第4章 非平稳序列的随机分析

计算预测值
ˆ t (1) 1.8 xt 0.8 xt 1 0.6 t 5.46 x ˆ t ( 2 ) 1 .8 x ˆ t (1) 0.8 xt 5.59 x ˆ t (3) 1.8 x ˆ t ( 2 ) 0 .8 x ˆ t (1) 5.69 x
计算置信区间
乘积季节模型
设序列存在规则的周期（S），如果把原序列按 周期重新排列，即可得到一个二维列联表。
周期 周期点
1 2 3 „„ n
1 x1 xS+1 x2S+1
2 x2 xS+2 x2S+2
3 x3 xS+3 x2S+3
„„ „„ „„ „„
S xS x2S x3S
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ x(n-1)S+1 x(n-1)S+2 x(n-1)S+3 „„ xnS

xt bt a t
随机趋势模型


随机趋势模型常被称为单位根过程，模 型中AR项含有成分（1-B），典型例子 是随机游走模型。 随机趋势模型又称“差分平稳模型”， 可以通过差分剔除趋势，使模型平稳化。 如对随机游走模型：
xt xt 1 t
趋势模型的比较



确定性趋势模型表现在均值的非平稳。 随机趋势模型中，每个随机干扰项对条 件均值的影响是持久的。模型的方差非 平稳。 对不同的非平稳模型，应使用不同的平 稳化方法。 对于同一模型，两种趋势可能兼而有之。
ARIMA 模型族

d=0
ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q) P=0

ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)

q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d) d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model

随机游走模型( random walk)
xt xt xt 1
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提 取作用
差分前后时序图

原序列时序图

差分后序列时序图
例4.2

尝试提取1950年——1999年北京市民用 车辆拥有量序列的确定性信息
差分后序列时序图

一阶差分

二阶差分
例4.3

差分运算提取1962年1月——1975年12月平均 每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
第四章
非平稳序列的随机分析
本章结构


确定性趋势模型和随机趋势模型 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
4.1 确定性趋势和随机趋势模型

确定性趋势 随机趋势
确定性趋势
所谓确定性趋势（deterministic trend）， 是指模型中含有明确的时间t变量，趋势 可以有t的线性函数表示。 例如： xt a bt t 确定性趋势模型又称“均值非平稳模 型”、“趋势平稳模型”。 确定性趋势模型剔除趋势项即为平稳模 型。如上例：
j
k
疏系数模型类型

如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系 数模型可以简记为 ARIMA(( p1 ,, pm ), d , q)

p1 ,, pm 为非零自相关系数的阶数


如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏 系数模型可以简记为 ARIMA( p, d , (q1 ,, qn )) q1 ,, q n 为非零移动平均系数的阶数 如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简 记为 ARIMA(( p ,, p ), d , (q ,, q ))

d阶差分后，差分后序列方差齐性
ARIMA(0,1,0)模型 Var(xt ) Var( t ) 2
ARIMA模型建模步骤
获 得 观 察 值 序 列 平稳性 检验 N 差分 运算 Y 白噪声 检验 N 拟合 ARMA 模型 Y
分 析 结 束
例4.6

对1952年——1988年中国农业实际国民 收入指数序列建模
)
2
例4.7

已知ARIMA(1,1,1)模型为
(1 0.8B)(1 B) xt (1 0.6 B) t
且 xt 1 4.5

xt 5.3
t 0.8 2 1
求 xt 3 的95％的置信区间
预测值

等价形式
(1 1.8B 0.8B 2 ) xt (1 0.6 B) t xt 1.8 xt 1 0.8 xt 2 t 0.6 t 1

Green函数值 1 1.8 0.6 1.2 2 1.8 1 0.8 1.36
方差
2 Var[e(3)] (1 12 2 ) 2 4.2896


95％置信区间
ˆt (3) 1.96 Var(e(3)) , x ˆt (3) 1.96 Var(e(3)) ) (x (1.63,9.75)
4
5.48
<0.0001
10.99 0.3584
-3.41 <0.0001
拟合效果图
乘积季节模型
传统季节分析方法基于季节分量是确 定性变量，且与其他非季节分量独立。 季节分量也可以是随机的，且与非季节 分量相关，随机ARIMA模型推广到季节时 间序列，形成季节ARIMA模型，有时简记 为SARIMA模型。
tLeabharlann Baidu为白噪声；
乘积季节模型
差分方式的选择



序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分 就可以实现趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶 或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的 影响 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为 周期长度的差分运算，通常可以较好地 提取周期信息
例4.1
【例4.1】1964年——1999年中国纱年产 量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。 对该序列进行一阶差分运算

拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列
差分平稳

对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节 效应的影响，差分后序列的时序图如下
白噪声检验
延迟阶数
2 统计量
P值
6
12
43.84
51.71
<0.0001
<0.0001
18
54.48
<0.0001
差分后序列自相关图
差分后序列偏自相关图
预测值
xt l ( t l 1 t l 1 l 1 t 1 ) ( l t l 1 t 1 )
e t (l )
ˆ t (l ) x
E[et (l )] 0 Var[et (l )] (1
2 1 2 l 1
ARIMA模型的平稳性

ARIMA(p,d,q) 模 型 共有 p+d 个特征根， 其中p个在单位圆 内，d个在单位圆 上。所以当d 0 时 ARIMA(p,d,q) 模 型 非平稳。

例4.5 ARIMA(0,1,0)时序图
ARIMA模型的方差齐性

d 0时，原序列方差非齐性
ARIMA(0,1,0)模型 Var( xt ) Var( x0 t t 1 1 ) t 2
1 m 1 n
例4.8

对1917年－1975年美国23岁妇女每万人 生育率序列建模
一阶差分
自相关图
偏自相关图
建模

定阶

ARIMA((1,4),1,0)
1 (1 B) xt 4 t 1 0.26633 B 0.33597 B

参数估计

模型检验

模型显著 参数显著
一阶差分序列时序图
一阶差分序列自相关图
一阶差分后序列白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2 统计量
P值 0.0178 0.1060 0.1344
15.33 18.33 24.66
拟合ARMA模型

偏自相关图
建模

定阶

ARIMA(0,1,1)

参数估计
(1 B) xt 4.99661 (1 0.70766 B) t Var( t ) 56.48763
季节模型

简单季节模型 乘积季节模型
简单季节模型

简单季节模型是指序列中的季节效应和 其它效应之间是加法关系
xt S t Tt I t

简单季节模型通过简单的趋势差分、季 节差分之后序列即可转化为平稳，它的 模型结构通常如下
( B) D xt t ( B)
d
例5.9
例4.6续：对中国农业实际国民收入指 数序列做为期10年的预测
疏系数模型


ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关 最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的 模型，通常它包含p+q个独立的未知系 数： 1 ,, p ,1 ,, q 如果该模型中有部分自相关系数 ,1 j p 或部分移动平滑系数 ,1 k q 为零，即原 模型中有部分系数省缺了，那么该模型 称为疏系数模型。

模型检验

模型显著 参数显著
ARIMA模型预测

原则

最小均方误差预测原理

Green函数递推公式
1 1 1 2 1 1 2 2 j 1 j 1 p d j p d j
4.2 ARIMA模型


ARIMA模型结构 ARIMA模型性质 ARIMA模型建模 ARIMA模型预测 疏系数模型 季节模型
ARIMA模型结构

使用场合

差分平稳序列拟合

模型结构
( B) d xt ( B) t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t

平稳
xt xt xt 1 1 at at 1
平稳
2 xt xt xt 1 at 2at 1 at 2

方差小

方差大
6 2
Var(xt ) Var(at at 1 ) 2
2
Var( 2 xt ) Var(at 2at 1 at 2 )
乘积季节模型
含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同 周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。 •季节型模型的ARMA表达形式为
s ( B )wt s ( B )et
S S
D wt S xt S S 2S PS ( B ) 1 B B B s1 s2 sP 这里 s S ( B ) 1 B S B 2 S B QS s1 s2 sQ s
乘积季节模型
et 不独立，不妨设 et ~ ARIMA( p, d , q )
则有
( B) et ( B)t
d
( B) 1 1B1 2 B2 p B p
( B) 1 1B1 2 B2 q Bq
最终的模型形式为：
模型拟合

定阶

ARIMA((1,4),(1,4),0)

参数估计
1 (1 B)(1 B ) xt 4 t 1 0.44746 B 0.28132 B
4
模型检验
残差白噪声检验 参数显著性检验
延迟 阶数 6
12
2统 计量
P值
待估 参数
t统
计量
P值
2.09
0.7191
1
差分后序列时序图

一阶差分

1阶－12步差分
过差分


足够多次的差分运算可以充分地提取原 序列中的非平稳确定性信息 但过度的差分会造成有用信息的浪费
例4.4

假设序列如下 xt 0 1t at
考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差

比较

一阶差分


二阶差分（过差分）

模型结构
xt xt 1 t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t

模型产生典故

Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个 醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊 野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的 概率最大呢？