第6章 图与网络分析

参考答案
带权的中国邮路问题 邮递员的工作是每天在邮局里选出邮件，然后送 到他所管辖的客户中，再返回邮局。自然地，若他要 完成当天的投递任务，则他必须要走过他所投递邮件 的每一条街道至少一次。问怎样的走法使他的投递总 R14 行程为最短？ R13
13
房屋 房屋
11
12
R15
3 房屋 15
房屋
R9
R10
v2 e3 v3
• 有向图：由点和弧组成。表示为： D=（V，A） V--点集合 A--弧集合 v5 • 点数: p(G) 或 p(D) • 边数: q(G) v1 • 弧数:q(D)
例：右图 V={v1，v2,…,v5} v2 A={a1，a2,…,a7} a1={v1,v5},a2={v5,v4},…,a7={v1,v4}
一定包含在最小部分树 内，不妨设最小边为v i , v j ]， [
（4） 重复2、3步，一直到图中所有点均包含在V中为止。
例6.6 如图，S、A、B、C、D、E、T代表村镇， 它们间连线表明各村镇间道路交通情况，连线旁数字 代表道路的长度。现要求沿图中道路架设电线，使上 述村镇全部通上电，应如何架设使总的线路长度为最 短。
v4
v3
无向图的有关概念
• 端点: e=[u,v]∈E, 则u,v是e的端点, 称u,v 相邻. • 关联边: e是点u,v的关联边. e1 • 环: 若u=v, e是环. • 多重边: 两点之间多于一条边. v1 e2 • 简单图: 无环,无多重边的图. e6 • 多重图: 无环,允许有多重边的图. e5
(d ) 从N3中任取一回路，如 BCEB,
去掉最大边 CE，得N4；
A 2 2
11 17
房屋 房屋
房屋
4
10 8
R5
13
房屋 5
R11
房屋
R12
R6
房屋 8
R4房屋
9 12
房屋
6
5
R7
7
房屋
R8
7 7
房屋
R2
房屋
R1
R3
上图表示从R1-R15个街道交叉点，街道上的数 字表示该街道的长度，单位为米。
例6.4 旅行推销员问题（Travelling Salesman Problem， 又称为旅行商问题、货郎担问题、TSP问 题） 一个多局部最优
的最优化问题：有n
个城市，一个推销员 要从其中某一个城市 出发，唯一走遍所有 的城市，再回到他出
发的城市，求最短的
路线。
一、 图的基本概念与模型
例 1: 铁路交通图 例 2: 球队比赛图 • 点: 表示研究对象.
• 连线：表示两个对象之间的某种特定关系。
• 关系的对称性：两对象之间的关系可互换。
• 边：不带箭头的连线，表示对称关系。 • 弧：带箭头的连线，表示不对称关系。 • 无向图：简称图，由点和边组成。 表示为： G=（V，E） e1 V--点集合 E--边集合 v1 e2 例：右图 V={v1，v2，v3，v4} e6 E={e1，e2，…,e7} e5 e1=[v1,v2] e2=[v1,v2], v4 e4 …, e7 e7=[v4,v4]
v2 e1 e8 e7 e2 v3 v2 e1 v1 e6 v6 e7 e5 (b) v7 v4
v2 e8
v1 e1 e9 e7
v3
v1
e6 v6
e9
e10
e3 e4
e10 v7 e 11
v5 (c)
Baidu Nhomakorabea
v7 e 11 e5 v5
e6 v5
v6
v4
(a)
子图
支撑子图
例6.5 有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名 参加A、B、C、D、E、F 六个项目的比赛。表中打√ 的是运动员报名参加的比赛项目。问六个项目的比 赛顺序应如何安排，做到每名运动员都不连续地参 加两项比赛。
的一条道路。
• 回路:
t
t
t 1
vi1 vi k的路.
方向相同
• 初等路: 道路中点不相同.
• 初等回路: 回路中点不相同. • 简单有向图: 无环, 无多重弧. • 多重有向图: 有多重弧.
