高等数学(同济第六版)课件 第七章 第1.2.3节

du f ( u) u 即 . dx x
可分离变量的方程
dy y y ( x 0) 2 例1 求解微分方程 dx x x y dy du 解 设 u , y xu, u x , x dx dx du 原方程化为 x 2 u 2u, dx
du dx , 2 u 2u x du dx 2 u 2u x
∴方程化为 ( xy) e x
积分： xy e x dx e x C 通解
1 x y (e C ) x
∵过(1,0)点 0 e C
C e
1 x 所求积分曲线为 y (e e ) x
例2 求微分方程通解
(1) y sin x y cos x 1
则称原方程为 可分离变量的微分方程.
dy 2 2 2 x y y dy 2 x dx , dx
解法
4 5

4 5
g( y )dy f ( x )dx
dy 2 xy 例1 求解微分方程 dx dy 2xdx, 解 分离变量 y dy 两端积分 2 xdx, y
ln | y | x C1
2
| y | e
x 2 C1
e e
C1
x2
y e e
C1
x2
x2
记C e C1
y Ce 为所求通解.
例2 求解微分方程 (e x y e x )dx (e x y e y )dy 0 解
e x (e y 1)dx e y (e x 1)dy
du 方程化为：u y u2 u 1, dy
du y ( u 1)2 , dy
du dy , 2 y ( u 1)
du 1 (u 1)2 y d y,
1 ln | y | C , u1
y ln | y | C , 方程的通解为 x y
du 2 u(1 u ) ln x C1
d u ln x C1 1 u
ln |1 u | ln x C1 , x(1 u ) e
C1
ln |(1 u ) x | C1
y C , x(1 ) C x
通解为：x xy C
ex ey dx y dy x e 1 e 1 ex ey x dx y dy e 1 e 1
ln( e x 1) ln | e y 1 | C1
ln[(e x 1) | e y 1 |] C1 (e x 1)(e y 1) e C
3.微分方程的解: 若将函数y=φ(x)代入微分方程， 能使两端恒等，称y=φ(x)为该微分方程的解. 例
y y 0,
y sin x 是它的解
4.微分方程的解的分类： (1)通解: 含有任意常数,且任意常数的个数 与微分方程的阶数相等的解.
例 y y ,
通解 y Ce ;
dy y y 2 例1 求解微分方程 dx x x
解法2
( x 0)
原方程化为 xy y 2 xy
( xy ) 2 xy , 设 u=xy 方程化为: u 2 u ,
du du 2 u dx dx 2 u
通解为： xy x C
u xC
y y 例2 解方程 ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
1
(e x 1)(e y 1) C为所求通解
例2 求解微分方程 (e x y e x )dx (e x y e y )dy 0
y x x y 解法2 (e 1)e dx (e 1)e dy 0
(e 1)de (e 1)de 0
第七章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例1 一曲线通过点(1,2)且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为y=y(x), y 2x , 微分方程 y x1 2,
y 2 xdx
初始条件
y x2 C ,
由 y x1 2, 得C=1
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x0 y0 , y x x0 y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例1 求微分方程 xy y e x 过(1,0)点的积分曲线
解
( xy) xy y
dy y tan x sec x 的通解是_________ 3.微分方程 dx 1 1 2 2 4.微分方程 ( 2 xy )dx ( 2 yx )dy 0 x y
的通解是_________
第二节 可分离变量的微分方程
若微分方程能写成 g( y )dy f ( x )dx
x
(2)特解:
y 2x ,
确定了通解中任意常数后的解.
通解 y xwk.baidu.com C ,
2
积分曲线： 微分方程的解的图像. 通解的图象: 积分曲线族.
5. 初始条件: 用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y f ( x , y ) 一阶: y x x0 y 0
dy 例4 求解微分方程 ( x y )2 dx dy du du x y u, 1, 方程化为： 1 u 2 解设 dx dx dx
du dx, 2 1 u 1 1 u2 du dx,
arctan u x C ,
原方程的通解为: arctan( x y ) x C ,
| cos y | ln C1 | cos x | | cos y | e C cos y C cos x | cos x |
1
y x 0
4
2 C 2
2 cos x 特解为：cos y 2
练习题
y 1.微分方程 xdy ydx 0 的通解是____Cx
y x x y
(e y 1)d (e x 1) (e x 1)d (e y 1) 0 d [(e x 1)(e y 1)] 0 (e 1)(e 1) C
x y
例3 求微分方程 cosxsinydy=cosysinxdx 满足初始条件 y x 0 的特解。 4 sin ydy sin xdx 解 分离变量 cos y cos x sin ydy sin xdx ln | cos y | ln | cos x | C1 cos y cos x
( 2) ( x y 1)dx ( 2 y x )dy 0
练习题
y 2 ( y 2 1) 1 1.以 ( x C ) y 1 为通解的微分方程是_________
2 2
2 y 2 xy 2.以 y Cx C 为通解的 微分方程是__________ y
微分方程的通解
y x 2 1. 所求曲线为:
微分方程的特解
基本概念 1.微分方程:
含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例
y xy ,
y 2 y 3 y e x ,
( t 2 x )dt xdx 0,
2.微分方程的阶: 方程中出现的未知函数导数 的最高阶数.
y Cx 3 2.微分方程 xy 3 y 0 的通解是____
第三节
齐 次 方 程
dy y f( ) 1.定义 若微分方程可化为 dx x
的形式， 称这个方程为齐次方程。
y 2.解法 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du du u x , 代入原式 u x f (u), dx dx dx
y 方程通解为 sin ln | x | C . x
dx dy 例3 求解微分方程 2 2 2. x xy y y
解
dy y2 dx x 2 xy y 2 2 ， 2 dx x xy y dy y2
dx du x dx x 2 x u y 2 1, 设 u , x yu, dy dy y dy y y
dy y 1 y 解 , 设 u , y xu, dx x cos y x x du 1 du 1 u x u , x , dx cos u dx cos u
dy du u x , dx dx
dx cos udu , x
sin u ln | x | C ,