高中数学《不 等 式》常用公式

高中数学《不 等 式》常用公式
1.常用不等式：
（1）,a b R ∈⇒22
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +
∈
⇒2
a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式
22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈
（5）b a b a b a +≤+≤-.
2.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与
2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；
121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或
3.极值定理
已知y x ,都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；
（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值
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1s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+
（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；
当||y x -最小时,||y x +最小.
（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；
当||y x -最小时, ||xy 最大.
4.无理不等式 （1
()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩
.
（2
2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩
或. （3
2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩
.
5.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
2
2x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.
6.指数不等式与对数不等式
(1)当1a >时,
()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;
()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩
. (2)当01a <<时,
()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;
()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩。