§2 实数完备性的基本定理

§2 实数完备性的基本定理
实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。

实数基本定理是
建立与发展微积分学的基础。

因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。

本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。

我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。

2.1 实数基本定理的陈述
简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。

区间套还可表达为
, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n 。

我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。

例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套. 但} ] 2
1 , ) 1 (1 [ {n
n n +-+
、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 1
1 , 1 [ {+-都不是。

推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,
,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e Ì。

推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有
n a 单增且收敛于ξ，同时n b 单减且收敛于ξ，) (∞→n 。

根据假设，对任给的0ε>，总存在自然数N ，对一切n N ≥，都有n N a a ε-≤，即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。

据此，令12ε=
，则存在1N ，在区间1211,22N N a a ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项，并记这个区间为[]11,αβ。

再令212ε=
，则存在()21N N >，在222211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦上含有{}n a 中除有限项外几乎所有项。

记[]22,αβ=222211,22N N a a ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦⋂[]11,αβφ≠，它也含有{}n a 中
有限项外几乎所有的项，且[]22,αβ⊂[]11,αβ和11
221
22
βαβα--≤=。

照以上的方法，依次令34111,,,,222
n ε=
，得一闭区间列[]{},n n αβ，它的每个区间都含有{}n a 中除有限项外几乎所有的项，而且这区间列满足以下条件
[][]()11,,,2,3,,n n n n n αβαβ--⊂= ()1
1
02
n n n n βα--≤
→→∞ 从而由区间套定理知，存在唯一一个数[](),1,2,n n a b n ς∈= ，现在证明这个ς就是数列{}n a 的极限。

因为对任给0ε>，由定理2.1推论知存在自然数N ，当n N >时，便有
[](),,n n a b U ςε⊂。

因此在(),U ςε内就含有{}n a 中除有限项外几乎所有的项，这就证得lim n n a ς→∞
=。

5. Weierstrass 聚点原理
例2.2 数集E =} 1
{n
有唯一聚点0, 但E ∉0；开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集
是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [。

若每个λI 都是开区间, 则称区间族G 是开区间族。

开区间族常记为
} , , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM 。

例2.3 } ) 1 , 0 ( ), 2
3 , 2 ( {∈=x x
x M 覆盖了区间) 1 , 0 (, 但不能覆盖] 1 , 0 [;
} ) , ( , ) , ( {b a x x
b x x b x H ∈-+--=覆盖) , [b a , 但不能覆盖] , [b a 。

2.2 实数基本定理等价性的证明
我们注意到，实数完备性基本定理等价性的证明，几乎都可以利用二等分构
造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。

证明七个实数基本定理等价性的路线:
确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ Contor 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ Weierstrass 聚点原理 ⇒ Bolzano 致密性定理⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 确界原理。

[确界原理⇒单调有界原理] 证明 参见定理2.1.8的证明。

[单调有界原理⇒Contor 区间套定理]
证明 因为11[,][,]n n n n a b a b ++⊃，所以有
1221
n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤ 从而可见数列{}n a 单增有上界，数列{}n b 单减有下界故由单调有界定理可知
a N ∃∈使得lim n n a a =,
b N ∃∈使得lim n n b b
=, 且n N ∀∈有,n a a n N ≤∀∈有n b b ≤，所以 ,[,]n n a b a b ∈，于是成立
n n a b a b -≤-≤0。

又因为lim()0n n n b a
-=，所以a b =。

记a b ξ
==，从而存在性得证。

假设ξ不唯一，即存在[,]n n a b ξ'∈，则仿上面易得ξξ'=。

[Contor 区间套定理⇒Cauchy 收敛准则]
证明 上节已经证明了Cauchy 收敛准则的必要性，在此只需证明充分性。

证法一 设{}n x 为Cauchy 列，即110,0,,N n m N ε∀>∃>∀>，有
||2
n m x x ε
-<。

(1)
先证明，Cauchy 列{}n x 有界：事实上，在(1)中取11,1m N ε==+，就可
知
{}
1111:max ,,,1n N N x M x x x +≤=+ 。

其次，我们用Cantor 区间套定理找出{}n x 的一个收敛的子列{}k n x 如下： 定义闭区间
[],a b 具有性质:P [],a b 含有数列{}n x 的无限项。

Step(1): 由有界性知，闭区间[]11[,]:,M M αβ=-具有性质P 。

从{}n x 中任取一项作为1n x 。

易得112M βα-=。

Step(2): 将11[,]αβ对半分为两个闭区间111
[,]2αβα+和111[,]2αββ+， 则其
中至少有一个闭区间具有性质
P ，不妨记此区间为22[,]αβ。

易知
{}221[,]:,n x n n n αβ⋂∈> 中仍含有数列{}
n x 的无限项。

从
{}221[,]:,n x n n n αβ⋂∈> 中任取一项作为2n x 。

易得22M βα-=。

Step(k): 将11[,]k k αβ--对半分为两个闭区间111[,]2
k k k αβα---+和
11
1[
,]2
k k k αββ---+，则其中至少有一个闭区间具有性质P ，不妨记此区间为
[,]k k αβ。

易知{}1[,]:,k k n k x n n n αβ-⋂∈> 中仍含有数列{}n x 的无限项。

从
{}1[,]:,k k n k x n n n αβ-⋂∈> 中任取一项作为k n x 。

易得2
2k k k M βα--=。

由此可得一闭区间套{[,]}k k αβ满足
(i) 11[,][,]k k k k αβαβ++⊃； (ii) 2
()02
k k k k M b a --=揪井； (iii)
k n x [,]k k αβ∈。

由闭区间套定理可知存在唯一的[,]n n ξαβ∈。

且lim k n k x x
=。

现在，我们可以证明lim n n x x
=。

事实上，由lim k n k x x
=知，
K $ ¥，k K ">，有
||2
k n x ε
ξ-<。

(2)
于是1:N N K =+∈ ，, ,k n N k N n k N K ">>蕹> ，由(1)和(2)知，
||k k k k n n n n n n n x x x x x x x ξξξε-=-+-≤-+-<。

至此，我们完成了Cauchy 收敛准则的充分性证明。

证毕
证法二 设{}n x 为Cauchy 基本列，即0,0,N n N ε
∀>∃>∀>有
||n N x x ε-≤，即[,]n N N x x x εε∈-+。

定义性质:P 0,0,N n N ε∀>∃>∀>有[,]n N N x x x εε∈-+。

则
Step(1): 令12ε=，则1N ∃使得1
1
11[,]22
N N x x -+具有性质P ，不妨记此区间为11[,]αβ。

Step(2): 令212ε=
， 则
21
()N N ∃>使得2
2
22
11[,]22N N x x -+具有P ，不妨记此区间为22[,]αβ。

Step(k): 令12k ε=，则] 1()k k N N -∃>使得11[,]22
k
k N
N k k x x -
+具有P ，不妨记此区间为[,]k k αβ。

由此可得一闭区间套{[,]}n n αβ满足
(i) 11[,][,]n n n n αβαβ++⊃; (ii) n
n n 21
)(=
-αβ; (iii) [,]n n αβ具有性质P ，即含有某个0N
>后的所有项。

由闭区间套定理可知存在唯一的[,]n n ξαβ∈。

从而lim n n x x
=。

[Cauchy 收敛准则⇒Weierstrass 聚点原理] 证明 设S 为直线上有界点集，则,a b R ∃∈使得[,]S a b ⊂。

定义性质:P 至少含有S 中的无限多个点。

利用二等分法容易构造出具有性质P 的区间套]},{[n n b a 满足：
n
n n a
b a b 2-=
-。

(3) 由性质P 任意挑选S 中不同的点构成的数列}{n x 使得],[n n n b a x ∈。

0>∀ε，由(3)
和极限定义知，N m n N >>∀∍>∃,0 有 ε<-<-n n m n a b x x 。

由定义知}{n x 是Cauchy 列。

由Cauchy 收敛准则知，
R ξ∃∈使得
lim n n x x
=。

从而可知ξ即为
S 的一个聚点。

[Weierstrass 聚点原理⇒Bolzano 致密性定理]
证明 设{}n x 为有界无穷数列(若{}n x 有无限多相等的项，则命题显然成立)。

由Weierstrass 聚点原理知，{}n x 至少有一个聚点R ξ∈，则由聚点的定义：
Step(1) 令
1ε=，则1
1(,){}n n x U x ξε∃∈ 且1
n x ξ≠。

Step(2) 令 12
221
min{,||},(,){}2
n n n x x U x εξξε=-∃∈
且
1221,n n x x n n ≠>。

Step(k) 令 11
min{,||},(,){}k k
k n n k n x x U x k
εξξε-=-∃∈
且
1,1,2,1,k i n n k k x x i k n n -≠=-> 。

从而得到
{}
n x 的子列
{}k n x 使得1
0,[]N εε
∀>∃
=当k N
>时有
(,)k n k x U ξε∈。

即
1
||k n k N x N
ξεεε-<<<
<。

故 lim k
n k x x
=。

[Bolzano 致密性定理⇒Heine –Borel 有限复盖定理] 证明(反证法) 假设区间[,]a b 不能被开覆盖H 有限覆盖。

定义性质:P 不能被有限个开区间覆盖。

利用二等分法容易得到一个具有性质P 的区间套{[,]}n n a b 满足 (3) 。

由于{},{}
n n a b 都是有界数列，故由Bolzano 致密性定理知，存在子列{},{}k k n n a b ，12,R ξξ∃∈使得
1lim k
n k a x
=，2lim k
n k b x
=。

由(3)易证
12ξξξ
==],[b a ∈。

从而∈⊂∃U U ),(εξH ，0>∃K ，使得
k K ∀>有
,(,)k k n n a b U ξε∈。

从而∈⊂⊂U U b a k
k
n n ),(],[εξH ，这与],[k
k
n n b a 具有性质P
矛盾。

这就证明了Heine –Borel 有限复盖定理。

[Heine –Borel 有限复盖定理⇒确界原理]
证明 设S 是有上界的非空数集，则b R ∃∈使得x S ∀∈有x b <，取
a S ∈，得到区间 [,]a
b 。

反证法，假设S 没有上确界，则[,],0x a b δ
∀∈∃>，使得),(δx U 满足条
件：若x 是的上界，那么),(δx U 中的点都是S 的上界；若x 是S 中的点，那么
),(δx U 中不存在S 的上界。

从而得[,]a b 的一个开覆盖
H ]},[),({:b a x x U ∈=δ。

由Heine –Borel 有限覆盖定理知，存在H 的一个有限子覆盖
1H },,2,1],,[),({:n i b a x x U i i i =∈=δ。

因此必有一个， 不妨设为),(11δx U ，包含b 。

因为b 是S 的一个上界，故),(11δx U 内的元素全是S 的上界。

从而与),(11δx U 相交的1H 中的邻域的点也必为S 的上界。

依次类推下去，将有a 为S 的一个上界，这与a S ∈矛盾，故S 具
有上确界。

练习2.2
1．直接证明实数理论命题的两两等价。