指数函数的图像及性质

3.3
问题1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个 分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系 是什么？
问题1
细胞分裂过程
细胞个数
第一次 第二次
表达式
2=21 4=22
第三次
……y…=…2x
8=23
第x次
……
2x
细胞个数y关于分裂次数x的表达为:
x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
2 x … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
1 x
…
8
4
2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
2
x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 … 10x … 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 … 1 x … 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 …
5.既不是奇函数又不是偶函数
y
1Biblioteka Baidu
0
1
试分析上述图像中，哪一条是 哪一条是
y=3x y=2x
x
的图像 的图像
y=(1/3)x
y= (1/2)x
y
1
0
x
试分析上述图像中，哪一条是
y

(
1 2
)
x
的图像
哪一条是 y (1)x 的图像
3
指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图
y=1
象
y y=ax
(0,1)
y=1 (0,1)
0
x
1.定义域为R，值域为(0,+).
性 2.过点（0，1）即x=0时，y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数
质 4.当x>0时,y>1; 4.当x>0时, 当x<0时,0<y<1. 0<y<1;当x<0 时, y>1. 5.既不是奇函数也不是偶函数.
练习：
1.当a (1,+) 时,函数y ax
探讨:若不满足上述条件 y a x 会怎么样?
（1）若 a 0 则当x > 0时，ax 0 当x≤0时,a x 无意义.
（2）若 a 0 则对于x的某些数值，可使
a x 无意义. 如 (2)x ，这时对于
x

1 2
,
x

1 4
……等等，
在实数范围内函数值不存在.
（3）若 a 1 则对于任何 x R ax 1 是一个常量，没有研究的必要性
0
x
y=ax y
y=1 (0,1)
0
x
1.定义域为R，值域为(0,+).
性 2.过点（0，1）即x=0时，y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数
质 4.当x>0时,y>1; 4.当x>0时, 当x<0时,0<y<1. 0<y<1;当x<0 时, y>1. 5.既不是奇函数也不是偶函数.
例2.求下列函数的定义域、值域：
解：(1)考察指数函数y=1.5x . 由于底数1.5>1 ,所以指数函数 y=1.5x 在R上是增函数. ∵2.5<3.2 ∴1.52.5<1.53.2
(2)考察指数函数y=0.5x . 由于底数0<0.5<1 ,所以指数函 数y=0.5x 在R上是减函数.
质 4.当x>0时,y>1; 4.当x>0时, 当x<0时,0<y<1. 0<y<1;当x<0 时, y>1.
(2)
(
1
)
3 5
4
<,
(
4
)
5 6
3
.
2.指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图
y=1
象
y y=ax
(0,1)
0
x
y=ax y
y=1 (0,1)
0
x
1.定义域为R，值域为(0,+).
性 2.过点（0，1）即x=0时，y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数
质 4.当x>0时,y>1; 4.当x>0时, 当x<0时,0<y<1. 0<y<1;当x<0 时, y>1. 5.既不是奇函数也不是偶函数.
图 2.图象过定点（0，1）
性 2.当x=0时，y=1
象 3.自左向右图 3.自左向右图
3.在R上是增 3.在R上是减
象逐渐上升
象逐渐下降
函数
函数
特 征
4.图象分布在左 下和右上两个 区域内
4.图象分布在左 上和右下两个 区域内
质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.
4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.
∴a=2
2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数的图象.
(1)
y

2x
与y


1
x

2
(2) y
10x与y

1
x
10
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y


1
x

2
y 10 x
y 1 x 10
探究2:函数
是指数函数吗？
指数函数的解析式 y a x 中，a x 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是.
如：y ax k(a 0且a 1, k Z )
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是.
如：y ax (a 0且a 1)
因为它可以转化为：y ( 1 )x ( 1 0且 1 1)
5.既不是奇函数也不是偶函数.
∵-1.2>-1.5 ∴0.5-1.2<0.5-1.5
(3)由指数函数的性质知 1.50.3>1.5 0=1 , 0.81.2<0.8 0=1 ,
∴1.5 0.3>0.8 1.2 .
2.指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图
y=1
象
y y=ax
(0,1)
0
x
y=ax y
练习：
1 y=ax(a>0且 a≠1)图象必过 点_(_0_,_1_)__
2 y=ax-2(a>0且 a≠1)图象必 过点_(_2_,_1_)__
3 y=ax+3-1(a>0且 a≠1)图象 必过点_(_-_3_,_0_)__
4 某种细菌在培养过程中，每 20分钟分裂一次（一个分裂成 两个），经过3小时这种细菌 由一个分裂成__5_1_2__个
(a 0且a 1)为增函数.这时,
当x (0, +)时, y 1.
2.若函数f (x) (2a 1)x 是减
函数, 则a的取值范围是(-1/2,0).
3.函数y ( 1 ) x1的定义域是[1, +)
2
值域是(0,1] .
4.比较下列各题中两个值的大小：
1
1
(1) ( 3) 3 >, ( 3) 2 ;
2.指数函数的图象和性质
例3.比较下列各题中两个值的大小：
a>1
图
y=1
象
y y=ax
(0,1)
0
x
0<a<1
y=ax y
y=1 (0,1)
0
x
1.定义域为R，值域为(0,+).
性 2.过点（0，1）即x=0时，y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数
(1)1.52.5 ,1.5 3.2 ； (2)0.5 – 1.2 ,0.5 – 1.5 (3)1.50.3 ,0.8 1.2
1
(1) y 3x (2) y (0.25) 2x1
解 (1) 函数的定义域为{x|x 0},
值域为{y |y>0 ,且y1}. (2) 由2x 1 0,得x 1
2
函数的定义域为[1 ,) 2
2x 1 0, 0 0.25 2x1 1 函数的值域为 (0,1].
y


1 2

x
,
(
x

N
)
在
中指数x是自变量，
底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一 个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
１指数函数的定义：
函数 y ax (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，
定义域是R。
探究１：为什么要规定 a 0且a 1
aa
a
练习：
1.下列函数是指数函数的是
（D ）
A. Y=(-3)x B. Y=3x+1 C. Y=-3x+1 D. Y=3-x
2.函数 y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指数函数，求 a的值.
解：由指数函数 的定义有
a2 - 3a + 3=1 a＞0 a≠1
解得
a =1或a = 2 a＞0 a≠1
10
y
y (1)x
2
4
3 2
1
y=2x
-3 -2 -1
01
23
x
-1
a>1
图
y y=ax (a>1)
象
y=1
(0,1)
0
x
0<a<1
y=ax
y
(0<a<1) (0,1)
y=1
0
x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近.
1.定义域为R，值域为(0,+).
问题２：认真观察并回答下列问题：
(1).一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3 次得8层，问若对折 x 次所得层数为y，则y与x 的函数 关系是：
y 2x,(x N)
1
(2).一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 2 米，再从中
间剪一次剩下 1 米，若这条绳子剪x次剩下y米，
4
则y与x的函数关系是：