ω2
－∞
二 理想低通滤波器及其传输特性 （1）理想低通滤波器的定义：若系统函数 H ( jω ) 满足
e − jωt0 ω < ω c H ( jω ) = 0 ω > ωc
则称此系统为理想低通滤波器。其中 t 0 为实常数； ω c 为截止频率，称为理想低通滤波器的 通频带，简称频带。 （2）理想低通滤波器的单位冲激响应为 h(t ) = （3）理想低通滤波器的单位阶跃响应为
jωt
称为频域单元信号） ，则系统的零状态响应为
y f (t ) = h(t ) ∗ e
式中 H ( jω ) =
jωt
= ∫ h(τ )e
−∞ − jωτ
∞
jω ( t −τ )
dτ = e
j ωt
∞
−∞
∫ h(τ )e
− jωτ
dτ = H ( jω )e jωt
∞
−∞
∫ h(τ )e
dτ 为 h(t ) 的傅立叶变换，即有
ωc Sa[ω c (t − t 0 )] π
1 1 g (t ) = ∫ h(τ )dτ = + 2 π −∞
y
t
ωc ( t −t 0 )
∫
0
sin x 1 1 1 1 dx = + S i [ω c (t − t 0 )] = + S i ( y ) x 2 π 2 π
其中 S i ( y ) =
一 频域系统函数 H ( jω ) 系统零状态响应 y f (t ) 的傅立叶变换为 1． 定义 设系统激励 f (t ) 的傅立叶变换为 F ( jω ) ，
Y f ( jw) ，则定义频域系统传输函数为
H ( jω ) =
2． 物理意义 （1）因有 y f (t ) = h(t ) ∗ f (t ) 故
jϕ (ω )
= Ke − jωt0
源自文库
H ( jω ) = G2ωc (ω ) 为理想低通滤波器; ω c 为滤波器的截止频率。
1. 调制 调制信号 y1 (t ) = f (t ) a1 (t ) = f (t ) cos ω 0 t ，故
Y1 ( jω ) =
1 1 1 F ( jω ) ∗ π [δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 ] = F [ j (ω − ω 0 )] + F [ j (ω + ω 0 )] 2π 2 2
可见 Y1 ( jω ) 中包含着 F ( jω ) 的全部信息。 2. 解调 解调信号 y 2 (t )为
y 2 (t ) = y1 (t )a 2 (t ) = y1 (t ) cos ω 0 t = f (t ) cos 2 ω 0 t =
故 Y2 ( jω ) =
1 [ f (t ) + f (t ) cos ω0t ] 2
p = jω
（2）从系统的单位冲激响应 h(t ) 求，即 H ( jω ) = F [ h(t )] （3）根据正弦稳态分析方法从频域电路模型按 H ( jω ) 的定义式求。 4. 频域特性
H ( jω ) 一般为实变量 ω 的复数函数，故可写为
H ( jω ) = H ( jω ) e jϕ (ω ) = R(ω ) + jX (ω ) H ( jω ) 和ϕ（ω） 分别称为系统的幅频特性与相频特性，统称为系统的频率特性，也称
h(t ) ⇔ H ( jω )
可见，系统的零状态响应 y f (t ) 是等于激励 e
jωt
乘以加权函数 H ( jω ) ，此加权函数 H ( jω )
即为频域系统函数，亦即为 h(t ) 的傅立叶变换。 3. 求法 （1）从系统的传输算子 H ( p ) 求，即 H ( jω ) = H ( p )
Y f ( jω ) F ( jω )
Y f ( jω ) = H ( j ω ) F ( jω )
即
H ( jω ) =
Y f ( jω ) F ( jω )
其中
H ( jω ) = F [h(t )]
可见 H ( jω ) 就是单位冲激响应 h(t ) 的傅立叶变换 （2） 设激励为 f (t ) = e jωt （ e
∫
sin x dx, y = ω c (t − t 0 ) x 0
