算法设计与分析期末备考知识点总结

●通俗地讲，算法是解决问题的方法，严格地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，

是指令的有限序列。

●算法还必须满足一下五个重要特性：输入、输出、有穷性、确定性、可行性。

●程序（Program）是对一个算法使用某种程序设计语言的具体实现，原则上，算法可以

用任何一种程序设计语言来实现。

什么是算法的计算复杂性？

●算法分析指的是对算法所需要的两种计算机资源——时间和空间(时间复杂性和空间复

杂性进行估算，所需要的资源越多，该算法的复杂性就越高。

●表示计算复杂性的O你掌握了？

若存在两个正的常数c和n0，对于任意n≥n0，都有T(n)≤c×f(n)，则称T(n)=O(f(n))（或称算法在O(f(n))中）。

我们主要介绍了哪几种算法设计方法？

分治法：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。

减治法：减治法在将原问题分解为若干个子问题后，利用了规模为n的原问题的解与较小规模（通常是n/2）的子问题的解之间的关系，这种关系通常表现为：

（1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中；

（2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系。

由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间存在这种关系，所以，只需求解其中

一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。

动态规划法、贪心算法、回溯算法、概率

RAM程序

分治法------合并排序

设算法4.3对n个元素排序的时间复杂性为T(n)，则该二路归并排序算法存在如下递推式：

二路归并排序的时间代价是O(nlog2n)。

所需空间只要O(m+n+min(m, n))的空间就够了(假设两个合并串的长度分别为m和n)。

分治法------快速排序

在最好情况下在具有n个记录的序列中，一次划分需要对整个待划分序列扫描一遍，则所需时间为O(n)。时间复杂度为O(nlog2n)。

在最坏情况下必须经过n-1次递归调用才能把所有记录定位，而且第i趟划分需要经过n-i 次关键码的比较才能找到第i个记录的基准位置，因此，总的比较次数为：

时间复杂度为O(n2)

分治法------最大子段

递推式：算法时间复杂度：O(nlog2n)

分治法------棋盘覆盖问题

T(k)满足如下递推式：

分治法------循环赛日安排问题

基本语句的执行次数是：

算法的其时间复杂性为O(4k)。

顺序统计问题：

算法１找出n个元素中的第k个最小元素

输入：从一个有线性序的集合中抽出的n个元素的序列S及一个整数k，1≤k≤n。输出：S中的第k个最小元素

算法2

算法2的期望时间是O(n)。最坏情况O(n2)

减治-----插入排序（手工题）

堆的概念：

n个元素的序列{K1,K2,…..Kn}，当且仅当满足

动态规划求解TSP问题

注：用动态规划解决TSP问题，算法的时间复杂性为O(n22n)。和蛮力法相比，动态规划法求解TSP问题，把原来的时间复杂性是O(n!)的排列问题，转化为组合问题，从而降低了算法的时间复杂性，但它仍需要指数时间。但遗

憾的是这一动态规划算法需要O(n2n )的空间。当n 较大时，空间难以满足。

多段图的最短路径算法：

1．For (i=1; i<=n; i++)

COST[i]=0;初始化：数组cost[n]初始化为最大值，数组path[n]初始化为-1；

2．for (i=n -2; i>=0; i --)

2.1 对顶点i 的每一个邻接点j ，根据

cost[i]=min{cij+cost[j]} (i ≤j ≤n 且顶点j 是顶点i 的邻接点)计算cost[i]; 2.2 根据 path[i]=使cij+cost[j]最小的j 计算path[i]; 3．输出最短路径长度cost[0]; 4. 输出最短路径经过的顶点：

4.1 i=0

4.2 循环直到path[i]=n -1

4.2.1 输出path[i]; 4.2.2 i=path[i];

最优二叉查找树算法：

最优二叉查找树是以这n 个记录构成的二叉查找树中具有最少平均比较次数的二叉查找树，即 最小，∑p i ∗c i n i=1其中pi 是记录ri 的查找概率，ci 是在二叉查找树中查找ri 的比较次数。

回溯法----解空间树的动态搜索过程

注：搜索过程中，采用两种策略避免无效搜索：

1.用约束条件剪去得不到可行解的子树；

2.用目标函数剪去得不到最优解的子树。

例一:对于n=3的0/1背包问题，三个物品的重量为{20, 15, 10}，价值为{20, 30, 25}，背包容量为25，从图8.2所示的解空间树的根结点开始搜索，搜索过程如下:

(注：树枝左侧为1，右侧为0，1代表装包，0代表不装包，从上到下每一层代表一个物体)例二:对于n=4的TSP问题，解空间树如下：代价矩阵C如下：

1.目标函数初始化为∞；

2.从结点1选择第1棵子树到结点2，表示在图中从顶点1出发；

3.从结点2选择第1棵子树到达结点3，表示在图中从顶点1到顶点2，依代

价矩阵可知路径长度为3；

4.从结点3选择第1棵子树到达结点4，表示在图中从顶点2到顶点3，依代

价矩阵可知路径长度为3+2=5；

5.从结点4选择唯一的一棵子树到结点5，表示在图中从顶点3到顶点4，路

径长度为5+2=7，结点5是叶子结点，找到了一个可行解，路径为1→2→3→4→1，路径长度为7+3=10，目标函数值10成为新的下界，也就是目前的最优解；

6.从结点5回溯到结点4，再回溯到结点3，选择结点3的第2棵子树到结点6，

表示在图中从顶点2到顶点4，路径长度为3+8=11，超过目标函数值10，因此，对以结点6为根的子树实行剪枝；

搜索后的结果图：

回溯法----图着色问题的算法

用m种颜色为一个具有n个顶点的无向图着色

设数组color[n]表示顶点的着色情况，回溯法求解m着色问题的算法如下：