二、树
• • • • 树及其性质 图的支撑树（生成树） 最小支撑树问题 根树及其应用
（一） 基本概念
v2
e3
v3
v4
e7
e4
d (v1 ) 4, d (v2 ) 3
孤立点
• 次(或 度): 以点v为端点的边的个数称为v的 次（或 度）. 表示为: d(v) • 悬挂点: 次为1的点. • 悬挂边: 悬挂点的关联边. • 孤立点: 次为0的点. • 奇点: 次为奇数的点. e1 • 偶点: 次为偶数的点. 悬挂边
C
D
C
D
B B
哥尼斯堡七桥
一笔画问题
例6.2 哈密顿（Hamilton）回路
哈密顿回路是十九世纪英国数学家哈密顿提出， 给出一个正12面体图形，共有20个顶点表示20个城
市，要求从某个城市出发沿着棱线寻找一条经过每
个城市一次而且仅一次，最后 回到原处的周游世界线路
（并不要求经过每条边）。
例6.3
中国邮路问题
（我国著名数学家管梅谷教授1962年首先提出）
邮递员叔叔要把信送往各地点， 由于送信地点多（“·”代表送 信地点），道路不好走（两个 送信地点之间必须要经过一个 空白方格“□”，而且不能走 对角），还要绕过楼房，出发 前他设计了一条送信路线，从 邮局出发不但把信送到了每一 个地点，而且路线不重复，最 后回到邮局。在图中画出邮递 员叔叔的行走路线 。
V
7
V
(c ) 再令V B V， / B V V V 和V 的最短边为 B, C ], 将该线加粗； [
V
7
V
(d ) 再令V C V， / C V V V 和V 的最短边为 B, E ], 将该线加粗； [
V
7
V
(e ) 再令V E V， / E V V V 和V 的最短边为 E , D], 将该线加粗； [
例: 电话线架设、比赛程序、组织结构等。 1. 树：一个无圈的连通图叫做树图（简称为树）。 树中度为1的点称为悬挂点， 与悬挂点关联的边称为悬挂边。 v1 v6 v5 v2
v3 v4
树图的性质： （1）树必连通，但无回路（圈）。 （2）n 个顶点的树必有n －1 条边。 （3）树 中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链 （4）树连通，但去掉任一条边， 必变为不连通。 （5） 树 无回路（圈），但不相邻的两个点之间加 一条边，恰得到一个回路（圈）。 v1
e2 v5 e4 e5
v1 e3
v2
e6 v3
v4
• 链：点边交错系列， 记为：
(vi1 , ei1 , vi2 ,..., vik 1 , eik , vik )
• • • • • 圈： vi vi 的链。 1 k e1 初等链：点 vi , vi ,..., vi 均不相同。 1 2 k 有重复点,无重复边 e2 初等圈：点 vi , vi ,..., vi v1 均不相同。 v2 1 2 k 1 简单链：链中边均不相同。 e6 e e5 简单圈：圈中边均不相同。 3
B
D
有向图的有关概念
• 基础图: 对D=(V, A), 去掉图上的箭头. • 始点和终点: 对弧a=(u,v), u为a的始点, v为a的 终点. 方向可以不同 • 链: 点弧交错序列, 若在其基础图中对应一条链, 则称为 D的一条链. • 圈, 初等链,初等圈: 类似定义.