（4）理想低通滤波器的上升时间 tτ ，定义为从阶跃响应的极小值上升到极大值所经历的时 间。它与频带 ω c 的关系为 tτ =
2π
ωc
（5）理想低通滤波器是非因果系统，工程实际中不可能实现，但仍具有理论价值。 三 调制与解调 已知一幅度调制（AM）与解调系统。 f (t ) 为被传送的信号； a1 (t ) = cos ω 0 t 为载波 信号（即调制信号） ， ω 0 为 载 波 频 率 ； a 2 (t ) = cos ω 0 t 为 解 调 信 号 [ a1 (t ) = a 2 (t )] ；
ω c 为理想低通滤波器的截止频率（即通频带） ，它应该满足 ωb ≤ ω c ≤ ( 2ω 0 − ωb ) 。 ωb 为
F ( jω ) 的带宽。
四 信号传输不产生失真的条件
（1）在时域中： h(t ) = Kδ (t − t 0 ) （2）在频域中： H ( jω ) = H ( jω ) e 即 H ( jω ) = K ϕ (ω ) = −ωt 0 其中 K和t 0 均为实常数。
为频率响应。 利用频率特性可分析系统的滤波性能。 5. H ( jω ) 可实现的条件 （1）在时域中必须满足当 t < 0 时， h(t ) = 0 ，即系统必须是因果系统 （2）在频域中，其必要条件是 H ( jω ) ≠ 0 ，即必须满足佩里－维纳准则：
∞
−∞ ∞
∫ H ( jω ) ∫
2
dω = 有限值 dω = 有限值
1 1 1 F ( jω ) + F [ j (ω + 2ω 0 )] + F [ j (ω − 2ω 0 )] 2 4 4
可见 Y2 ( jω ) 的频谱结构中包含着 f (t ) 的全部信息 F ( jω ) ， 然后让 y 2 (t ) 通过一个传输函数
H ( jω ) = 2G2ωc (ω ) 的理想低通滤波器，即可达到使 y (t ) = f (t ) ，从而恢复了信号 f (t ) 。
1 基本要求
（1）深刻理解频域系统函数 H ( jω ) 的定义、物理意义、求法与应用，并会求解 （2）深刻理解理想低通滤波器的定义、传输特性（冲激响应与阶跃响应）及其上升时间的 意义 （3）了解调制与解调的基本原理与应用 （4）了解信号无失真传输的条件
2 理论提要
ln H ( jω ) 1+ ω2
－∞
二 理想低通滤波器及其传输特性 （1）理想低通滤波器的定义：若系统函数 H ( jω ) 满足
e − jωt0 ω < ω c H ( jω ) = 0 ω > ωc
则称此系统为理想低通滤波器。其中 t 0 为实常数； ω c 为截止频率，称为理想低通滤波器的 通频带，简称频带。 （2）理想低通滤波器的单位冲激响应为 h(t ) = （3）理想低通滤波器的单位阶跃响应为
jωt
称为频域单元信号） ，则系统的零状态响应为
y f (t ) = h(t ) ∗ e
式中 H ( jω ) =
jωt
= ∫ h(τ )e
−∞ − jωτ
∞
jω ( t −τ )
dτ = e
j ωt
∞
−∞
∫ h(τ )e
− jωτ
dτ = H ( jω )e jωt
∞
−∞
∫ h(τ )e
dτ 为 h(t ) 的傅立叶变换，即有
ωc Sa[ω c (t − t 0 )] π
1 1 g (t ) = ∫ h(τ )dτ = + 2 π −∞
y
t
ωc ( t −t 0 )
∫
0
sin x 1 1 1 1 dx = + S i [ω c (t − t 0 )] = + S i ( y ) x 2 π 2 π
其中 S i ( y ) =
一 频域系统函数 H ( jω ) 系统零状态响应 y f (t ) 的傅立叶变换为 1． 定义 设系统激励 f (t ) 的傅立叶变换为 F ( jω ) ，
Y f ( jw) ，则定义频域系统传输函数为
H ( jω ) =
2． 物理意义 （1）因有 y f (t ) = h(t ) ∗ f (t ) 故
jϕ (ω )
= Ke − jωt0
源自文库
H ( jω ) = G2ωc (ω ) 为理想低通滤波器; ω c 为滤波器的截止频率。
1. 调制 调制信号 y1 (t ) = f (t ) a1 (t ) = f (t ) cos ω 0 t ，故
Y1 ( jω ) =
1 1 1 F ( jω ) ∗ π [δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 ] = F [ j (ω − ω 0 )] + F [ j (ω + ω 0 )] 2π 2 2
可见 Y1 ( jω ) 中包含着 F ( jω ) 的全部信息。 2. 解调 解调信号 y 2 (t )为
y 2 (t ) = y1 (t )a 2 (t ) = y1 (t ) cos ω 0 t = f (t ) cos 2 ω 0 t =
故 Y2 ( jω ) =
1 [ f (t ) + f (t ) cos ω0t ] 2
p = jω
（2）从系统的单位冲激响应 h(t ) 求，即 H ( jω ) = F [ h(t )] （3）根据正弦稳态分析方法从频域电路模型按 H ( jω ) 的定义式求。 4. 频域特性
H ( jω ) 一般为实变量 ω 的复数函数，故可写为
H ( jω ) = H ( jω ) e jϕ (ω ) = R(ω ) + jX (ω ) H ( jω ) 和ϕ（ω） 分别称为系统的幅频特性与相频特性，统称为系统的频率特性，也称
h(t ) ⇔ H ( jω )
可见，系统的零状态响应 y f (t ) 是等于激励 e
jωt
乘以加权函数 H ( jω ) ，此加权函数 H ( jω )
即为频域系统函数，亦即为 h(t ) 的傅立叶变换。 3. 求法 （1）从系统的传输算子 H ( p ) 求，即 H ( jω ) = H ( p )
Y f ( jω ) F ( jω )
Y f ( jω ) = H ( j ω ) F ( jω )
即
H ( jω ) =
Y f ( jω ) F ( jω )
其中
H ( jω ) = F [h(t )]
可见 H ( jω ) 就是单位冲激响应 h(t ) 的傅立叶变换 （2） 设激励为 f (t ) = e jωt （ e
∫
sin x dx, y = ω c (t − t 0 ) x 0
（4）理想低通滤波器的上升时间 tτ ，定义为从阶跃响应的极小值上升到极大值所经历的时 间。它与频带 ω c 的关系为 tτ =
2π
ωc
（5）理想低通滤波器是非因果系统，工程实际中不可能实现，但仍具有理论价值。 三 调制与解调 已知一幅度调制（AM）与解调系统。 f (t ) 为被传送的信号； a1 (t ) = cos ω 0 t 为载波 信号（即调制信号） ， ω 0 为 载 波 频 率 ； a 2 (t ) = cos ω 0 t 为 解 调 信 号 [ a1 (t ) = a 2 (t )] ；
ω c 为理想低通滤波器的截止频率（即通频带） ，它应该满足 ωb ≤ ω c ≤ ( 2ω 0 − ωb ) 。 ωb 为
F ( jω ) 的带宽。
四 信号传输不产生失真的条件
（1）在时域中： h(t ) = Kδ (t − t 0 ) （2）在频域中： H ( jω ) = H ( jω ) e 即 H ( jω ) = K ϕ (ω ) = −ωt 0 其中 K和t 0 均为实常数。
为频率响应。 利用频率特性可分析系统的滤波性能。 5. H ( jω ) 可实现的条件 （1）在时域中必须满足当 t < 0 时， h(t ) = 0 ，即系统必须是因果系统 （2）在频域中，其必要条件是 H ( jω ) ≠ 0 ，即必须满足佩里－维纳准则：
∞
−∞ ∞
∫ H ( jω ) ∫
2
dω = 有限值 dω = 有限值
1 1 1 F ( jω ) + F [ j (ω + 2ω 0 )] + F [ j (ω − 2ω 0 )] 2 4 4
可见 Y2 ( jω ) 的频谱结构中包含着 f (t ) 的全部信息 F ( jω ) ， 然后让 y 2 (t ) 通过一个传输函数
H ( jω ) = 2G2ωc (ω ) 的理想低通滤波器，即可达到使 y (t ) = f (t ) ，从而恢复了信号 f (t ) 。