• 道路:若 vi , ai , vi , ai ,..., vi , ai , vi )是D中的一条 （ 1 1 2 2 1k 1 k 1 k 链，且 ai (vi , vi )，t=1,2,…,k-1,称之为从 vi1 到 vik
（二）避圈法和破圈法求最小部分树
1、避圈法
(1) 从图中任选一点 图中其余点均包含在 v i，让 v i V， V；
( 2) 从 V 和 V 的连线中找出最小边， 这条边 将[v i , v j ]加粗，以标记是最小部 分树内的边。 ( 3) 令V v j V ,V / v j V ;
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图的基本概念与模型
树图及图的最小树问题
最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
引 言
例6.1 哥尼斯堡七桥问题
十八世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷.格尔河）， 河上有 7 座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里 的人们热衷于这样一个游戏：一个游者怎样才能一次连续走过 这 7 座桥，回到原出发点，而每座桥只允许走一次。没有人 想出走法，又无法说明走法不存在，这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。
– 例：右图 无重复点,无重复边
v4 e7
e4
v3
• 若在一个图中任意两点之间均至少有一条链，则 称此图为连通图，否则称为不连通图。
连通图
不连通图
• 若一个简单图中任意两点之间均有边相连，称这样 的图为完全图。 1 2 含有n个顶点的完全图，其边 数有C n n( n 1)条。 2 • 若图的顶点能分成两个互不相交的非空集合V1和V2， 并且在同一集合中任意两点均不相邻，这样的图称为 偶图（二分图）。
甲 乙 丙 丁 戊 己 A √ √ √ √ B √ √ √ √ √ C D √ √ E F √
B
D
√ √ √ √
F A
C
E
【解】 把比赛项目作为研究对象，用点表示。如 果两个项目有同一名运动员参加，在代表这两个项 目的点之间连线，得下图。 在图中只 要找出一个点 F 的序列，使依 A 次排列的两个 点不相邻，即 E C 能做到每名运 动员不连续参 例如， A、C、B、F、E、D 就是其 加两项比赛。 中之一。
• 如果偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不同顶点 都有一条边相连，称这样的图为完全偶图。
完全偶图中V1含m 个顶点，V2含n个顶点， 则其边数共m n条。
•
设 G1=（ V1 , E1 ），G2 =（ V2 ,E2 ）
如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是G1 的子图；
如果 V2 = V1 , E2 E1 称 G2 是 G1 的部分图或支 撑子图。
最后，数学家Euler在1736年巧妙地给出了这个问 题的答案，并因此奠定了图论的基础，Euler把A、B、 C、D四块陆地分别收缩成四个顶点，把桥表示成连接 对应顶点之间的边，问题转化为从任意一点出发，能 不能经过各边一次且仅一次，最后返回该点。这就是 著名的Euler问题（或一笔画问题）。
A A
v6 v2 v3 v4
v5
2、 设图 G1 (V , E1 ) 是图G=(V , E )的一支撑子图， 如果图 G1 (V , E1 ) 是一个树,那么称G1 是G 的一个部分 树（支撑树），或简称为图G 的树。图G中属于生成树的 边称为树枝，不在生成树中的边称为弦。
v1 v5 v2 v5 v1 v2
V
7
V
( f ) 再令V D V， / D V V V 和V 的最短边为 D,T ], 将该线加粗 [ .
图中加粗的边 红色)即为该网络图的最小部 ( 分树.
V
7
V
【解】 （破圈法）
(a ) 任取一回路，如 DETD,
去掉最大边ET，得N1；
A 2 2
7
S
4
5
1
B
5
3
1
D
5
7
T
C
4
N1
E
【解】 （破圈法）
(b) 从N1中任取一回路，如 BEDB,
去掉最大边 BD，得N2；
A 2 2 7
S
4
5
1
B
5
3
1 E N2
D
5
T
C
4
【解】 （破圈法）
(c ) 从N2中任取一回路，如 ABEDA,
去掉最大边 AD，得N3；
A 2 2 7 B 1 D
S
4
5
5
T
3
4
E
1
C
N3
【解】 （破圈法）
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。 3、最小部分树 一般图 G 含有多个部分树，其中树枝总长最小的部分 树称为该图的最小部分树。
定理1 图中任一个点 vi ，若 v j 是与vi 相邻点中 距离最近的，则边 [v i , v j ] 一定含在该图的最小部分 树内。
定理2 把图的所有点分成 V 和V 两个集合，则 两集合之间连线的最短边一定包含在该图的最小部分 树内。
A 2 2
7
S
4
5
1
B
5
3
1
D
5
7
T
C
4
E
【解】 （避圈法） 因为要使上述村镇全部通上电， 各点之间必须连通。又使总线路长度最小，实际上就 是从图中寻找一颗最小部分树。
(a ) 任选一点，设为 。令S V，其余点V , S V 和V 的最短边为 S , A], 将该线加粗； [
7
(b) 再令V A V， / A V V V 和V 的最短边为 A, B], 将该线加粗； [